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在数学教学中有机渗透数形结合的思想方法，可以使抽象的概念直观化、枯燥的算式形象化，也可以使复杂的问题条理化，让学生在愉悦的氛围中理解概念，在理解算理的基础上掌握算法，从而提高学生的思维能力和数学素养。巧妙地运用数形结合，可以优化思维过程，使得数学教学充满乐趣。
一、直观操作，理解数学概念
数学概念是知识教学中的重要组成部分，在概念教学中，仅阐明其实际意义是不够的，还应从事物的整体、本质和内在联系出发，对概念进行全面分析、比较，突出其本质属性，使抽象枯燥的概念形象化、生动化、具体化。借助直观的图形，加强实验操作将概念教学趣味化，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。
例如，在教学北师大版《数学》五年级下册《体积与容积》时，为让学生充分体会到物体所占的空间是有大有小的，笔者找来两个大小差不多大的土豆和红薯，问学生到底谁占得空间大及具体测算方法。学生分组讨论后，提出猜想并进行实验验证：取来两个装有同样多的水的量杯，将土豆和红薯分别放进去，比较两个杯中水面上升的幅度后发现，装有土豆的杯子的水面高度高于装有红薯的杯子，说明土豆占得空间大，红薯占得空间小，从而得出土豆体积大，红薯体积小。
此处将不规则物体的体积大小转化成了上升的那部分水的体积，运用了数形结合思想的同时，也有机渗透了转化的数学思想，为后面探究不规则物体的体积奠定了基础。
在揭示“容积”的概念时，为让学生充分理解“所能容纳”的深层含义。笔者出示一个装了大半瓶水的瓶子，问学生“瓶子中水的体积是瓶子的容积吗？”学生有的点头，有的摇头，似乎不敢确定。笔者再次追问“那么瓶子的容积到底是多少呢？”这时，有学生提出，把瓶子里的水加满就是。于是，笔者手拿装着水的量杯往瓶子里加水，边加边说：“当水的体积等于瓶子的容积时，你们就叫停。”这样一个扣人心弦的实验演示让学生真实直观地体会到“所能容纳”就是满满地容纳，不留一点儿空隙。教师通过直观演示让学生在真实的情境中观察比较，渗透数形结合的思想方法，使概念的理解由模糊变得清晰。
充分利用直观图形、实践探究和演示操作，让学生在观察、猜想、比较、分析、推理、验证中内化枯燥抽象的数学概念，从而使概念教学趣味化、生动化、形象化。
二、想象验证，拓展空间观念
空间观念是学生必须具备的数学核心素养之一。教学中应尽可能为学生提供形象直观的物体，展示几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，通过数形结合，使抽象的图形直观化，丰富学生对现实空间及图形的认识，从而发展学生的空间想象能力。
例如，在执教人教版《数学》六年级下册《圆柱的表面积》的巩固训练环节，笔者出示习题：把一根长12米，直径为6米的圆柱体木料切成2段，表面积增加了多少？一开始，学生无从下手，不知道应该怎样计算？笔者引导学生运用数形结合的方法分三步解题。首先动手操作，根据数据画出一个圆柱体，再将其切成2段，可以横切，也可以纵切，分别画出横切和纵切的草图，看看不同的切法表面积都多了哪几个面，多的这几个面的面积合起来就是表面积增加的部分。其次实物操作演示，可以切萝卜、火腿肠或黄瓜，课堂真实演示，让学生验证自己所切的面是否与笔者操作的一样。最后师生共同抽象概括，使物体的整体模型印刻在脑海中。通过数形结合，丰富学生对现实空间及图形的认识，从而拓展了学生的空间观念。
三、画图分析，理清数量关系
数形结合的思维方法是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。学生初步认识分数时，通过数形结合的对应思想，帮助学生构建了整体“1”与部分量之间的关系。在分数应用题中为了更好地分析数量关系，理清题意，引导学生通过画图来分析题中复杂的数量关系。其中线段图的使用显得更为清晰方便，使学生能够一目了然地获取相关的信息和问题，直观形象地了解到各信息与问题之间的数量关系。
例如笔者在教学这样的分数应用题时：气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的[13]，航模小组的人数是摄影小组的[34]。航模小组有多少人？先引导学生画一画，尝试运用画图的方式来表示这三者之间的关系，有的画的圆圈图，有的画的三角图，还有的画的点子图，无论学生画的哪种形式的图，只要能正确的表示出这三者之间的关系就已经成功了一半。再引导学生尝试用线段图来表示三者之间的数量关系，引导学生注意画图的规范化和科学性，其实这些图所表达的道理都是相通的，学生在画图的过程中明晰了三者之间的关系，正确地分析了数量关系，解题思路也就明晰了。
四、计算建模，明晰算法算理
计算教学时，教师应指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，才能找到最优路径，顺利完成教学任务。数形结合就是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。
笔者在执教人教版《数学》二年级下册《有余数除法》时，创设了这样的情境：16根小棒，能搭出几个三角形？让学生用自己喜欢的方式搭一搭，有的学生这样表示△△△△△/，正合我意。接着，笔者要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。再结合图形说出这题除法算式的商是多少以及多出来的一根小棒表示什么。通过搭建三角形，学生的大脑中的图像就基本上形成了，笔者及时引导抽象出有余数的除法的横式、竖式，学生有了表象能力的支撑，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。
（作者单位：冯长智，宜昌市猇亭区教研室；刘贞静，宜昌市猇亭区长堰堤小学）
一、直观操作，理解数学概念
数学概念是知识教学中的重要组成部分，在概念教学中，仅阐明其实际意义是不够的，还应从事物的整体、本质和内在联系出发，对概念进行全面分析、比较，突出其本质属性，使抽象枯燥的概念形象化、生动化、具体化。借助直观的图形，加强实验操作将概念教学趣味化，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。
例如，在教学北师大版《数学》五年级下册《体积与容积》时，为让学生充分体会到物体所占的空间是有大有小的，笔者找来两个大小差不多大的土豆和红薯，问学生到底谁占得空间大及具体测算方法。学生分组讨论后，提出猜想并进行实验验证：取来两个装有同样多的水的量杯，将土豆和红薯分别放进去，比较两个杯中水面上升的幅度后发现，装有土豆的杯子的水面高度高于装有红薯的杯子，说明土豆占得空间大，红薯占得空间小，从而得出土豆体积大，红薯体积小。
此处将不规则物体的体积大小转化成了上升的那部分水的体积，运用了数形结合思想的同时，也有机渗透了转化的数学思想，为后面探究不规则物体的体积奠定了基础。
在揭示“容积”的概念时，为让学生充分理解“所能容纳”的深层含义。笔者出示一个装了大半瓶水的瓶子，问学生“瓶子中水的体积是瓶子的容积吗？”学生有的点头，有的摇头，似乎不敢确定。笔者再次追问“那么瓶子的容积到底是多少呢？”这时，有学生提出，把瓶子里的水加满就是。于是，笔者手拿装着水的量杯往瓶子里加水，边加边说：“当水的体积等于瓶子的容积时，你们就叫停。”这样一个扣人心弦的实验演示让学生真实直观地体会到“所能容纳”就是满满地容纳，不留一点儿空隙。教师通过直观演示让学生在真实的情境中观察比较，渗透数形结合的思想方法，使概念的理解由模糊变得清晰。
充分利用直观图形、实践探究和演示操作，让学生在观察、猜想、比较、分析、推理、验证中内化枯燥抽象的数学概念，从而使概念教学趣味化、生动化、形象化。
二、想象验证，拓展空间观念
空间观念是学生必须具备的数学核心素养之一。教学中应尽可能为学生提供形象直观的物体，展示几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，通过数形结合，使抽象的图形直观化，丰富学生对现实空间及图形的认识，从而发展学生的空间想象能力。
例如，在执教人教版《数学》六年级下册《圆柱的表面积》的巩固训练环节，笔者出示习题：把一根长12米，直径为6米的圆柱体木料切成2段，表面积增加了多少？一开始，学生无从下手，不知道应该怎样计算？笔者引导学生运用数形结合的方法分三步解题。首先动手操作，根据数据画出一个圆柱体，再将其切成2段，可以横切，也可以纵切，分别画出横切和纵切的草图，看看不同的切法表面积都多了哪几个面，多的这几个面的面积合起来就是表面积增加的部分。其次实物操作演示，可以切萝卜、火腿肠或黄瓜，课堂真实演示，让学生验证自己所切的面是否与笔者操作的一样。最后师生共同抽象概括，使物体的整体模型印刻在脑海中。通过数形结合，丰富学生对现实空间及图形的认识，从而拓展了学生的空间观念。
三、画图分析，理清数量关系
数形结合的思维方法是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。学生初步认识分数时，通过数形结合的对应思想，帮助学生构建了整体“1”与部分量之间的关系。在分数应用题中为了更好地分析数量关系，理清题意，引导学生通过画图来分析题中复杂的数量关系。其中线段图的使用显得更为清晰方便，使学生能够一目了然地获取相关的信息和问题，直观形象地了解到各信息与问题之间的数量关系。
例如笔者在教学这样的分数应用题时：气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的[13]，航模小组的人数是摄影小组的[34]。航模小组有多少人？先引导学生画一画，尝试运用画图的方式来表示这三者之间的关系，有的画的圆圈图，有的画的三角图，还有的画的点子图，无论学生画的哪种形式的图，只要能正确的表示出这三者之间的关系就已经成功了一半。再引导学生尝试用线段图来表示三者之间的数量关系，引导学生注意画图的规范化和科学性，其实这些图所表达的道理都是相通的，学生在画图的过程中明晰了三者之间的关系，正确地分析了数量关系，解题思路也就明晰了。
四、计算建模，明晰算法算理
计算教学时，教师应指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，才能找到最优路径，顺利完成教学任务。数形结合就是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。
笔者在执教人教版《数学》二年级下册《有余数除法》时，创设了这样的情境：16根小棒，能搭出几个三角形？让学生用自己喜欢的方式搭一搭，有的学生这样表示△△△△△/，正合我意。接着，笔者要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。再结合图形说出这题除法算式的商是多少以及多出来的一根小棒表示什么。通过搭建三角形，学生的大脑中的图像就基本上形成了，笔者及时引导抽象出有余数的除法的横式、竖式，学生有了表象能力的支撑，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。
（作者单位：冯长智，宜昌市猇亭区教研室；刘贞静，宜昌市猇亭区长堰堤小学）