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向量是新课程增加的新内容，由于向量自身的工具性、灵活性，其应用越来越广泛，成为高考中的新宠，就拿今年江西高考理科卷来说，向量知识在选择题、填空题，三角函数，立体几何中频频出现，而且还有发展的可能.因为向量能与各知识有机的结合，相互渗透，变换拓广，能组合出立意高、设计巧，富有创造性的新鲜的题目.向量知识除了对五个知识点（即平面向量坐标运算，直线的方向向量和平面法向量，向量数量积，两向量的夹角公式）的考查外.还有几点在同一直线上与向量的关系，这是同学们很容易忽略的知识，如果运用得好会给我们带来意想不到的收获.
一、 抛砖引玉
例1 △OBC中D是OB的三等分点，A是BC的二等分点，如图连接CD，OA交于E问：E是OA的几等分点？
评析：本题看似用平面几何知识来做，合情合理.但很难想到也能用向量知识来做，而且竟然做得那么完美，下面我们就平面几何知识和向量知识解答这道题.
（一）
解法Ⅰ：用平面几何知识来证，如图（一）
过D作BC的平行线交OA于F
∵ODOB=23 ∴DFBA=23
∵BA=AC ∴DFAC=23
∴FEEA=23 ∵OFFA=21
∵OEOA=1215=45
（一）
解法Ⅱ：用向量知识证
设OA=aOB=b ∵D是三等分点， A是二等分点
∴DB=13b，BA=a-b
∴BC=2(a-b)
∵DC=DB+BC=13b+2a-2b=2a-53b
∵OC=OB+BC=b+2a-2b=2a-b
∵D、E、C三点共线，O、E、A三点共线
∴EC=mDC,OE=nOA
∴EC+OE=mDC+nOA
即OC=mDC+nOA
也即：2a-b=m2a-53b+na
∴2m+n=2-53m=-1 解得m=35n=45
∴ OEOA=45
二、 回归自然
用向量的知识能证当D是OB的三等分点，A是BC的二等分点，交点E是OA的五等分点之一，那么能不能用向量知识来证当D是OB的等分点BD=1λ1OB，A是BC的等分点BA=1λ2BC，那么交点E是OA、DC的几等分点.答案显然是可以的，让我们来证一证.
已知：BD=1λ1OB，BA=1λ2BC,如图（二）
（二）
求：OEOA的值
解：设OA=a,OB=b
∵DB=1λ1b，BA=a-b
∵BC=λ2(a-b)
∴DC=DB+BC=1λ1b+λ2(a-b)
DC=OB+BC=b+λ2(a-b)
∵D、E、C三点共线，O、E、A三点共线
∴EC=mDC OE=nOA
∴EC+OE=mDC+nOA
即OC=mDC+nOA
∴b+λ2(a-b)=mλ1b+λ2m(a-b)+na
∴1-λ2=mλ1-λ2mλ2=λ2m+n
解得m=λ1-λ1λ2１-λ1λ2n=λ2-λ1λ21-λ1λ2
即OEOA=λ2-λ1λ21-λ1λ2且CECD=λ1-λ1λ21-λ1λ2
三、 拓广巧证
用这个公式来证明三角形的重心和内心的性质就很容易了，我们来证一证吧！
（三）
1 三角形重心性质的证明
已知：BD=12BA，BE=12BC，如图（三）
求证：F是AE的几等分点
证明：∵BD=12BA，BE=12BC
∴λ1=2 λ2=2
∵AFAE=λ2-λ1λ21-λ1λ2=2-41-4=23
∴F是AE的接近E的三等分点
2 三角形内心性质的证明
（四）
已知：三角形ABC中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，CD、AF分别为∠ACB、∠BAC的角平分线.如图（四）
求证：AEAF，CFCD的值
证明：∵CD会平分∠ACB，AF会平分∠BAC.
∴BDDA=ab，BEBC=cb
∴BDBA=aa+b，BEBC=cb+c
即：λ1=aa+b，λ2=cb+c
∴AFAE=λ２-λ1λ21-λ1λ2=cb+c-ac(a+b)(b+c)1-ac(a+b)(b+c)=
c(a+b)-ac(a+b)(b+c)(a+b)(b+c)-ac(a+b)(b+c)
=bcab+b2+bc=ca+b+c
而CFCD=λ1-λ1λ21-λ1λ2=aa+b-ac(a+b)(b+c)1-ac(a+b)(b+c)=
a(b+c)-ac(a+b)(b+c)(a+b)(b+c)-ac(a+b)(b+c)
=abab+b2+bc=aa+b+c
这种方法是借助向量知识解平面几何知识，解题中充分发挥向量的工具作用，使平面几何题表述别致，立意新颖，公式构建完美，达到向量与平面几何的最佳的组合.
（责任编辑：周井喜）
一、 抛砖引玉
例1 △OBC中D是OB的三等分点，A是BC的二等分点，如图连接CD，OA交于E问：E是OA的几等分点？
评析：本题看似用平面几何知识来做，合情合理.但很难想到也能用向量知识来做，而且竟然做得那么完美，下面我们就平面几何知识和向量知识解答这道题.
（一）
解法Ⅰ：用平面几何知识来证，如图（一）
过D作BC的平行线交OA于F
∵ODOB=23 ∴DFBA=23
∵BA=AC ∴DFAC=23
∴FEEA=23 ∵OFFA=21
∵OEOA=1215=45
（一）
解法Ⅱ：用向量知识证
设OA=aOB=b ∵D是三等分点， A是二等分点
∴DB=13b，BA=a-b
∴BC=2(a-b)
∵DC=DB+BC=13b+2a-2b=2a-53b
∵OC=OB+BC=b+2a-2b=2a-b
∵D、E、C三点共线，O、E、A三点共线
∴EC=mDC,OE=nOA
∴EC+OE=mDC+nOA
即OC=mDC+nOA
也即：2a-b=m2a-53b+na
∴2m+n=2-53m=-1 解得m=35n=45
∴ OEOA=45
二、 回归自然
用向量的知识能证当D是OB的三等分点，A是BC的二等分点，交点E是OA的五等分点之一，那么能不能用向量知识来证当D是OB的等分点BD=1λ1OB，A是BC的等分点BA=1λ2BC，那么交点E是OA、DC的几等分点.答案显然是可以的，让我们来证一证.
已知：BD=1λ1OB，BA=1λ2BC,如图（二）
（二）
求：OEOA的值
解：设OA=a,OB=b
∵DB=1λ1b，BA=a-b
∵BC=λ2(a-b)
∴DC=DB+BC=1λ1b+λ2(a-b)
DC=OB+BC=b+λ2(a-b)
∵D、E、C三点共线，O、E、A三点共线
∴EC=mDC OE=nOA
∴EC+OE=mDC+nOA
即OC=mDC+nOA
∴b+λ2(a-b)=mλ1b+λ2m(a-b)+na
∴1-λ2=mλ1-λ2mλ2=λ2m+n
解得m=λ1-λ1λ2１-λ1λ2n=λ2-λ1λ21-λ1λ2
即OEOA=λ2-λ1λ21-λ1λ2且CECD=λ1-λ1λ21-λ1λ2
三、 拓广巧证
用这个公式来证明三角形的重心和内心的性质就很容易了，我们来证一证吧！
（三）
1 三角形重心性质的证明
已知：BD=12BA，BE=12BC，如图（三）
求证：F是AE的几等分点
证明：∵BD=12BA，BE=12BC
∴λ1=2 λ2=2
∵AFAE=λ2-λ1λ21-λ1λ2=2-41-4=23
∴F是AE的接近E的三等分点
2 三角形内心性质的证明
（四）
已知：三角形ABC中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，CD、AF分别为∠ACB、∠BAC的角平分线.如图（四）
求证：AEAF，CFCD的值
证明：∵CD会平分∠ACB，AF会平分∠BAC.
∴BDDA=ab，BEBC=cb
∴BDBA=aa+b，BEBC=cb+c
即：λ1=aa+b，λ2=cb+c
∴AFAE=λ２-λ1λ21-λ1λ2=cb+c-ac(a+b)(b+c)1-ac(a+b)(b+c)=
c(a+b)-ac(a+b)(b+c)(a+b)(b+c)-ac(a+b)(b+c)
=bcab+b2+bc=ca+b+c
而CFCD=λ1-λ1λ21-λ1λ2=aa+b-ac(a+b)(b+c)1-ac(a+b)(b+c)=
a(b+c)-ac(a+b)(b+c)(a+b)(b+c)-ac(a+b)(b+c)
=abab+b2+bc=aa+b+c
这种方法是借助向量知识解平面几何知识，解题中充分发挥向量的工具作用，使平面几何题表述别致，立意新颖，公式构建完美，达到向量与平面几何的最佳的组合.
（责任编辑：周井喜）