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同学们在学习垂线时,不仅要理解垂线的性质及垂线段、点到直线的距离等概念,更要了解它在实际生活中的应用.下面列举几个生活中的实例与同学们共享.
一、垂线性质的应用
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
这个性质应该这样理解,“有”说明过一点有垂直于已知直线的直线存在;“只有”说明这样的直线是唯一的.这个性质是画直线垂线的依据.
例1如图1,建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”.用这种方法来检查墙与地面是否垂直.请你说出这样做的理由.
解析:因为铅锤受地球引力的作用,使挂铅锤的线始终垂直指向地面,这条线垂直于地面上的任何一条直线,并且“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”.所以,当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,就说明墙与地面垂直.
二、垂线段最短的性质的应用
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
例2如图2,要把水引到水池C处,在水渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟的长度最短?画出图形,并简要说明理由.
解析:根据垂线段最短的性质,如图2所示,过点C画AB的垂线,垂足为点H,在垂足H处开沟,才能使沟的长度最短.
例3一辆汽车在笔直的公路上由点A向点B行驶,M、N是分别位于公路AB两侧的两所学校,如图3所示.
汽车在公路上行驶时,会对两所学校的教学造成影响,当汽车分别行驶到何处时,对两所学校影响最大?在图上标出来.
解析:离学校的距离越近,对学校的影响越大,离学校的距离越远,对学校的影响越小.
作MC⊥AB于C,ND⊥AB于点D,所以在点C处对M学校影响最大,在D处对N学校的影响最大,如图4所示.
三、点到直线的距离的应用
过直线外一点作已知直线的垂线,这点到垂足的距离(即垂线段的长度)就是这点到已知直线的距离.
理解这个概念时,要注意其与垂线段的区别:垂线段是线段,是一个几何图形;而点到直线的距离是垂线段的长度,是一种数量关系;不能认为点到直线的距离就是垂线段.
例4想一想,在体育课上,老师是如何测量同学们跳远成绩的?这样做的道理是什么?
解析:如图5,起跳线可以看着一条直线l,脚印可以看着一点P.自P点向起跳线作垂线,垂足是A,线段PA的长度,就是该同学的跳远成绩,如图6.
这样做的根据是“点到直线的距离”的意义:直线外一点到这条直线的距离是指该点到这条直线的垂线段的长度.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、垂线性质的应用
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
这个性质应该这样理解,“有”说明过一点有垂直于已知直线的直线存在;“只有”说明这样的直线是唯一的.这个性质是画直线垂线的依据.
例1如图1,建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”.用这种方法来检查墙与地面是否垂直.请你说出这样做的理由.
解析:因为铅锤受地球引力的作用,使挂铅锤的线始终垂直指向地面,这条线垂直于地面上的任何一条直线,并且“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”.所以,当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,就说明墙与地面垂直.
二、垂线段最短的性质的应用
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
例2如图2,要把水引到水池C处,在水渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟的长度最短?画出图形,并简要说明理由.
解析:根据垂线段最短的性质,如图2所示,过点C画AB的垂线,垂足为点H,在垂足H处开沟,才能使沟的长度最短.
例3一辆汽车在笔直的公路上由点A向点B行驶,M、N是分别位于公路AB两侧的两所学校,如图3所示.
汽车在公路上行驶时,会对两所学校的教学造成影响,当汽车分别行驶到何处时,对两所学校影响最大?在图上标出来.
解析:离学校的距离越近,对学校的影响越大,离学校的距离越远,对学校的影响越小.
作MC⊥AB于C,ND⊥AB于点D,所以在点C处对M学校影响最大,在D处对N学校的影响最大,如图4所示.
三、点到直线的距离的应用
过直线外一点作已知直线的垂线,这点到垂足的距离(即垂线段的长度)就是这点到已知直线的距离.
理解这个概念时,要注意其与垂线段的区别:垂线段是线段,是一个几何图形;而点到直线的距离是垂线段的长度,是一种数量关系;不能认为点到直线的距离就是垂线段.
例4想一想,在体育课上,老师是如何测量同学们跳远成绩的?这样做的道理是什么?
解析:如图5,起跳线可以看着一条直线l,脚印可以看着一点P.自P点向起跳线作垂线,垂足是A,线段PA的长度,就是该同学的跳远成绩,如图6.
这样做的根据是“点到直线的距离”的意义:直线外一点到这条直线的距离是指该点到这条直线的垂线段的长度.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。