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概率与统计是高中数学教材中的重要内容之一，也是高考的重要问题.复习这部分内容时同学们要理清概念，明白公式的适用条件，灵活地运用概率与统计思想解决实际问题，特别要注意对平时训练中出现的易错题多加分析.下面通过对本章节的典型易错知识与方法加以分析，以提高大家的辨别能力，提高解题速度与正确率.
易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误
例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解：在这种情况下适合采取系统抽样.
错因分析：这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流受到学生作息时间的影响，如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低，另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解：利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
易错剖析二：概率与频率的关系不清致误
例2下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；
③频率是不能脱离n次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确命题的序号为.
错解：①④.
错因分析：对概率和频率的关系认识不清，导致误判.如对于说法②，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.
正解：①③④.
易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误
例3任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率.
错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11共5种可能，点数和为偶数可取2，4，6，8，10，12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55+6=511.
错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等，则不能用等可能性事件的概率模型来解答.
正解1：出现点数和为奇数，由数组（奇、偶）、（偶，奇）组成共有3×3+3×3=18个不同的结果，这些结果的出现是等可能的，故所求的概率为1836=12.
正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶，奇）两种，故所求概率为24=12.
易错剖析四：几何概型概念的不清致误
例4在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM 错解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M，过C，M作射线CM，则概率为AC′AB=ACAB=22.
错因分析：上述作法好像很有道理，为什么错误呢？值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求，虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，在确立基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性.
正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°=34.
易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误
例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）
错解：对立事件.
错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件，但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰好有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选“互斥但不对立事件”.
易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯，A、B设备各有2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作，如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）=p2，P（B）=p3，则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作，故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.
错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的，上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，互斥与独立是不同的两种关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的，只有当A、B中一个是必然事件，另一个是不可能事件时，A、B既是互斥事件，又是独立事件.
正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率为1-p2，B不能正常工作的概率为1-p3，则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5. 正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）
易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误
例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解：在这种情况下适合采取系统抽样.
错因分析：这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流受到学生作息时间的影响，如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低，另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解：利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
易错剖析二：概率与频率的关系不清致误
例2下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；
③频率是不能脱离n次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确命题的序号为.
错解：①④.
错因分析：对概率和频率的关系认识不清，导致误判.如对于说法②，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.
正解：①③④.
易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误
例3任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率.
错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11共5种可能，点数和为偶数可取2，4，6，8，10，12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55+6=511.
错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等，则不能用等可能性事件的概率模型来解答.
正解1：出现点数和为奇数，由数组（奇、偶）、（偶，奇）组成共有3×3+3×3=18个不同的结果，这些结果的出现是等可能的，故所求的概率为1836=12.
正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶，奇）两种，故所求概率为24=12.
易错剖析四：几何概型概念的不清致误
例4在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
错因分析：上述作法好像很有道理，为什么错误呢？值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求，虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，在确立基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性.
正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°=34.
易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误
例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）
错解：对立事件.
错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件，但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰好有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选“互斥但不对立事件”.
易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯，A、B设备各有2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作，如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）=p2，P（B）=p3，则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作，故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.
错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的，上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，互斥与独立是不同的两种关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的，只有当A、B中一个是必然事件，另一个是不可能事件时，A、B既是互斥事件，又是独立事件.
正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率为1-p2，B不能正常工作的概率为1-p3，则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5. 正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）