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方程组是解决实际问题的重要工具，许多实际问题都可以通过列方程组来解决.但有时，我们会遇到一些特殊的应用题，若按常规设未知数，不易理清数量之间的关系，因而难以布列方程，这时若能根据具体问题，恰当地增设辅助元，设而不求，联系转化，不仅会使问题化繁为简，而且有助于培养同学们的创新思维，提高分析问题、解决问题的能力.请看下面几例：
例1 甲、乙两个公共汽车站相向发车，一人在街上匀速行走，他发现每隔4分钟就迎面开来一辆公交车，每隔12分钟从背后开来一辆公交车，如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度也相同，求两车站发车的间隔时间.
分析 因为行程问题中涉及到速度、路程等数量，这些数量在题目中没有具体给出，所以可以增出来，使相等关系容易表示.
解法1 设两车站发车的间隔时间为x分钟，公交车的速度为a米/分，人步行的速度为b米/分，相邻两车站相距m米，根据题意，得
4(a+b)=m,12(a-b)=m.解得24a=4m，所以ma=6.
又因为ax=m，所以x=ma=6.
答：两车站发车的间隔时间为6分钟.
解法2 设两车站发车的间隔时间为x分钟，公交车的速度为a米/分，人步行的速度为b米/分，则同一车站发出的相邻两辆公交车相隔ax米，根据题意，得
12(a-b)=ax,(1)4(a+b)=ax. (2)
（1）+（2）×3，得24a=4ax，所以x=6.
答：两车站发车的间隔时间为6分钟.
例2 学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，可买60份；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，可买50份，问这笔钱全部用来买笔或笔记本，可买多少支笔？多少本笔记本？
分析 要求买笔的支数与笔记本的本数，需要知道这笔钱的总数和钢笔、笔记本的单价.不妨设每支笔为x元，每个笔记本为y元，这笔钱的总数为n元，借助方程组解决.
解 设每支笔为x元，每个笔记本为y元，这笔钱的总数为n元，根据题意，得
(x+2y)•60=n,(x+3y)•50=n.解得x=n100,y=n300.
所以n÷n100=100,n÷n300=300.
答：可买100支笔，300本笔记本.
例3 一长跑运动员和一竞走运动员在一环形跑道上同时匀速练习，相对练习时，每隔1分钟相遇一次；同向练习时，每隔4分钟长跑运动员超过竞走运动员一次，试问他们绕跑道一周各需多少时间？
分析 本题是一道环形跑道问题，由于环形周长不知，所以可增设其为辅助元.
解 设长跑运动员每分钟跑x米，竞走运动员每分钟跑y米，环形跑道一周长为s米，根据题意，得x+y=s,4x-4y=s.即xs+ys=1,xs-yx=14.
把xs,ys看作整体，解得xs=58,ys=38.
则sx=58(分钟),sy=38(分钟).
答：长跑运动员绕跑道一周需85分钟，竞走运动员绕跑道一周需83分钟.
由以上例子可知，设辅助元是一种重要的思想方法.当列方程组解应用题遇到没有告知，且又需它“帮助”时，可增设其为辅助元，使数量关系易于表达，给解题带了方便.
作者简介 亓建生，男，1958年11月出生，山东莱芜人，中学高级教师，主要从事数学教学研究，莱城区优秀教师.
例1 甲、乙两个公共汽车站相向发车，一人在街上匀速行走，他发现每隔4分钟就迎面开来一辆公交车，每隔12分钟从背后开来一辆公交车，如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度也相同，求两车站发车的间隔时间.
分析 因为行程问题中涉及到速度、路程等数量，这些数量在题目中没有具体给出，所以可以增出来，使相等关系容易表示.
解法1 设两车站发车的间隔时间为x分钟，公交车的速度为a米/分，人步行的速度为b米/分，相邻两车站相距m米，根据题意，得
4(a+b)=m,12(a-b)=m.解得24a=4m，所以ma=6.
又因为ax=m，所以x=ma=6.
答：两车站发车的间隔时间为6分钟.
解法2 设两车站发车的间隔时间为x分钟，公交车的速度为a米/分，人步行的速度为b米/分，则同一车站发出的相邻两辆公交车相隔ax米，根据题意，得
12(a-b)=ax,(1)4(a+b)=ax. (2)
（1）+（2）×3，得24a=4ax，所以x=6.
答：两车站发车的间隔时间为6分钟.
例2 学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，可买60份；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，可买50份，问这笔钱全部用来买笔或笔记本，可买多少支笔？多少本笔记本？
分析 要求买笔的支数与笔记本的本数，需要知道这笔钱的总数和钢笔、笔记本的单价.不妨设每支笔为x元，每个笔记本为y元，这笔钱的总数为n元，借助方程组解决.
解 设每支笔为x元，每个笔记本为y元，这笔钱的总数为n元，根据题意，得
(x+2y)•60=n,(x+3y)•50=n.解得x=n100,y=n300.
所以n÷n100=100,n÷n300=300.
答：可买100支笔，300本笔记本.
例3 一长跑运动员和一竞走运动员在一环形跑道上同时匀速练习，相对练习时，每隔1分钟相遇一次；同向练习时，每隔4分钟长跑运动员超过竞走运动员一次，试问他们绕跑道一周各需多少时间？
分析 本题是一道环形跑道问题，由于环形周长不知，所以可增设其为辅助元.
解 设长跑运动员每分钟跑x米，竞走运动员每分钟跑y米，环形跑道一周长为s米，根据题意，得x+y=s,4x-4y=s.即xs+ys=1,xs-yx=14.
把xs,ys看作整体，解得xs=58,ys=38.
则sx=58(分钟),sy=38(分钟).
答：长跑运动员绕跑道一周需85分钟，竞走运动员绕跑道一周需83分钟.
由以上例子可知，设辅助元是一种重要的思想方法.当列方程组解应用题遇到没有告知，且又需它“帮助”时，可增设其为辅助元，使数量关系易于表达，给解题带了方便.
作者简介 亓建生，男，1958年11月出生，山东莱芜人，中学高级教师，主要从事数学教学研究，莱城区优秀教师.