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【摘要】就排列组合的应用题谈谈解题思想方法与解题策略.
【关键词】分类讨论；转化与化归；整体；模型化思想；解题策略
排列组合的应用题是高考的常见题型，主要考查有附加条件的应用问题.排列、组合是中等数学中一个相对独立的单元，内容抽象，概念和原理不多，与其他数学内容联系也较少.但这一部分中蕴含的数学思想方法却极其丰富，是难得的进行数学思想方法教学训练的好题材.本文仅就排列组合的应用题谈谈解题思想方法与解题策略.
一、分类讨论思想
分类讨论是一种逻辑方法,具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，排列组合单元始终贯穿着分类讨论思想.
例1（2009天津，理16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？
分析要使个位、十位和百位上的数字之和为偶数可以分成两类：
（1）三位上的数字有两个奇数，一个偶数，满足条件的四位数有C23P33P14(0在)=72和C13C23P33P13(0不在)=162.
（2）三位上的数字均为偶数，满足条件的四位数有C23P33P14(0在)=72和C13P33(0不在)=18.
总共324个.
分类之后再分类,以零为标准分类.
例2（2009浙江，理16）甲乙丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是多少？
方法一排除一级站三人，有P17P17P17-7=343-7=336（种）.
方法二分成两类:（1）若每级台阶站1人,共有P37=210（种）.（2）一级二人，一级一人，共有C23P27=126（种）(将其中两人“捆绑”,成了两个元素在7个位置上的排列).
总共有210+126=336（种）.
加法原理是排列组合的两个基本原理之一，它就是运用分类讨论的思想方法解决计数问题的.运用加法原理就必须进行正确有效的分类，避免“重复”“遗漏”错误的发生.
二、整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理.
例3三名男歌唱家和兩名女歌唱家联合举办一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家.其出场的方案共有多少种?
分析按要求出场顺序中必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名(有C13种选法)与两名女歌唱家组成一个小团体，将这个小团体视为一个元素，与其余两名男歌唱家排列有P33种排法，最后小团体内两名女歌唱家排列有P22种排法，所以共有C13P33P22=36（种）出场方案.
三、转化思想
就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.
例4公路边上有编号为1，2，3，…，9的九只路灯,为节约用电,现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯.则满足条件的关灯方法有多少种?
分析关掉第一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂.换一个角度，从反面入手考虑.因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有C35=10（种）.故满足条件的关灯方法共有10种.
对此组合问题，当从正面入手,情况复杂不易解决时,考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来解决,“插空”处理策略,即正难则反、等价转化的策略.
四、化归思想
化归就是将研究的问题通过数学的内部联系和矛盾运动转化归结为规范问题的思想方法.
例5空间八点，其中任四点不共面，过每两点所连的直线中，有多少对异面直线?
分析利用数形结合的思想方法,不共面的四点可以作出一个三棱锥，每个三棱锥都有且仅有三对异面直线，因此问题可化归为求作三棱锥的个数来解.所给空间八点中任四点不共面，故任取四点作三棱锥可作C48个(组合问题)，每个三棱锥都有且仅有三对异面直线，故共有3C48个=210(对)异面直线.
五、模型化思想
模型化思想就是将研究的问题通过某种映射关系转化为对模型的数理机制或结构的研究的思想方法.在排列组合应用中，解决问题的关键在于分析实际问题的数理机制与结构，要求思维的跨度大，灵活性高，这些特点正是培养数学应用能力所需要的.
例6求方程x1+x2+x3+x4+x5=15的正整数解的个数.
分析这是不定方程特解的计数问题，我们构造一个分球模型来解.设想有15个相同的小球排成一列，要把这个球列分成每段都不空的有序5段，第i段的球数记为xi.显然，球列的一种分法对应着原方程的一个正整数解，方程的正整数解的个数与球列的所有不同的这种分法数相等.符合要求的分法只需用4块隔板插在15个小球之间(隔板不相邻)，可从15个球所形成的14个间隙中任选4个间隙去插板来完成.即有C414=1001.类似地,可以推广.
总之，解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题.在分类时,标准要统一,多角度分析,全面考虑.对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析设计出合理方案,把复杂问题分解为简单的基本问题后,用两个计数原理来解决.其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理.以元素为主,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素的要求；以位置为主,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置的要求；先不考虑附加条件,计算出排列组合数,再减去不合要求的排列组合数.
【参考文献】
［1］钟善基，丁尔升，曹才翰.中学数学教材教法.北京：北京师范大学出版社，1982.
［2］王子兴.数学方法论.北京：中南工业大学出版社，1997.
［3］钱佩玲.中学数学思想方法.北京：北京师范大学出版社，2001.
【关键词】分类讨论；转化与化归；整体；模型化思想；解题策略
排列组合的应用题是高考的常见题型，主要考查有附加条件的应用问题.排列、组合是中等数学中一个相对独立的单元，内容抽象，概念和原理不多，与其他数学内容联系也较少.但这一部分中蕴含的数学思想方法却极其丰富，是难得的进行数学思想方法教学训练的好题材.本文仅就排列组合的应用题谈谈解题思想方法与解题策略.
一、分类讨论思想
分类讨论是一种逻辑方法,具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，排列组合单元始终贯穿着分类讨论思想.
例1（2009天津，理16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？
分析要使个位、十位和百位上的数字之和为偶数可以分成两类：
（1）三位上的数字有两个奇数，一个偶数，满足条件的四位数有C23P33P14(0在)=72和C13C23P33P13(0不在)=162.
（2）三位上的数字均为偶数，满足条件的四位数有C23P33P14(0在)=72和C13P33(0不在)=18.
总共324个.
分类之后再分类,以零为标准分类.
例2（2009浙江，理16）甲乙丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是多少？
方法一排除一级站三人，有P17P17P17-7=343-7=336（种）.
方法二分成两类:（1）若每级台阶站1人,共有P37=210（种）.（2）一级二人，一级一人，共有C23P27=126（种）(将其中两人“捆绑”,成了两个元素在7个位置上的排列).
总共有210+126=336（种）.
加法原理是排列组合的两个基本原理之一，它就是运用分类讨论的思想方法解决计数问题的.运用加法原理就必须进行正确有效的分类，避免“重复”“遗漏”错误的发生.
二、整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理.
例3三名男歌唱家和兩名女歌唱家联合举办一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家.其出场的方案共有多少种?
分析按要求出场顺序中必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名(有C13种选法)与两名女歌唱家组成一个小团体，将这个小团体视为一个元素，与其余两名男歌唱家排列有P33种排法，最后小团体内两名女歌唱家排列有P22种排法，所以共有C13P33P22=36（种）出场方案.
三、转化思想
就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.
例4公路边上有编号为1，2，3，…，9的九只路灯,为节约用电,现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯.则满足条件的关灯方法有多少种?
分析关掉第一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂.换一个角度，从反面入手考虑.因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有C35=10（种）.故满足条件的关灯方法共有10种.
对此组合问题，当从正面入手,情况复杂不易解决时,考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来解决,“插空”处理策略,即正难则反、等价转化的策略.
四、化归思想
化归就是将研究的问题通过数学的内部联系和矛盾运动转化归结为规范问题的思想方法.
例5空间八点，其中任四点不共面，过每两点所连的直线中，有多少对异面直线?
分析利用数形结合的思想方法,不共面的四点可以作出一个三棱锥，每个三棱锥都有且仅有三对异面直线，因此问题可化归为求作三棱锥的个数来解.所给空间八点中任四点不共面，故任取四点作三棱锥可作C48个(组合问题)，每个三棱锥都有且仅有三对异面直线，故共有3C48个=210(对)异面直线.
五、模型化思想
模型化思想就是将研究的问题通过某种映射关系转化为对模型的数理机制或结构的研究的思想方法.在排列组合应用中，解决问题的关键在于分析实际问题的数理机制与结构，要求思维的跨度大，灵活性高，这些特点正是培养数学应用能力所需要的.
例6求方程x1+x2+x3+x4+x5=15的正整数解的个数.
分析这是不定方程特解的计数问题，我们构造一个分球模型来解.设想有15个相同的小球排成一列，要把这个球列分成每段都不空的有序5段，第i段的球数记为xi.显然，球列的一种分法对应着原方程的一个正整数解，方程的正整数解的个数与球列的所有不同的这种分法数相等.符合要求的分法只需用4块隔板插在15个小球之间(隔板不相邻)，可从15个球所形成的14个间隙中任选4个间隙去插板来完成.即有C414=1001.类似地,可以推广.
总之，解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题.在分类时,标准要统一,多角度分析,全面考虑.对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析设计出合理方案,把复杂问题分解为简单的基本问题后,用两个计数原理来解决.其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理.以元素为主,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素的要求；以位置为主,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置的要求；先不考虑附加条件,计算出排列组合数,再减去不合要求的排列组合数.
【参考文献】
［1］钟善基，丁尔升，曹才翰.中学数学教材教法.北京：北京师范大学出版社，1982.
［2］王子兴.数学方法论.北京：中南工业大学出版社，1997.
［3］钱佩玲.中学数学思想方法.北京：北京师范大学出版社，2001.