教师在教学过程中多需要编拟试题,编拟试题是一项创造性劳动,通过编拟试题可以提高教师的对课程的整体认识水平,进而提高自身的教学水平,所以编拟试题也是中学教师一项基本功,一个必备素质。下面笔者平时教学中编拟试题的粗浅的认识。
　　一、编拟试题的注意点。
　　1.目的性。编拟试题的目的或目标必须明确。试题要源于课本又要高于课本,似曾相识又未曾相识;要在课程标准与考试说明的指导下,弄清知识的结构与网络,既要照顾知识的覆盖面,又要突出重点内容或重点章节的考察,还要渗透一定的数学思想方法。
　　2.正确性。编拟试题所涉及的概念必须是已被定义的,使用的数学语言必须规范化,涉及的数学记号必须是被阐明的(也可重新定义某种记号),解题要求必须明确,叙述过程必须清楚,不能模棱两可。
　　3.严谨性。编拟试题的条件必须是充分的,不矛盾的,条件必须是独立且最少的,求解过程的每一部所需依据都是已经学过的。这就要求教师在这创造性的劳动过程中,要熟练掌握基础知识与基本技能,要有严谨而周密的思维品质,居高临下,左右逢源,避免出现错误或漏洞。要有敏锐的观察力与想象力,根据当代经济发展的需要或热点问题,从不同角度和层次区观察思考问题。
　　4.可行性。编拟试题的难度要适当控制,要依据各年级学生掌握知识的实际情况来确定推理和计算等方面的能力要求,要尽量避免繁杂的计算和冗长的推理,注意通性通法的考察,不编拟偏题怪题,不故弄玄虚。
　　上述四个方面,可概括成一句话,就是编拟数学试题要注意科学性。
　　二、编拟试题的几种方法。
　　1.基本量法
　　在一些数学问题中,虽然涉及到许多量,但是其中有几个量是可以独立取值的,而其它量则是这些量的函数。我们选定任一组这样的量作基本量,那么问题就归结为研究其他量和基本量之间的关系。我们称这种方法为基本量法。
　　例如,解斜三角形的基本量为3个,直线的基本量为2个,球的基本量为1个,椭圆(双曲线)的标准方程的基本量为2个,等差(等比)数列的基本量为3个,等等。
　　以三角形为例,它涉及的量有a,b,c,A,B,C,h(高),t(角平分线),m(中线),R(外接圆半径),r(内切圆半径),P(半周长),S(面积)。一般地说,具备三个基本量可推出其余的一些量。(当然,还要注意解的存在性问题。)
　　我们可以事先设定 ,此时,
　　。于是,可以自由地编拟试题如下:
　　(1)已知中, ,求内切圆的半径;
　　(2)已知中, ,试确定三角形的形状并求边;
　　(3)已知中, ,外接圆半径与内切圆的半径之比为13∶4,试求两个锐角的正切值。
　　在学习平面解析几何后,可编拟:
　　(4)已知中,,在其内切圆上有一点P,求的最大(小)值;
　　更进一步,可编拟为:
　　(5)已知中,,P的内切圆上的动点,求点P到顶点A、B、C距离的平方和的最大值和最小值。(全国高考题)
　　2.演绎法
　　演绎法是一种从一般的真命题或一组条件出发,通过逻辑推理编拟数学试题的方法。
　　例如:考虑到在等差数列中有依次n项的和仍为等差数列,则可编拟:
　　(1)在等差数列中已知前10项的和 ,前20项的和 ,则前30项的和______;
　　(2)已知{an}为等差数列,前10项的和S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.
　　进一步也可以编拟:
　　(1)在等比数列中已知,则___;
　　(2)在等比数列中已知前n项的积记为 ,已知
　　 ,则______.
　　3.倒推法
　　从解答数学试题的逻辑顺序来说,应当是从题设条件A出发,推出所要求的结论B。但是,在试题编拟时,常常可以事先设计一个结论B,倒推出条件A。当然,以上推倒各步均要求可逆。
　　例如:有99<100,可得 ,再结合
　　,可编下列不等式证明:
　　求证: 。
　　又如,∵ ∴,即
　　,去分母,整理得:。
　　隐蔽上述结论,就是以前高考题的填空题。
　　4.改造陈题法
　　许多陈题,都是多少年来人类智慧的结晶。我们可以根据陈题的数量特征、结构或图形特征,进一步模仿与改造,以达到一定的考察要求。
　　例如:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是37,第二个数与第三个数的和是36,求这四个数。
　　可模仿改为:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数。(全国高考题)
　　进一步,还可把条件改为前三个数成等比数列,后三个成等差数列。学生会在设基本量上产生微妙的差异,可进行适当的引导与讲评。
　　5.变换命题法
　　变换命题,主要分为等价变换与不等价变换,上面我们讲到是一些等价变换,现在再讲一种等价变换与几种不等价变换。
　　(1)变换条件与结论
　　将命题中的已知事项和结论中的事项作相等个数的变换,从而得到新题,这就是逆命题的制作。若逆命题是真命题的话,就是等价变换。
　　例如:已知,求证:
　　。可改編为:已知,求证:
　　。
　　对于一些计算题,有时也可以作逆向变换。如求椭圆
　　 的离心率,其离心率 。可改为:
　　已知焦点在x轴上椭圆 的离心率 ,则实数m=
　　_____。
　　当然也可改为:
　　已知椭圆 的离心率 ,则实数m=_____。(注:解为4或 )
　　(2)强化条件
　　如把上题的条件 改为在中的话,则变为:
　　在中,求证: 。
　　(3)弱化条件
　　我们知道,三个独立条件可以确定圆方程,例如,求一个圆的方程使它的半径等于3,并且分别与直线与圆
　　相切,去掉某条件可使原题的结论泛化,例如可改为:半径为3的圆,并且与另一圆相切,求此圆圆心的轨迹方程。
　　(4)加强结论
　　例如,证明:
　　可把结论加强为:
　　①证明:(注:利用 )
　　②证明: (注:利用 )
　　③证明: (注:利用 )
　　有时,我们还可以隐藏结论,把题目改为一道半开放性题目,增加一些解题难度。
　　例如,“在中,求证: ”改为“在中,求的值”,还可进一步问同学,你能发现此题与“在中,求证:
　　”是等价的吗?
　　6.建模法
　　社会(生产、科技)与生活中的大量实际问题,可以通过建立数学模型编拟为数学应用题。为适应市场经济的需求,高考命题组加强了数学应用题的考察,于是,应用题又成为高考的热点之一。
　　在科技上,可编拟:
　　嫦娥卫星在登月过程中有一段时间在以地球(半径为R)球心为焦点的椭圆形轨道上运动,已知近地点距离为d1,远地点距离为d2,求此椭圆形轨道的椭圆的离心率。
　　在日常生活中,可编拟:
　　一内侧边长为2a的正方体容器被水充满,首先把半径为a的球放入其中,再放入一个能被水完全淹没的小球,若想使溢出的水量最大,这个小球的半径为_________。
　　以上仅对数学试题的编拟作一浅层次的论述,有待读者在实际的数学试题的编拟中加以体会与完善。
　　总而言之,编拟数学试题,是中学数学教师的一项基本功,也是一项十分有意义的创造性劳动,如能长期地坚持下去,对提高自身的数学素质是十分有益的。