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[摘 要] MPCK本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态，在教学过程具备显著的知识意义. 本文通过对几何画板环境下基于MPCK的三角函数诱导公式的教学设计，展示诱导公式引入、推导、记忆巩固的过程，分析并思考了几何画板与MPCK在教学设计中的应用方式及其意义.
[关键词] 几何画板；MPCK；教学设计
概述
拥有知识的人，才能成为教师，已经成为共识. 随着时代与科技的不断飞跃发展，“教师需要怎样的知识”，以及如何有效地通过课堂教学达到教学目标，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观方面提升学生的数学综合素养，逐渐成为大家关注的热点问题.
20世纪80年代，美国学者提出PCK（教学内容知识）的概念——PCK是指教师开展教学活动时所具有的独特知识. 2009年，黄毅英教授将PCK融入数学教学过程中，构建了MPCK结构模式，MPCK由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、关于数学学习的知识（CK）和关于教育技术的知识（TK）构成. 随着教师MPCK能力的不断增强，其数学知识越丰富、教学方法越多样、教学设计更加灵活，在教学过程中，能更好地依据学生学习特点以及认知风格，实现教学效果的最优化.
几何画板，是现代信息教育技术中的可视化动态教育软件，可以改变学生传统的学习方式，激发学生的学习兴趣的同时促进学生的数学学习. 利用几何画板创设问题情境，开展教学活动，有利于学生的观察与思考，弥补传统教学手段上的缺陷，促进教学活动开展的有效性.
基于此，MPCK理论有助于数学教师进一步发展对教师专业的认识，帮助教师“组织、呈现、调整”数学课堂的教学方式；几何画板则可以从教育技术角度，帮助教师实现可视化动态教学，弥补学生在直观想象或数学运算方面存在的不足. 两者都是提升数学教学有效性的重要途径. 如何将MPCK理论与几何画板巧妙地融合，并应用于实际数学教学设计中，显得极为重要.
本文以“三角函数的诱导公式”一课为例，以几何画板为主要工具，结合MPCK理论进行教学设计，并对该设计进行思考与分析.
1. 创设情境，引入课题
日常生活中，摩天轮在游乐场极为常见，其本质是一个绕圆心不停转动的圆，我们可以发现一些现象：不论转几圈，我们都会经过同一地方；在一圈里面，我们会经过两个高度相同的地方……
提出问题：如果假设摩天轮在水平地面上，这里的高度可以视作什么三角函数？结合之前所学的三角函数的定义，如何去探究这种规律性呢？
设计意图：由实际模型出发，引发学生思考，激发学生的问题意识，将现实生活与数学相联系，紧密结合三角函数的定义，对前面所学知识进行及时巩固，同时让学生理解到学习三角函数诱导公式的必要性.
2. 借助图像，直观感知
事实上，摩天轮问题可以通过数学抽象形成一个数学问题，将摩天轮视作单位圆，摩天轮上的任意乘客即为在圆周上不停转动的点. 教师在几何画板中将该模型呈现出来，其中O点即为摩天轮的圆心，A点即为摩天轮上的某一位游玩者在某一瞬间所处的位置. 通过度量角α，计算角所对应的三角函数值，点A为圆周上的任意一点，点击动画按钮，让点A即角的终边OA绕圆心O匀速旋转，请学生观察，在几何画板中的截图如图1所示.
提出问题：对于任意角α，终边转动，其对应的三角函数值有什么样的变化规律？
教师指出：经过同学们的观察，发现了很多规律，比如，终边经过同一个点时，三角函数值永远是一样的，不随角度的增大而增大；终边关于x轴对称时，对应的正弦值是一样的……这些，实际上都说明单位圆上，终边转动其对应的三角函数值具有周期性以及对称性.
设计意图：由三角函数的定义出发，引导学生将生活中的实际问题抽象为一般的数学问题，从数学的角度思考摩天轮问题中所蕴含的规律，强化学生的数学抽象素养. 借助几何画板动态可视化的优点，可以帮助学生产生更加直观的感知，进而引导学生通过对终边旋转过程的观察，发现并总结出终边位置对应的角与三角函数值的关系及变化的多方面规律，充分激发学生的求知欲，培养学生主动思考的能力.
3. 抽象思维，公式推导
在情境创设与问题引入阶段，教师引导学生观察并探索终边、角、三角函数值之间的一般性规律，包括对称性、周期性等多方面的规律，从三角函數应当具备的性质出发进行探究. 在本环节，教师需引导学生由一般到特殊，即以在直观感知过程中发现的一个规律为例，进行抽象思维与公式推导.
诱导公式围绕三角函数的周期性以及对称性展开，在此，笔者以终边具有对称关系的角为例，结合几何画板对公式推导的教学过程进行设计.
图2是在几何画板中依次作出角的终边OA分别关于x轴、y轴、原点对称的终边，计算各个终边所对应角的三角函数值，教师向学生展示在几何画板中，随着点A的转动，相应三角函数值的变化情况.
2. 关于三角函数诱导公式教学的几点思考
（1）从特殊到一般还是从一般到特殊？
不论是从特殊到一般还是从一般到特殊，两者都可以较好地呈现三角函数的诱导公式，笔者认为，该节课中从一般到特殊，更有利于对学生发散思维的培养，促使学生从不同角度思考问题、发现问题，从特殊到一般，容易出现学生过于关注一开始教师给的特殊情况：特殊三角函数值的计算，进而忽略了对诱导公式应有地位的把握.
（2）“任意”如何更好地体现？
通过对其他教师的教学设计进行观摩，笔者发现，任意角实际上就是规律的一般情况，部分教师会采取多试几个特殊值的方式，直接跳到任意角，没有学生自我检验的过程，因此，利用几何画板这一动态可视化工具，可以直观地向学生展示角的任意性，不会局限学生的思维.
结束语
基于MPCK理论，结合几何画板进行数学教学设计，可以实现课堂教学效果的最优化，教师应当提升自己的MPCK能力以及对现代教育技术的掌握水平，才可以推动学生数学核心素养的全面提升与发展.
[关键词] 几何画板；MPCK；教学设计
概述
拥有知识的人，才能成为教师，已经成为共识. 随着时代与科技的不断飞跃发展，“教师需要怎样的知识”，以及如何有效地通过课堂教学达到教学目标，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观方面提升学生的数学综合素养，逐渐成为大家关注的热点问题.
20世纪80年代，美国学者提出PCK（教学内容知识）的概念——PCK是指教师开展教学活动时所具有的独特知识. 2009年，黄毅英教授将PCK融入数学教学过程中，构建了MPCK结构模式，MPCK由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、关于数学学习的知识（CK）和关于教育技术的知识（TK）构成. 随着教师MPCK能力的不断增强，其数学知识越丰富、教学方法越多样、教学设计更加灵活，在教学过程中，能更好地依据学生学习特点以及认知风格，实现教学效果的最优化.
几何画板，是现代信息教育技术中的可视化动态教育软件，可以改变学生传统的学习方式，激发学生的学习兴趣的同时促进学生的数学学习. 利用几何画板创设问题情境，开展教学活动，有利于学生的观察与思考，弥补传统教学手段上的缺陷，促进教学活动开展的有效性.
基于此，MPCK理论有助于数学教师进一步发展对教师专业的认识，帮助教师“组织、呈现、调整”数学课堂的教学方式；几何画板则可以从教育技术角度，帮助教师实现可视化动态教学，弥补学生在直观想象或数学运算方面存在的不足. 两者都是提升数学教学有效性的重要途径. 如何将MPCK理论与几何画板巧妙地融合，并应用于实际数学教学设计中，显得极为重要.
本文以“三角函数的诱导公式”一课为例，以几何画板为主要工具，结合MPCK理论进行教学设计，并对该设计进行思考与分析.
1. 创设情境，引入课题
日常生活中，摩天轮在游乐场极为常见，其本质是一个绕圆心不停转动的圆，我们可以发现一些现象：不论转几圈，我们都会经过同一地方；在一圈里面，我们会经过两个高度相同的地方……
提出问题：如果假设摩天轮在水平地面上，这里的高度可以视作什么三角函数？结合之前所学的三角函数的定义，如何去探究这种规律性呢？
设计意图：由实际模型出发，引发学生思考，激发学生的问题意识，将现实生活与数学相联系，紧密结合三角函数的定义，对前面所学知识进行及时巩固，同时让学生理解到学习三角函数诱导公式的必要性.
2. 借助图像，直观感知
事实上，摩天轮问题可以通过数学抽象形成一个数学问题，将摩天轮视作单位圆，摩天轮上的任意乘客即为在圆周上不停转动的点. 教师在几何画板中将该模型呈现出来，其中O点即为摩天轮的圆心，A点即为摩天轮上的某一位游玩者在某一瞬间所处的位置. 通过度量角α，计算角所对应的三角函数值，点A为圆周上的任意一点，点击动画按钮，让点A即角的终边OA绕圆心O匀速旋转，请学生观察，在几何画板中的截图如图1所示.
提出问题：对于任意角α，终边转动，其对应的三角函数值有什么样的变化规律？
教师指出：经过同学们的观察，发现了很多规律，比如，终边经过同一个点时，三角函数值永远是一样的，不随角度的增大而增大；终边关于x轴对称时，对应的正弦值是一样的……这些，实际上都说明单位圆上，终边转动其对应的三角函数值具有周期性以及对称性.
设计意图：由三角函数的定义出发，引导学生将生活中的实际问题抽象为一般的数学问题，从数学的角度思考摩天轮问题中所蕴含的规律，强化学生的数学抽象素养. 借助几何画板动态可视化的优点，可以帮助学生产生更加直观的感知，进而引导学生通过对终边旋转过程的观察，发现并总结出终边位置对应的角与三角函数值的关系及变化的多方面规律，充分激发学生的求知欲，培养学生主动思考的能力.
3. 抽象思维，公式推导
在情境创设与问题引入阶段，教师引导学生观察并探索终边、角、三角函数值之间的一般性规律，包括对称性、周期性等多方面的规律，从三角函數应当具备的性质出发进行探究. 在本环节，教师需引导学生由一般到特殊，即以在直观感知过程中发现的一个规律为例，进行抽象思维与公式推导.
诱导公式围绕三角函数的周期性以及对称性展开，在此，笔者以终边具有对称关系的角为例，结合几何画板对公式推导的教学过程进行设计.
图2是在几何画板中依次作出角的终边OA分别关于x轴、y轴、原点对称的终边，计算各个终边所对应角的三角函数值，教师向学生展示在几何画板中，随着点A的转动，相应三角函数值的变化情况.
2. 关于三角函数诱导公式教学的几点思考
（1）从特殊到一般还是从一般到特殊？
不论是从特殊到一般还是从一般到特殊，两者都可以较好地呈现三角函数的诱导公式，笔者认为，该节课中从一般到特殊，更有利于对学生发散思维的培养，促使学生从不同角度思考问题、发现问题，从特殊到一般，容易出现学生过于关注一开始教师给的特殊情况：特殊三角函数值的计算，进而忽略了对诱导公式应有地位的把握.
（2）“任意”如何更好地体现？
通过对其他教师的教学设计进行观摩，笔者发现，任意角实际上就是规律的一般情况，部分教师会采取多试几个特殊值的方式，直接跳到任意角，没有学生自我检验的过程，因此，利用几何画板这一动态可视化工具，可以直观地向学生展示角的任意性，不会局限学生的思维.
结束语
基于MPCK理论，结合几何画板进行数学教学设计，可以实现课堂教学效果的最优化，教师应当提升自己的MPCK能力以及对现代教育技术的掌握水平，才可以推动学生数学核心素养的全面提升与发展.