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一、问题缘起
作业练习是教学过程中不可缺少的重要环节，学生练、老师批这是最常见的教学信息反馈流程。有些教师会根据学生的错误情况进行分类，如同一知识性错误的一类，计算错误的一类等，而后按照错误的类别分批次给学生讲解，这应该算是一位尽责的教师。
笔者每天也都如此，可是，目前所任教的学生两年下来并没有明显的进步，令人百思不得其解，只好到处寻觅良策，无意中发现这样一段话：数学思维活动教学涉及三种思维活动：前人的思维活动（它或隐或现地存在于课本中），数学教师的思维活动和学生的思维活动。前人的思维活动以教材和教师为媒介对教学过程产生影响，是数学教学活动的隐蔽参加者。这种反映在知识中的成熟的数学思维活动是学生思维活动的楷模。教师通过自己创造性的思维活动，在前人与学生思维活动之间、学生的已有知识与面临的问题之间架设桥梁。揭示前人与学生的数学思维活动过程的能力是数学教师重要的教学素质，分析数学思维过程是数学教师在教学活动中最重要、最本质的活动。
一语惊醒梦中人，平时我们是怎样批改作业的？只是简单地对学生作业判断“√”或“×”，然后把错的作业归归类，让学生订正一下，这样作业就算批好了。扪心自问：我了解做对学生的解题思维过程了吗？是一样的还是不一样的？有几种？做错学生的解题思维过程是全错了？还是部分错？惭愧！这么多问号我一个也法回答，试问我怎么能架设一座好的桥梁？欣喜！我终于找到方向了，那么作业里到底蕴藏着多少宝藏呢？让我们从分析思维过程入手。
【原型重现】初尝甜头
在学习了通分这一知识以后的练习，笔者像平时一样对学生的作业进行批改，当批到张同学的作业时，突然发现了他没有在原分数的旁边写上一个通分后的分数后进行大小比较，而是在每个分数的分子上方写上了一个数字，哪个数字大这个分数就大，巧的是每一个结果都是正确的，原来每一个分子上方的数字都是这个数的分子与另一个分数分母的乘积，都是通过十字相乘得来的。难道这个方法在任何分数的大小比较中都可以用吗？到底为什么可以这样做？这位学生的思维过程是怎样的呢？于是笔者去询问了这位学生，其思维过程如下：
【分层剖析】这是运用了通分的方法，在这类题目中是没必要找出分母的最小公倍数，只要找原分母的公倍数就可以了，因为这样已经可以达到解题目的，而且速度也快。笔者把这位学生的思维过程展现给其他学生看时，大家都感觉到原来分数大小的比较方法可以如此简单，都对这位学生投去了佩服的眼光，并且自发地把这种方法命名了“张××（这位同学的名字）法”。
学生在解答题目时，展现了在学习数学知识中另类而又正确的思维过程。教师利用这一思维过程向学生渗透了该学生解决问题的方法，使所有学生都品尝和共享这一快速而有效的方法。通过这一思维过程让每一位学生都得到了新成果（问题的解答）。笔者也尝到了在作业中关注学生思维过程的甜头。
数学课程标准中强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，教师必须扮演好作为联系教材和学生的桥梁这一角色。吃透教材（明晰编者的思维活动），把握学生（重视学生作业的分析，从而掌握学生对已有知识的思维过程），这样才能让学生进行有效的数学学习活动；这样才能使编者、教师、学生的思维活动和谐统一；这样才是成功的教学。因此，笔者认为分析学生作业的思维过程应是数学教师在批改作业时最重要、最本质的活动。
二、分析方法
数学课程标准指出：小学数学的教学应注重对学生数学思维过程的评价和分析。对学生作业数学思维过程的分析就是要使学生明确要解决的主要问题，运用涉及的旧知识，得到新的成果（问题的解答）；使用合适的语言（符号或术语）与方法，得到新的解题方法；然后对成果加以应用，达到举一反三的效果。最终让我们的课堂变知识储备型教学为智力开发型教学，变知识型人才的培养为素质型人才的培养。基于上述的认识，笔者认为教师必须掌握一些对小学生数学作业思维过程分析的有效方法。
（一）借用数量关系，训练学生的思维过程
新教材依据“课标”要求不再设置“应用题”的专门编排和教学课时，要求教师取消这部分内容的集中教学，期望教师通过现实生活情境创设，把数量关系的运用问题渗透到日常教学之中。这种追求本身并没有错，只是很多教师不太适应这种融合渗透的教学方式，导致课堂教学中现实生活情境泛滥，缺乏的却是结合情境的教学过程来渗透数量关系的运用问题。特别是对数量关系适时抽象概括与专项训练更是重视不够，导致学生对解决问题望而生惧，乱猜解题方法，学生的认识和思维也只能停留在具体情境上。
我们一线的教师都十分清楚数量关系对解决问题的重要性，但让学生死记硬背是违背新课程理念的，何不换种方式让学生运用实际情境来解释这个数量关系，真正体验到这一数量关系是合理的也是正确的，再运用这一数量关系式解决问题，从而达到内化。
【原型重现】成功起航
【分层剖析】
1.以线段图来直观展现1份的速度和里包括一个40和一个50相加的和，因为这是1分钟小明和小兵同时行走的，4分钟就是有4个（40＋50）的和。
2.以文字进行分解说明这一数量关系式的原形为总路程=小明的速度×时间+小兵的速度×时间，因为时间相同，再联系乘法分配律可以变式为路程=速度和×时间。
上述的联系实际问题解释数量关系，体现了学生利用自然现象和社会现象来解释数学建模的合理性与正确性，也充分显示了学生具有较强的处理信息、推理和证明事实的能力，通过思维过程的分析也进一步提升了学生对数量关系的理解。
（二）通过内化面积公式，训练学生的思维过程
要让学生体会到前人的图形计算公式的合理性和正确性，就必须让学生经历公式推导的这样一个过程：观察→猜想→验证→证明→应用，这既是公式推导的一般程序，也是数学家思维活动的过程。因此，从图形面积的推导入手可以分析出数学家思维活动的过程，而分析这一思维过程和小学生的思维特点，就可以制订出比较合理的教学程序。 【原型重现】以旧推新
【分层剖析】
1.用补缺口的方法来说明自己判断的正确性。
2.用平均分的知识来证明自己的猜测。
3.运用平移、旋转的知识来验证三角形的面积等于长方形面积的1/2，得出S△=ab÷2，然后加以应用。
上述三角形面积公式推导思维过程，让学生经历了图形面积公式推导的一般过程：观察、比较、猜想、验证，十分自然地体现了数学研究的一般程序，并使学生建立起“新”图形转化成“旧”图形之间的联系，使学生主动地掌握几何图形的面积计算公式，并在这一过程中，培养了学生的创新意识和实践能力，发展了学生的空间想象能力，增强了学生进行研究性学习的能力。
（三）梳理解题思路，训练学生的思维过程
数学中有不少类型的题目有约定俗成的解题策略与解题方法，但还有很多题目要用独特的思路去解决。笔者以一道作业题为例，试图从解决数学题的思路中分析数学思维过程。
【原型重现】把握本质
【分层剖析】
1.由梯形和三角形的概念联想到它们的本质属性，由它们的概念想象到图形的结构图。
2. 梯形角和三角形角的数量之和为7个成立，小于7个和大于7个不成立，这是另一位学生的做法：
（1）角共有7个成立，是一个梯形和一个三角形；
（2）角共有6个不成立，是两个直角三角形；
（3）角共有8个不成立， 是两个梯形。
3.确定要求作的线段是一个端点在对角线上，另一个端点在对边的线上任意一点的公共边。
4.作出图形。
（四）选择解题方法，训练学生的思维过程
【原型重现】分数部分不够减的带分数减法
以3-1＝？为例
一位学生解题的方法是：
3-1= 2-1= （2-1）+（-）＝ 1+＝ 1。
根据这样的解题过程，师生共同总结出解决这类题的思维过程是：
一看：看分数部分够不够减。（-不够减）
二借：被减数的分数部分向整数部分借1。（把3转化成2）
三拆：把两个带分数拆成整数部分相减和分数部分相减。（2－1，-）
四合：把整数部分的得数与分数部分的合起来。（1+）
【分层剖析】通过这一思维过程的分析、提炼，使所有学生对这一类题目的解题方法有了更清晰的认识，为学生解决带分数加减题目提供了一个可操作的程序。
（五）领悟解题策略，培养学生的思维过程
学数学离不开做作业，那么在做作业的时候学生要具备一定的解题策略。同时学生的每一种解题策略都蕴含着丰富的思维资源。
【原型重现】 以退为进
【分层剖析】
1.学生通过观察，明确了解决这一问题的要点就是找到正方形的中心点和圆的圆心。
2.确定了要点以后，就分步进行（先后退，从复杂到简单），如果没有正方形，只要找到圆心O，那么通过圆心的任意一条直线都能把圆分成面积相等的两部分。如图2。
3.如果只是一个正方形，只要画出正方形的对角线，找到对角线的交点A，通过A点的任意一条直线都必定把正方形分成面积相等的两部分。如图3。
4.题中要求用一条直线把正方形和圆同时分成面积相等的两部分（前进，从简单到复杂），结合前面的思维过程，画出通过正方形中心点和圆的圆心的直线就一定能解决这一问题。如图4。
解题策略就是寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针。小学生在解题时常出现如下情形：有时，面对数学题，无从下手；有时，明明思路很清楚，就是解不出来；有时,解到一半，却是“山穷水尽”等等。笔者相信通过我们对解题思维过程的详尽分析，让学生认透了，钻透了，一定会“柳暗花明又一村”。
三、后续思考
笔者通过对学生数学作业思维过程的分析研究，使每一次作业的学生思维过程成为教师下一次教学的起点，使每一次作业都成为学生成长的生长点。学生在问题的不断生成、不断解决的探索中成长，每一位学生在数学学习上能得到成功的体验，每一位学生的思维能力都有了一定的发展。同时，也产了一些新的困惑：
（一）如何有效提高学生数学语言的表达能力？
（二）教师如何开展分层教学？
（三）怎样才能探索出一套完整而科学的培养学生思维过程的方案？
总之，对作业思维过程的分析研究是“拉长”数学思维活动的过程，是深挖作业价值的过程，通过对这一过程的“拉长”，暴露学生的整个思维过程，使我们有机会发现学生思维过程的关键点（成功点或错误点），从而通过教师对这个关键点的加工处理，促进学生思维的持续发展。
（责编 金 铃）
作业练习是教学过程中不可缺少的重要环节，学生练、老师批这是最常见的教学信息反馈流程。有些教师会根据学生的错误情况进行分类，如同一知识性错误的一类，计算错误的一类等，而后按照错误的类别分批次给学生讲解，这应该算是一位尽责的教师。
笔者每天也都如此，可是，目前所任教的学生两年下来并没有明显的进步，令人百思不得其解，只好到处寻觅良策，无意中发现这样一段话：数学思维活动教学涉及三种思维活动：前人的思维活动（它或隐或现地存在于课本中），数学教师的思维活动和学生的思维活动。前人的思维活动以教材和教师为媒介对教学过程产生影响，是数学教学活动的隐蔽参加者。这种反映在知识中的成熟的数学思维活动是学生思维活动的楷模。教师通过自己创造性的思维活动，在前人与学生思维活动之间、学生的已有知识与面临的问题之间架设桥梁。揭示前人与学生的数学思维活动过程的能力是数学教师重要的教学素质，分析数学思维过程是数学教师在教学活动中最重要、最本质的活动。
一语惊醒梦中人，平时我们是怎样批改作业的？只是简单地对学生作业判断“√”或“×”，然后把错的作业归归类，让学生订正一下，这样作业就算批好了。扪心自问：我了解做对学生的解题思维过程了吗？是一样的还是不一样的？有几种？做错学生的解题思维过程是全错了？还是部分错？惭愧！这么多问号我一个也法回答，试问我怎么能架设一座好的桥梁？欣喜！我终于找到方向了，那么作业里到底蕴藏着多少宝藏呢？让我们从分析思维过程入手。
【原型重现】初尝甜头
在学习了通分这一知识以后的练习，笔者像平时一样对学生的作业进行批改，当批到张同学的作业时，突然发现了他没有在原分数的旁边写上一个通分后的分数后进行大小比较，而是在每个分数的分子上方写上了一个数字，哪个数字大这个分数就大，巧的是每一个结果都是正确的，原来每一个分子上方的数字都是这个数的分子与另一个分数分母的乘积，都是通过十字相乘得来的。难道这个方法在任何分数的大小比较中都可以用吗？到底为什么可以这样做？这位学生的思维过程是怎样的呢？于是笔者去询问了这位学生，其思维过程如下：
【分层剖析】这是运用了通分的方法，在这类题目中是没必要找出分母的最小公倍数，只要找原分母的公倍数就可以了，因为这样已经可以达到解题目的，而且速度也快。笔者把这位学生的思维过程展现给其他学生看时，大家都感觉到原来分数大小的比较方法可以如此简单，都对这位学生投去了佩服的眼光，并且自发地把这种方法命名了“张××（这位同学的名字）法”。
学生在解答题目时，展现了在学习数学知识中另类而又正确的思维过程。教师利用这一思维过程向学生渗透了该学生解决问题的方法，使所有学生都品尝和共享这一快速而有效的方法。通过这一思维过程让每一位学生都得到了新成果（问题的解答）。笔者也尝到了在作业中关注学生思维过程的甜头。
数学课程标准中强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，教师必须扮演好作为联系教材和学生的桥梁这一角色。吃透教材（明晰编者的思维活动），把握学生（重视学生作业的分析，从而掌握学生对已有知识的思维过程），这样才能让学生进行有效的数学学习活动；这样才能使编者、教师、学生的思维活动和谐统一；这样才是成功的教学。因此，笔者认为分析学生作业的思维过程应是数学教师在批改作业时最重要、最本质的活动。
二、分析方法
数学课程标准指出：小学数学的教学应注重对学生数学思维过程的评价和分析。对学生作业数学思维过程的分析就是要使学生明确要解决的主要问题，运用涉及的旧知识，得到新的成果（问题的解答）；使用合适的语言（符号或术语）与方法，得到新的解题方法；然后对成果加以应用，达到举一反三的效果。最终让我们的课堂变知识储备型教学为智力开发型教学，变知识型人才的培养为素质型人才的培养。基于上述的认识，笔者认为教师必须掌握一些对小学生数学作业思维过程分析的有效方法。
（一）借用数量关系，训练学生的思维过程
新教材依据“课标”要求不再设置“应用题”的专门编排和教学课时，要求教师取消这部分内容的集中教学，期望教师通过现实生活情境创设，把数量关系的运用问题渗透到日常教学之中。这种追求本身并没有错，只是很多教师不太适应这种融合渗透的教学方式，导致课堂教学中现实生活情境泛滥，缺乏的却是结合情境的教学过程来渗透数量关系的运用问题。特别是对数量关系适时抽象概括与专项训练更是重视不够，导致学生对解决问题望而生惧，乱猜解题方法，学生的认识和思维也只能停留在具体情境上。
我们一线的教师都十分清楚数量关系对解决问题的重要性，但让学生死记硬背是违背新课程理念的，何不换种方式让学生运用实际情境来解释这个数量关系，真正体验到这一数量关系是合理的也是正确的，再运用这一数量关系式解决问题，从而达到内化。
【原型重现】成功起航
【分层剖析】
1.以线段图来直观展现1份的速度和里包括一个40和一个50相加的和，因为这是1分钟小明和小兵同时行走的，4分钟就是有4个（40＋50）的和。
2.以文字进行分解说明这一数量关系式的原形为总路程=小明的速度×时间+小兵的速度×时间，因为时间相同，再联系乘法分配律可以变式为路程=速度和×时间。
上述的联系实际问题解释数量关系，体现了学生利用自然现象和社会现象来解释数学建模的合理性与正确性，也充分显示了学生具有较强的处理信息、推理和证明事实的能力，通过思维过程的分析也进一步提升了学生对数量关系的理解。
（二）通过内化面积公式，训练学生的思维过程
要让学生体会到前人的图形计算公式的合理性和正确性，就必须让学生经历公式推导的这样一个过程：观察→猜想→验证→证明→应用，这既是公式推导的一般程序，也是数学家思维活动的过程。因此，从图形面积的推导入手可以分析出数学家思维活动的过程，而分析这一思维过程和小学生的思维特点，就可以制订出比较合理的教学程序。 【原型重现】以旧推新
【分层剖析】
1.用补缺口的方法来说明自己判断的正确性。
2.用平均分的知识来证明自己的猜测。
3.运用平移、旋转的知识来验证三角形的面积等于长方形面积的1/2，得出S△=ab÷2，然后加以应用。
上述三角形面积公式推导思维过程，让学生经历了图形面积公式推导的一般过程：观察、比较、猜想、验证，十分自然地体现了数学研究的一般程序，并使学生建立起“新”图形转化成“旧”图形之间的联系，使学生主动地掌握几何图形的面积计算公式，并在这一过程中，培养了学生的创新意识和实践能力，发展了学生的空间想象能力，增强了学生进行研究性学习的能力。
（三）梳理解题思路，训练学生的思维过程
数学中有不少类型的题目有约定俗成的解题策略与解题方法，但还有很多题目要用独特的思路去解决。笔者以一道作业题为例，试图从解决数学题的思路中分析数学思维过程。
【原型重现】把握本质
【分层剖析】
1.由梯形和三角形的概念联想到它们的本质属性，由它们的概念想象到图形的结构图。
2. 梯形角和三角形角的数量之和为7个成立，小于7个和大于7个不成立，这是另一位学生的做法：
（1）角共有7个成立，是一个梯形和一个三角形；
（2）角共有6个不成立，是两个直角三角形；
（3）角共有8个不成立， 是两个梯形。
3.确定要求作的线段是一个端点在对角线上，另一个端点在对边的线上任意一点的公共边。
4.作出图形。
（四）选择解题方法，训练学生的思维过程
【原型重现】分数部分不够减的带分数减法
以3-1＝？为例
一位学生解题的方法是：
3-1= 2-1= （2-1）+（-）＝ 1+＝ 1。
根据这样的解题过程，师生共同总结出解决这类题的思维过程是：
一看：看分数部分够不够减。（-不够减）
二借：被减数的分数部分向整数部分借1。（把3转化成2）
三拆：把两个带分数拆成整数部分相减和分数部分相减。（2－1，-）
四合：把整数部分的得数与分数部分的合起来。（1+）
【分层剖析】通过这一思维过程的分析、提炼，使所有学生对这一类题目的解题方法有了更清晰的认识，为学生解决带分数加减题目提供了一个可操作的程序。
（五）领悟解题策略，培养学生的思维过程
学数学离不开做作业，那么在做作业的时候学生要具备一定的解题策略。同时学生的每一种解题策略都蕴含着丰富的思维资源。
【原型重现】 以退为进
【分层剖析】
1.学生通过观察，明确了解决这一问题的要点就是找到正方形的中心点和圆的圆心。
2.确定了要点以后，就分步进行（先后退，从复杂到简单），如果没有正方形，只要找到圆心O，那么通过圆心的任意一条直线都能把圆分成面积相等的两部分。如图2。
3.如果只是一个正方形，只要画出正方形的对角线，找到对角线的交点A，通过A点的任意一条直线都必定把正方形分成面积相等的两部分。如图3。
4.题中要求用一条直线把正方形和圆同时分成面积相等的两部分（前进，从简单到复杂），结合前面的思维过程，画出通过正方形中心点和圆的圆心的直线就一定能解决这一问题。如图4。
解题策略就是寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针。小学生在解题时常出现如下情形：有时，面对数学题，无从下手；有时，明明思路很清楚，就是解不出来；有时,解到一半，却是“山穷水尽”等等。笔者相信通过我们对解题思维过程的详尽分析，让学生认透了，钻透了，一定会“柳暗花明又一村”。
三、后续思考
笔者通过对学生数学作业思维过程的分析研究，使每一次作业的学生思维过程成为教师下一次教学的起点，使每一次作业都成为学生成长的生长点。学生在问题的不断生成、不断解决的探索中成长，每一位学生在数学学习上能得到成功的体验，每一位学生的思维能力都有了一定的发展。同时，也产了一些新的困惑：
（一）如何有效提高学生数学语言的表达能力？
（二）教师如何开展分层教学？
（三）怎样才能探索出一套完整而科学的培养学生思维过程的方案？
总之，对作业思维过程的分析研究是“拉长”数学思维活动的过程，是深挖作业价值的过程，通过对这一过程的“拉长”，暴露学生的整个思维过程，使我们有机会发现学生思维过程的关键点（成功点或错误点），从而通过教师对这个关键点的加工处理，促进学生思维的持续发展。
（责编 金 铃）