论文部分内容阅读
摘 要：
本文根据极限概念的教学内容和特点，结合该内容的教学现状，探讨了极限概念教学的方向和途径．
关键词：极限；教学
极限概念是微积分中最重要的基本概念.然而，对于极限定义的“”，“”等抽象表述方式，学生在学习时常常接受别扭、理解困难、认识模糊、应用生硬.因而，极限概念教学历来是大学数学分析、高等数学等课程教学中的难点.本文根据个人教学经验，以数列教学为例，提出如下极限教学方案.
一、直观导入
我国古代，人们很早就形成了极限的思想.例如，两千三百多年前的庄子说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（《庄子•天下篇》）这段话的意思是：一根一尺长的小木棍，“日取其半”，其每天剩下的部分可以构成一个一个无穷数列
\S]1[]2\+n\s：
1[]2,\S]1[]2\+2\s……,\S]1[]2\+n\s,…（1）
且无论n有多么大，数列的一般项\S]1[]2\+n\s都不等于0。但显然，当n无限增大时，数列一般项\S]1[]2\+n\s将无限趋近于0。
于是，我们可以得到数列极限的一个直观定义：
定义1：给定一个数列{a\-n}和一个常数a。如果当n无限增大时，{a\-n}无限趋近于常数a，则称a为数列{a\-n}的极限。
定义1是对极限概念的一种非常直观、形象、生动的表述。它表明：所谓数列{a\-n}的极限，是指当n无限增大时，其一般项{a\-n}的一种变化趋势（趋向a）。
二、严谨定义
定义1较好地表达了人们对极限概念的直观理解，但它却不能作为极限的严格数学定义.因为数学讲究“精确”，追求“确定”.而定义1中，“n无限增大”，“ a\-n无限趋近于a”都是含糊不清的表述，充满着不确定性.例如，按照定义1，我们当然可以认为数列（1）的极限是0，但我们同样也可以认为数列（1）的极限是-1，-0.1，-0.01，…….
为此，我们可以把定义1中的表述“ a\-n无限趋近于a”改进为“a\-n与a要多接近有多接近”或“|a\-n-a|要多小有多小”。于是得到了另一个定义：
定义2：给定数列{a\-n}和常数a。如果对于充分大的n，|a\-n-a|要多小有多小，则称a为数列{a\-n}的极限.
定义2比定义1有了较大改进，但它们不能作为极限的数学定义.因为定义2中“充分大”“要多小有多小”之类的表述仍含混模糊，缺乏定量化，不便于进行数学推理.例如，如果要用定义2来证明数列（1）的极限是0，该如何操作？
我们把定义2进行量化处理，就得到了极限的严谨的数学定义：
定义3：设{a\-n}为数列，a为常数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时有|a\-n-a|＜ε，则称数列{a\-n}收敛于a，定数a称为数列{a\-n}的极限并记作limn→∞a\-n=a，或a\-n→a(n→∞)。
三、内涵剖析
定义3关于极限概念是通过两个参数ε，N来表述的。其中ε，N可以取任何正数值（通常取正整数）。ε用于刻划a\-n与a的距离，ε取值越小，表示a\-n与a越接近；N用于限制n的变化，N的取值依赖于ε，ε越小，通常N越大。当ε取一系列越来越小的值时，对应有一系列越来越大的N值，当时n＞N，|a\-n-a|＜ε表示：当n充分大时，|a\-n-a|要多小有多小.
例如，在数列（1）中，当依次取0.1，，0.01，0.001，0.0001，……时，对应有依次取3，6，9，13，……，当n＞N时，
\S]1[]2\+n\s＜ε，从而说明，数列\S]1[]2\+n\s的极限是0。
这就是说，定义3是通过参数ε，N的一系列取值来表达数列{a\-n}的极限为a的。这里一方面，ε，N的取值可以是任意的，另一方面，一旦ε取定一个值，就可以确定一个N的值（虽然同一个ε值可以对应许多个不同的N值）。这种ε，N取值的任意性和确定性的统一正体现了极限的数学定义的根本特征。ε，N取值的任意性表达了n无限增大时，a\-n无限趋近于a的极限本质，而ε，N取值的确定性体现了数学定义的定量化与精确化，保证了数学推理的可操作性。二者统一，就得到了极限概念的严谨数学定义。
四、逻辑深入
定义3可用简洁的逻辑符号表示为：
注意到a\-n-a＜ε等价于a-ε＜a\-n＜a+ε或a\-n∈U(a,ε)
于是可以得到与定义3等价的极限定义：
定义4：设为数列{a\-n}，a为常数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得项a\-N后面的所有项{a\-n}都进入a的邻域U(a,ε)，则称aa称为数列{a\-n}的极限.
定义4有明显的几何直观解释.
取（2）式的逻辑否定，我们立即可以得到“不是数列的极限”的逻辑表述：
五、哲学升华
极限概念揭示的是客观事物在运动变化中，其数量变化的某种性态.极限过程是一种生动的运动变化过程，或者说极限概念的自然本质是运动变化。但作为极限概念的严谨数学定义（定义3）却是通过参数的一组组确定的取值来刻划极限过程的。这似乎是把活生生的运动变化过程割裂开来，进行静止、僵化处理的。这种处理是否歪曲甚至背离了极限的自然本质呢？或者说极限概念的数学本质是否低于其自然本质呢？
列宁在《哲学笔记》中指出：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动。”（《哲学笔记》人民出版社1974年版第285页）因此，为了表达、描述“当n无限增大时，a\-n无限趋近于a”的运动变化过程，就必须将运动变化简单化、粗糙化，将这一变化过程割碎、僵化为“任给正数ε，总存在正整数N，当n＞N时有a\-n-a＜ε”。由于ε，N取值的任意性与确定性，就通过ε，N的一连串取值，实现了“n无限增大时，a\-n无限趋近于a”的生动变化过程。这样，动态的极限变化过程就被静态的ε，N的一系列取值代替，从而定义3就比定义1更形象、更具体、更深刻地揭示、表达了极限的运动变化过程.因此，定义3是真正建立在科学反映论基础上的极限数学定义。
六、灵活应用
定义3主要用于证明给定常数是否为某个数列ε，N的极限。
如果{a\-n}是一个给定的具体数列，要证明：limn→∞a\-n=a，只须对任意正数ε，找到一个正整数N，使得满足当n＞N时有a\-n-a＜ε。找的方法通常用倒推法.即假定a\-n-a＜ε，由此不等式解得：n＞f(ε)，令N=［|f(ε)|］即可。
如果给定若干条件，对于一个一般的数列{a\-n}（a\-n无具体表达式），要证明：limn→∞a\-n=a。则对任意正数ε，需要由已知条件得到一个N（通常与ε有关），证明当n＞N时，a\-n-a＜ε。由于ε的任意性，如果最后证得当n＞N时，a\-n-a＜kε或a\-n-a＜ε\+k（k为任意常数）亦可。
如果要求证明常数a不是给定数列{a\-n}的极限，就需要找到一个正数ε\-0，对于任意正整数N，找到一个正整数n\-0＞N，使得a\-n\-0n-a≥ε\-0，通常这是比较困难的，需要有较强的观察力，对a\-n-a进行适当的变形与分析。
如果不知道常数a，用定义3直接判别数列{a\-n}的收敛性一般是很困难的，这需要后面学习的其它判别法解决.
［参考文献］
［1］华东师范大学数学系. 数学分析（上册）［M］. 北京:高等教育出版社,2003.
［2］同济大学数学系. 高等数学（第六版）［M］. 北京:高等教育出版社,2007.
［3］汪永高.浅谈高等数学教学实践［J］.大学数学，2004(6)：4—7.
(作者单位：许昌学院 数学与统计学院，河南 许昌 461000)
本文根据极限概念的教学内容和特点，结合该内容的教学现状，探讨了极限概念教学的方向和途径．
关键词：极限；教学
极限概念是微积分中最重要的基本概念.然而，对于极限定义的“”，“”等抽象表述方式，学生在学习时常常接受别扭、理解困难、认识模糊、应用生硬.因而，极限概念教学历来是大学数学分析、高等数学等课程教学中的难点.本文根据个人教学经验，以数列教学为例，提出如下极限教学方案.
一、直观导入
我国古代，人们很早就形成了极限的思想.例如，两千三百多年前的庄子说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（《庄子•天下篇》）这段话的意思是：一根一尺长的小木棍，“日取其半”，其每天剩下的部分可以构成一个一个无穷数列
\S]1[]2\+n\s：
1[]2,\S]1[]2\+2\s……,\S]1[]2\+n\s,…（1）
且无论n有多么大，数列的一般项\S]1[]2\+n\s都不等于0。但显然，当n无限增大时，数列一般项\S]1[]2\+n\s将无限趋近于0。
于是，我们可以得到数列极限的一个直观定义：
定义1：给定一个数列{a\-n}和一个常数a。如果当n无限增大时，{a\-n}无限趋近于常数a，则称a为数列{a\-n}的极限。
定义1是对极限概念的一种非常直观、形象、生动的表述。它表明：所谓数列{a\-n}的极限，是指当n无限增大时，其一般项{a\-n}的一种变化趋势（趋向a）。
二、严谨定义
定义1较好地表达了人们对极限概念的直观理解，但它却不能作为极限的严格数学定义.因为数学讲究“精确”，追求“确定”.而定义1中，“n无限增大”，“ a\-n无限趋近于a”都是含糊不清的表述，充满着不确定性.例如，按照定义1，我们当然可以认为数列（1）的极限是0，但我们同样也可以认为数列（1）的极限是-1，-0.1，-0.01，…….
为此，我们可以把定义1中的表述“ a\-n无限趋近于a”改进为“a\-n与a要多接近有多接近”或“|a\-n-a|要多小有多小”。于是得到了另一个定义：
定义2：给定数列{a\-n}和常数a。如果对于充分大的n，|a\-n-a|要多小有多小，则称a为数列{a\-n}的极限.
定义2比定义1有了较大改进，但它们不能作为极限的数学定义.因为定义2中“充分大”“要多小有多小”之类的表述仍含混模糊，缺乏定量化，不便于进行数学推理.例如，如果要用定义2来证明数列（1）的极限是0，该如何操作？
我们把定义2进行量化处理，就得到了极限的严谨的数学定义：
定义3：设{a\-n}为数列，a为常数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时有|a\-n-a|＜ε，则称数列{a\-n}收敛于a，定数a称为数列{a\-n}的极限并记作limn→∞a\-n=a，或a\-n→a(n→∞)。
三、内涵剖析
定义3关于极限概念是通过两个参数ε，N来表述的。其中ε，N可以取任何正数值（通常取正整数）。ε用于刻划a\-n与a的距离，ε取值越小，表示a\-n与a越接近；N用于限制n的变化，N的取值依赖于ε，ε越小，通常N越大。当ε取一系列越来越小的值时，对应有一系列越来越大的N值，当时n＞N，|a\-n-a|＜ε表示：当n充分大时，|a\-n-a|要多小有多小.
例如，在数列（1）中，当依次取0.1，，0.01，0.001，0.0001，……时，对应有依次取3，6，9，13，……，当n＞N时，
\S]1[]2\+n\s＜ε，从而说明，数列\S]1[]2\+n\s的极限是0。
这就是说，定义3是通过参数ε，N的一系列取值来表达数列{a\-n}的极限为a的。这里一方面，ε，N的取值可以是任意的，另一方面，一旦ε取定一个值，就可以确定一个N的值（虽然同一个ε值可以对应许多个不同的N值）。这种ε，N取值的任意性和确定性的统一正体现了极限的数学定义的根本特征。ε，N取值的任意性表达了n无限增大时，a\-n无限趋近于a的极限本质，而ε，N取值的确定性体现了数学定义的定量化与精确化，保证了数学推理的可操作性。二者统一，就得到了极限概念的严谨数学定义。
四、逻辑深入
定义3可用简洁的逻辑符号表示为：
注意到a\-n-a＜ε等价于a-ε＜a\-n＜a+ε或a\-n∈U(a,ε)
于是可以得到与定义3等价的极限定义：
定义4：设为数列{a\-n}，a为常数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得项a\-N后面的所有项{a\-n}都进入a的邻域U(a,ε)，则称aa称为数列{a\-n}的极限.
定义4有明显的几何直观解释.
取（2）式的逻辑否定，我们立即可以得到“不是数列的极限”的逻辑表述：
五、哲学升华
极限概念揭示的是客观事物在运动变化中，其数量变化的某种性态.极限过程是一种生动的运动变化过程，或者说极限概念的自然本质是运动变化。但作为极限概念的严谨数学定义（定义3）却是通过参数的一组组确定的取值来刻划极限过程的。这似乎是把活生生的运动变化过程割裂开来，进行静止、僵化处理的。这种处理是否歪曲甚至背离了极限的自然本质呢？或者说极限概念的数学本质是否低于其自然本质呢？
列宁在《哲学笔记》中指出：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动。”（《哲学笔记》人民出版社1974年版第285页）因此，为了表达、描述“当n无限增大时，a\-n无限趋近于a”的运动变化过程，就必须将运动变化简单化、粗糙化，将这一变化过程割碎、僵化为“任给正数ε，总存在正整数N，当n＞N时有a\-n-a＜ε”。由于ε，N取值的任意性与确定性，就通过ε，N的一连串取值，实现了“n无限增大时，a\-n无限趋近于a”的生动变化过程。这样，动态的极限变化过程就被静态的ε，N的一系列取值代替，从而定义3就比定义1更形象、更具体、更深刻地揭示、表达了极限的运动变化过程.因此，定义3是真正建立在科学反映论基础上的极限数学定义。
六、灵活应用
定义3主要用于证明给定常数是否为某个数列ε，N的极限。
如果{a\-n}是一个给定的具体数列，要证明：limn→∞a\-n=a，只须对任意正数ε，找到一个正整数N，使得满足当n＞N时有a\-n-a＜ε。找的方法通常用倒推法.即假定a\-n-a＜ε，由此不等式解得：n＞f(ε)，令N=［|f(ε)|］即可。
如果给定若干条件，对于一个一般的数列{a\-n}（a\-n无具体表达式），要证明：limn→∞a\-n=a。则对任意正数ε，需要由已知条件得到一个N（通常与ε有关），证明当n＞N时，a\-n-a＜ε。由于ε的任意性，如果最后证得当n＞N时，a\-n-a＜kε或a\-n-a＜ε\+k（k为任意常数）亦可。
如果要求证明常数a不是给定数列{a\-n}的极限，就需要找到一个正数ε\-0，对于任意正整数N，找到一个正整数n\-0＞N，使得a\-n\-0n-a≥ε\-0，通常这是比较困难的，需要有较强的观察力，对a\-n-a进行适当的变形与分析。
如果不知道常数a，用定义3直接判别数列{a\-n}的收敛性一般是很困难的，这需要后面学习的其它判别法解决.
［参考文献］
［1］华东师范大学数学系. 数学分析（上册）［M］. 北京:高等教育出版社,2003.
［2］同济大学数学系. 高等数学（第六版）［M］. 北京:高等教育出版社,2007.
［3］汪永高.浅谈高等数学教学实践［J］.大学数学，2004(6)：4—7.
(作者单位：许昌学院 数学与统计学院，河南 许昌 461000)