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[教前畅想]
我们发现，对于三角形内角和的结论，因为先前已有相关内容的涉及，学生并不陌生，但对这个结论产生的过程，大多数学生却缺乏深层次的思考。因此，教学时与其在“三角形内角和是否是180度”上争论不休，不如围绕“三角形内角和为何是180度”进行展开。在验证阶段，设置认知冲突，调动学生已有的知识储备，使其不自觉地运用推理、演绎、分析等多种手段，构建对“三角形内角和”结论由来的充分认识。
[第一次验证阶段片段回放]
出示问题：直角三角形的内角和是多少度?它是怎么得来的?
当学生看到第一个问题时，“高手”林立，但读完第二个问题后，很多高举的小手又无奈地放下了。
生：可以通过测量得来。(“是啊、是啊”，很多学生随声附和)
师：那就量吧!
学生有的拿出三角形学具开始测量，有的则测量起三角尺三个内角的度数。
教师把学生测量的结果板书到了黑板上，其中一位学生的结果是182度。
师：刚才你们都说三角形的内角和是180度，那这个是怎么回事?(师手指着182度)
几乎所有的学生都认为是误差造成的。
师：那么，谁上来再测量一下?
由于这个三角形三个内角的度数都不是整数，这位同学经过仔细测量，并用“四舍五入”取整数后得出是181度。
师：现在你们有什么要说的?
生：三角形的内角和一定是180度，书上就是这么写的。
生：上学期我们已经用180度计算三角形内的一个角，老师也曾经讲过的。
师：研究数学，不能只依靠权威，要用自己的方法来说明才是好样的!
学生面面相觑，教师的问题让他们无言以对。终于一个学生举手了。
生：把一张长方形的纸沿对角线剪开可以得到两个完全一样的直角，三角形，因为长方形的内角和是360度，所以直角三角形的内角和是180度。(在课前的游戏中教师安排了这样的操作，这位学生的发言显然是受到了它的启发)
师：除此之外还有其他方法吗?
学生们又一次陷入了沉默。
教师在迫不得已时再次出手：不同度数的角有各自不同的样子，180度角的样子是怎样的呢?
……
[片段反思]
“同学们，还有其他方法吗?”一遍遍的重复声在空荡的教室里显得那样的无力和苍白，面对集体沉默，我的教学陷入了尴尬的境地。课前，虽通过调查了解到学生们对三角形内角和的结论是知道的，但他们在直面问题时的无所适从，是我预先没有想到的。由于在预设中过高估计了学生的现实水平，于是课堂上便有了一遍遍无奈的重复，一次次指向明确的引导。综观整个验证过程，他们所能想到的办法，要么具有灵光一现的偶然性，要么带有教师言语的暗示性，学生们的思考明显缺乏方向性和着力点。
儿童学习新知识总是建立在一定的知识经验基础之上的，教师要利用学生的生活经验，提炼出新知识的生长点。那么，学生验证“三角形内角和”时已有的知识经验应该是什么?能否以“特殊角”为生长点，把各种验证方法建立起有效的联系，从而使学生们的思维“有法可依”?围绕着这样的思考，我们又进行了第二次的教学实践。
[第二次验证阶段片段回放]
学生们测量直角三角形内角和的环节已经结束。
师：还有比测量更好的验证办法吗?
生：长方形的内角和是360度，剪成两个完全一样齣三角形，每个三角形的内角和就是180度。
师：这位同学很聪明地想到用分割长方形的办法来验证直角三角形的内角和，大家试试看吧!(板书：360度的一半、分割法)
(学生操作后实物投影)
师：一般三角形的内角和也能通过360度的一半或分割法来验证吗?
(学生想了想后说不能)
师：既然不能分割我们所已知内角和的图形来得到一般三角形，那么能否把它自己分割成我们已知的内角和的图形来验证呢?
学生们通过操作研究，得出可以沿一条底边上的高把一般三角形分割成两个直角三角形，用两个直角三角形的内角和减去一般三角形里面的两个直角的度数(平角的度数)，从而来证明它的内角和也是180度。
师：同学们，你们在研究中想到了直角是90度，平角是180度。站在这样的角度，你还能想到其他验证方法吗?
生：如果我们能证明直角三角形的两个锐角的和是90度，也可以说明直角三角形的内角和是180度。(师板书：90度的2倍)
生：把一个三角形的三个内角拼在一起应该是一个平角。(师板书：平角是180度)
学生们又一次进行了操作验证。
[片段反思]
这一次实践，我们结合学生的所思所悟，提炼出了“360度的一半、平角是180度、两个直角”这一符合学生思维水平和认知规律的特殊角为支点。在教学中，以直角三角形内角和的验证为突破，把几种验证方法加以联系、拓展。与第一次教学相比，整个验证过程不仅环环相扣、层次清晰，而且在学生们的有序思考下历经了大量动手实践的过程。
然而，透过浮华的表面，我们发现学生们很多看似“深度”的研究，仍然是在教师牵引下的“浅层”操作，在教师刻意追求“数学味、联系性”的强势主导下，把学生们的思维空间束缚在固定的轨道上，极大地削弱了他们在研究问题时的主动性、积极性和创造力。那么，这种“舍本逐末”的教学方式的价值何在?我们教学这节课的意义又在哪里?
权衡、比较前后两次教学的利弊后，我们达成了这样的共识：在学生有意义的、富有挑战性的操作验证的过程中去提炼“特殊角”这一数学思考，用这一数学思考来再次指导他们的实践操作，由此便衍生了下面的教学。
[第三次验证阶段片段回放]
同第二次教学片段回放，学生们测量直角三角形内角和的环节已经结束。其中，教师表扬了一位测量结果是182度的学生，说他具有不畏权威，实事求是的精神。
师：的确，测量是有误差的。你能找出更好的方法吗?动手试试看吧!
很多学生在一阵忙乱后有了惊讶的发现。交流过程是以学生上台展示的形式进行的。教师把学生生成的有效材料贴在了黑板上。
生：把两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，因为长方形的内角和是360度，所以直角三角形的内角和是180度!
师：他想到了360度的一半。(板书)
生：把直角三角形的两个锐角拼在一起(折过来与直角重合)，因为直角是90度，两个锐角也是90度，所以是180度。
师：简单有效，两个90度。(板书)
生：因为平角是180度，我就把三 角形的三个角剪下来拼在一起就是一个平角。
师：不错。(板书：平角是180度)
师统计各种方法验证的人数(用两个直角来验证的同学最多)。
师小结：同学们，你们通过自己的研究，想到用360度的一半、平角、两个直角来验证直角三角形的内角和是180度。那么，其他两类三角形的内角和你也能验证一下吗?
反馈学生们的研究：
生：把一个锐角三角形的三个内角折到了一起来说明它的内角和也是180度。
师：把研究直角三角形内角和的方法用到了验证锐角三角形上，真是一位学以致用的孩子。
生：钝角三角形的三个内角也可以这样折成180度。
师找出一位沿高对折锐角三角形的学生，问：这位同学想干吗?
生：他是把一个锐角三角形分成两个直角三角形。
师：能说明这个锐角三角形的内角和是180度吗?
等待了大约20秒，两位孩子上来分别用“两个90度”和“360度-180度”的想法加以说明。
师小结：同学们，通过刚才的研究，我们得到了怎样的可靠结论?
生齐读：三角形的内角和是180度。
[整体反思]
本次教学，学生们的表现令我惊讶。综观几次教学实践的得与失，使我对教学中教师引领的价值有了更为深入的思考：
1 教师的引领必须建立在学生自主探究的基础上
心理学研究表明：学生有自我发展、自我实现的需要。只有在亲身经历或体验一种学习过程时，其聪明才智才能得以发挥。反观我的第一次教学实践，表面上看是高估了学生的现实水平，而实则应归咎于教师没有让学生去实践、去操作，没有了在问题驱动下手、脑并用的实践性研究，学生的聪明才智便无法激活，教师的引领也只能如“空穴来风”般的强硬而无力。在第二次教学实践前，我们虽围绕“利用学生的生活经验，提炼新知识的生长点”展开了讨论，但把“生活经验”狭义地理解为“知识经验”，思维只局限在“特殊角”的提炼上，而没有站在“发展学生”的大局上去考虑怎么提炼，什么时候提炼。由此就有了课堂中“本末倒置”的先引领，再实践。
在第三次教学实践时，教师给学生搭建了自主活动的舞台，尊重、满足了学生自我发展、自我实现的需要。在放手让学生验证直角三角形的内角和时，他们在经历了短暂的可能无意识操作后，便有了惊讶的发现……从而在操作中引发了他们有针对性的思考，并以此活动发展了他们合情推理能力和初步的演绎推理能力。此时教师在学生们的方法交流中提炼出“特殊角”，把他们的感性操作引领到理性的层面上，便显得水到渠成了。
2 点亮学生思维的引领才是引领价值的最大体现
如果把跌跌撞撞看成是学生们生命成长中必需的成本，教师应是他们探索时的参与者、跌倒时的搀扶者。那么，学生的个性、意志品质、独特的生活经验便会转化成他们的创造力。
在第三次教学时，当有些学生把直角三角形的两个锐角拿起来再把它们凑在一起成一个直角的样子时，教师不失时机地引导：“你有更好的方法来说明它们一定是一个直角吗?”从而有效地把他们的探究引领到更直观更确定的验证上来；当有学生把三角形的三个内角剪下来拼成平角时，学生们虽赞同此种方法的巧妙，但很多学生惊呼：“还可以用剪刀剪?”显然他们对此种具有破坏性的方法不是非常欣赏，此时教师再次出手：“如果没有剪刀也不让你撕，这三千内角还能跑到一起吗?”于是就有了学生更具智慧的方法。当有学生把锐角三角形沿底边上的高折成两个直角三角形又不得其解时，教师又无限地把这种个性鲜明的验证经历放大，从而有效地保证了把学生的思维引向深处。
在第四次正式登台时情况又发生了变化：在让学生们自主探究直角三角形内角和时，几乎所有的学生都是用两个锐角拼成直角的方法进行验证的，这是第三次教学实践中没有出现的问题。此时的我，思考更多的是如何引领他们想到别的方法，于是匆匆一句“你们想到了90度的角是个特殊角，如果直角三角形的内魚和是180度，那么把它的三个内角拼在一起会是什么样子呢?”把孩子的思维硬拉到自己预想的角度上，以换来教学的流畅和多样。课后在交流时，很多教师认为：学生们在探究“一般三角形的内角和”时，如果发现原有的方法不起作用时，再让他们在实践中去感悟和发现“拼平角”的方法会更有价值。此种经历，也使我收获了在面对不同的学生时，教师要善于调整，选择适合学生的有效引领。
(浙江省平湖师范附属小学 314200)
我们发现，对于三角形内角和的结论，因为先前已有相关内容的涉及，学生并不陌生，但对这个结论产生的过程，大多数学生却缺乏深层次的思考。因此，教学时与其在“三角形内角和是否是180度”上争论不休，不如围绕“三角形内角和为何是180度”进行展开。在验证阶段，设置认知冲突，调动学生已有的知识储备，使其不自觉地运用推理、演绎、分析等多种手段，构建对“三角形内角和”结论由来的充分认识。
[第一次验证阶段片段回放]
出示问题：直角三角形的内角和是多少度?它是怎么得来的?
当学生看到第一个问题时，“高手”林立，但读完第二个问题后，很多高举的小手又无奈地放下了。
生：可以通过测量得来。(“是啊、是啊”，很多学生随声附和)
师：那就量吧!
学生有的拿出三角形学具开始测量，有的则测量起三角尺三个内角的度数。
教师把学生测量的结果板书到了黑板上，其中一位学生的结果是182度。
师：刚才你们都说三角形的内角和是180度，那这个是怎么回事?(师手指着182度)
几乎所有的学生都认为是误差造成的。
师：那么，谁上来再测量一下?
由于这个三角形三个内角的度数都不是整数，这位同学经过仔细测量，并用“四舍五入”取整数后得出是181度。
师：现在你们有什么要说的?
生：三角形的内角和一定是180度，书上就是这么写的。
生：上学期我们已经用180度计算三角形内的一个角，老师也曾经讲过的。
师：研究数学，不能只依靠权威，要用自己的方法来说明才是好样的!
学生面面相觑，教师的问题让他们无言以对。终于一个学生举手了。
生：把一张长方形的纸沿对角线剪开可以得到两个完全一样的直角，三角形，因为长方形的内角和是360度，所以直角三角形的内角和是180度。(在课前的游戏中教师安排了这样的操作，这位学生的发言显然是受到了它的启发)
师：除此之外还有其他方法吗?
学生们又一次陷入了沉默。
教师在迫不得已时再次出手：不同度数的角有各自不同的样子，180度角的样子是怎样的呢?
……
[片段反思]
“同学们，还有其他方法吗?”一遍遍的重复声在空荡的教室里显得那样的无力和苍白，面对集体沉默，我的教学陷入了尴尬的境地。课前，虽通过调查了解到学生们对三角形内角和的结论是知道的，但他们在直面问题时的无所适从，是我预先没有想到的。由于在预设中过高估计了学生的现实水平，于是课堂上便有了一遍遍无奈的重复，一次次指向明确的引导。综观整个验证过程，他们所能想到的办法，要么具有灵光一现的偶然性，要么带有教师言语的暗示性，学生们的思考明显缺乏方向性和着力点。
儿童学习新知识总是建立在一定的知识经验基础之上的，教师要利用学生的生活经验，提炼出新知识的生长点。那么，学生验证“三角形内角和”时已有的知识经验应该是什么?能否以“特殊角”为生长点，把各种验证方法建立起有效的联系，从而使学生们的思维“有法可依”?围绕着这样的思考，我们又进行了第二次的教学实践。
[第二次验证阶段片段回放]
学生们测量直角三角形内角和的环节已经结束。
师：还有比测量更好的验证办法吗?
生：长方形的内角和是360度，剪成两个完全一样齣三角形，每个三角形的内角和就是180度。
师：这位同学很聪明地想到用分割长方形的办法来验证直角三角形的内角和，大家试试看吧!(板书：360度的一半、分割法)
(学生操作后实物投影)
师：一般三角形的内角和也能通过360度的一半或分割法来验证吗?
(学生想了想后说不能)
师：既然不能分割我们所已知内角和的图形来得到一般三角形，那么能否把它自己分割成我们已知的内角和的图形来验证呢?
学生们通过操作研究，得出可以沿一条底边上的高把一般三角形分割成两个直角三角形，用两个直角三角形的内角和减去一般三角形里面的两个直角的度数(平角的度数)，从而来证明它的内角和也是180度。
师：同学们，你们在研究中想到了直角是90度，平角是180度。站在这样的角度，你还能想到其他验证方法吗?
生：如果我们能证明直角三角形的两个锐角的和是90度，也可以说明直角三角形的内角和是180度。(师板书：90度的2倍)
生：把一个三角形的三个内角拼在一起应该是一个平角。(师板书：平角是180度)
学生们又一次进行了操作验证。
[片段反思]
这一次实践，我们结合学生的所思所悟，提炼出了“360度的一半、平角是180度、两个直角”这一符合学生思维水平和认知规律的特殊角为支点。在教学中，以直角三角形内角和的验证为突破，把几种验证方法加以联系、拓展。与第一次教学相比，整个验证过程不仅环环相扣、层次清晰，而且在学生们的有序思考下历经了大量动手实践的过程。
然而，透过浮华的表面，我们发现学生们很多看似“深度”的研究，仍然是在教师牵引下的“浅层”操作，在教师刻意追求“数学味、联系性”的强势主导下，把学生们的思维空间束缚在固定的轨道上，极大地削弱了他们在研究问题时的主动性、积极性和创造力。那么，这种“舍本逐末”的教学方式的价值何在?我们教学这节课的意义又在哪里?
权衡、比较前后两次教学的利弊后，我们达成了这样的共识：在学生有意义的、富有挑战性的操作验证的过程中去提炼“特殊角”这一数学思考，用这一数学思考来再次指导他们的实践操作，由此便衍生了下面的教学。
[第三次验证阶段片段回放]
同第二次教学片段回放，学生们测量直角三角形内角和的环节已经结束。其中，教师表扬了一位测量结果是182度的学生，说他具有不畏权威，实事求是的精神。
师：的确，测量是有误差的。你能找出更好的方法吗?动手试试看吧!
很多学生在一阵忙乱后有了惊讶的发现。交流过程是以学生上台展示的形式进行的。教师把学生生成的有效材料贴在了黑板上。
生：把两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，因为长方形的内角和是360度，所以直角三角形的内角和是180度!
师：他想到了360度的一半。(板书)
生：把直角三角形的两个锐角拼在一起(折过来与直角重合)，因为直角是90度，两个锐角也是90度，所以是180度。
师：简单有效，两个90度。(板书)
生：因为平角是180度，我就把三 角形的三个角剪下来拼在一起就是一个平角。
师：不错。(板书：平角是180度)
师统计各种方法验证的人数(用两个直角来验证的同学最多)。
师小结：同学们，你们通过自己的研究，想到用360度的一半、平角、两个直角来验证直角三角形的内角和是180度。那么，其他两类三角形的内角和你也能验证一下吗?
反馈学生们的研究：
生：把一个锐角三角形的三个内角折到了一起来说明它的内角和也是180度。
师：把研究直角三角形内角和的方法用到了验证锐角三角形上，真是一位学以致用的孩子。
生：钝角三角形的三个内角也可以这样折成180度。
师找出一位沿高对折锐角三角形的学生，问：这位同学想干吗?
生：他是把一个锐角三角形分成两个直角三角形。
师：能说明这个锐角三角形的内角和是180度吗?
等待了大约20秒，两位孩子上来分别用“两个90度”和“360度-180度”的想法加以说明。
师小结：同学们，通过刚才的研究，我们得到了怎样的可靠结论?
生齐读：三角形的内角和是180度。
[整体反思]
本次教学，学生们的表现令我惊讶。综观几次教学实践的得与失，使我对教学中教师引领的价值有了更为深入的思考：
1 教师的引领必须建立在学生自主探究的基础上
心理学研究表明：学生有自我发展、自我实现的需要。只有在亲身经历或体验一种学习过程时，其聪明才智才能得以发挥。反观我的第一次教学实践，表面上看是高估了学生的现实水平，而实则应归咎于教师没有让学生去实践、去操作，没有了在问题驱动下手、脑并用的实践性研究，学生的聪明才智便无法激活，教师的引领也只能如“空穴来风”般的强硬而无力。在第二次教学实践前，我们虽围绕“利用学生的生活经验，提炼新知识的生长点”展开了讨论，但把“生活经验”狭义地理解为“知识经验”，思维只局限在“特殊角”的提炼上，而没有站在“发展学生”的大局上去考虑怎么提炼，什么时候提炼。由此就有了课堂中“本末倒置”的先引领，再实践。
在第三次教学实践时，教师给学生搭建了自主活动的舞台，尊重、满足了学生自我发展、自我实现的需要。在放手让学生验证直角三角形的内角和时，他们在经历了短暂的可能无意识操作后，便有了惊讶的发现……从而在操作中引发了他们有针对性的思考，并以此活动发展了他们合情推理能力和初步的演绎推理能力。此时教师在学生们的方法交流中提炼出“特殊角”，把他们的感性操作引领到理性的层面上，便显得水到渠成了。
2 点亮学生思维的引领才是引领价值的最大体现
如果把跌跌撞撞看成是学生们生命成长中必需的成本，教师应是他们探索时的参与者、跌倒时的搀扶者。那么，学生的个性、意志品质、独特的生活经验便会转化成他们的创造力。
在第三次教学时，当有些学生把直角三角形的两个锐角拿起来再把它们凑在一起成一个直角的样子时，教师不失时机地引导：“你有更好的方法来说明它们一定是一个直角吗?”从而有效地把他们的探究引领到更直观更确定的验证上来；当有学生把三角形的三个内角剪下来拼成平角时，学生们虽赞同此种方法的巧妙，但很多学生惊呼：“还可以用剪刀剪?”显然他们对此种具有破坏性的方法不是非常欣赏，此时教师再次出手：“如果没有剪刀也不让你撕，这三千内角还能跑到一起吗?”于是就有了学生更具智慧的方法。当有学生把锐角三角形沿底边上的高折成两个直角三角形又不得其解时，教师又无限地把这种个性鲜明的验证经历放大，从而有效地保证了把学生的思维引向深处。
在第四次正式登台时情况又发生了变化：在让学生们自主探究直角三角形内角和时，几乎所有的学生都是用两个锐角拼成直角的方法进行验证的，这是第三次教学实践中没有出现的问题。此时的我，思考更多的是如何引领他们想到别的方法，于是匆匆一句“你们想到了90度的角是个特殊角，如果直角三角形的内魚和是180度，那么把它的三个内角拼在一起会是什么样子呢?”把孩子的思维硬拉到自己预想的角度上，以换来教学的流畅和多样。课后在交流时，很多教师认为：学生们在探究“一般三角形的内角和”时，如果发现原有的方法不起作用时，再让他们在实践中去感悟和发现“拼平角”的方法会更有价值。此种经历，也使我收获了在面对不同的学生时，教师要善于调整，选择适合学生的有效引领。
(浙江省平湖师范附属小学 314200)