摘 要：线段的最值问题，是初中数学中常见的几何题型，它涉及的知识面广，可以与三角形、矩形、正方形、圆、一次函数、二次函数等知识点相结合，题目类型灵活、多变，学生面对这一问题经常束手无策。文章结合具体的例子予以剖析，对解决线段最值问题的几种方法加以归纳。
　　关键词：初中数学；几何题；线段最值；求解策略
　　线段最值问题题型灵活、多变，是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。这类试题都是立足于教材，能在课本找到基本的原形，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边、轴对称、旋转等等。解决问题途径通常需要运用转换的思想，将较为复杂的问题转换为常见的基本类型，从而找到解决问题的基本思路。下面，笔者将结合具体的实例，谈谈初中数学线段最值的求解策略。
　　一、利用“垂线段最短”求最值
　　例1：如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠A=30°，OB=3，以O为圆心，半径为1的作⊙O，P是线段AB上一动点，过点P作⊙O的切线交⊙O于点Q，求线段PQ的最小值。
　　小结：题目求解的切入点是利用圆的切线性质构造直角三角形，由勾股定理将“求PQ的最小值”转换为“求OP的最小值”，也即是将问题转换为“垂线段最短”问题。题目求解过程中综合运用了圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理、面积法求高、垂线段最短等知识点，将上述相关性质结合，就可以变为解题的关键。
　　二、利用轴对称性质求最值
　　例2：如图3，在平面直角坐标系中，△OAB是直角三角形，点A在x轴正半轴上，点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），斜边OB上有一个动点P，求PA+PC的最小值。
　　分析：由观察可知，点A和点C是两个定点，点P是OB上的动点，求PA+PC的最小值。很明显，这是求“最短路徑”问题中的同侧问题，因此，我们可以利用轴对称性质来解决问题。
　　如图4，以OB为对称轴，作点A的对称点D，连接CD交OB于点P，此时PA+PC的最小，且PA+PC=PC+PD=CD。所以，只要求出CD的长即可。
　　根据B点坐标可求出AB=，OB=2，由三角形面积法可得AM=。故AN=AD=，由C点坐标可求出CN=1，由勾股定理可求出DC=，此值即为所求PA+PC的最小值。
　　小结：图形经过轴对称变换之后，会得到等量关系（线段相等、角相等），合理地利用相应的性质会使问题得到简化，这会给解题带来很大的帮助。本题中是作直线的对称点，实现直线同侧点到异侧点的转化，这是我们在解题中常遇到的情况以及常见的解题方法。
　　三、利用三角形的三边关系求最值
　　例3：如图5，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上。当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，求点D到点O的最大距离。
　　分析：如图6，取线段AB的中点E，连接OE、DE，此时，OD、OE、DE组成一个三角形，根据“三角形的任意两边之和大于第三边”可得：OD　　小结：题目求解的关键在于选取一边的中点，构造一个新的三角形，利用三角形的三边关系得出不等关系式，从而找到最值。
　　四、利用函数的性质求最值
　　例4：如图7，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，求线段MN的最大值和最小值。
　　分析：题目看似是轴对称的最值问题，但点P是个动点，因此不能用“同侧”或“异侧”方法进行求解。题目比较特殊的条件就是△ABC是等边三角形，在求解过程中要充分挖掘等边三角形性质的运用。
　　如图8，MN的值会随点P位置改变而改变，因此，可设BP=x，则CP=4-x，x的取值范围是O≤x≤4。
　　由等边三角形及轴对称的性质可得
　　由二次函数的性质可得，当x=2时MN取得最小值，最小值为6；当x=0或4时MN取得最大值，最大值为4。
　　小结：与等边三角形相关联的角度为30°、60°、120°，将这些角度与解直角三角形和勾股定理相结合，通过引入未知数x，将线段MN的长度用二次函数关系式表示出来，借助二次函数的性质，分别求出最大值和最小值。
　　在解决此类图形问题中，其核心要素是，善于从所给的图形中识别和构造出基本图形，然后将求解的对象用函数关系式表示出来，利用函数性质来求最大值和最小值。