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摘 要：本文分析了长寿风险形成的原因及其影响；介绍了预测死亡率的常用模型Lee-Carter模型的形式，估计方法及预测原理；并选用Lee-Carter模型对我国未来人口死亡率进行了预测，结果显示未来人口死亡率将持续降低，我国确实存在长寿风险；最后本文从养老保险制度及保险公司两中角度提出了我国长寿风险的管理的对策建议。
关键词：长寿风险 死亡率 Lee-Carter模型
一、引言
随着人们对长寿风险的认知，国内外学者对长寿风险的研究越来越深入。国外对长寿风险的研究起步较早，自Lee和Carter于1992年提出Lee-Carter模型后就进入了人口死亡率进行研究的新阶段。Patricia Berry，Lawrence Tsui ，Gavin Jones（2010）以澳大利亚的长寿风险为例分别运用了Lee-Carter 模型、APC模型、CBD模型拟合了死亡率数据，指出各种模型都存在其局限性，应该具体问题具体分析。诸多国内学者也对于人口死亡率预测进行研究，如卢仿先、尹莎 （2005） ，杜鹃（2008），祝伟，陈秉正（2009）等也分别在Lee-Carter模型的基础上进行改进，基于我国死亡率历史数据，对我国人口死亡率进行了预测。
二、长寿风险介绍
1.长寿风险产生的原因。长寿风险是多方面因素共同作用的结果，人口预期寿命延长，社会老龄化以及社会保障制度的滞后性是长寿风险产生的主要原因。
1.1社会经济因素。社会的进步和经济的发展为人类提供了一个更加良好的生存环境，抵御灾害和疾病的能力提升，人口平均寿命延长，这使得人们领取养老金的时间延长，养老金计划的支付期大大延长，长寿风险由此产生。
1.2社会保障制度因素。人们预期寿命延长、人口老龄化虽是造成长寿风险的最直接最表象的原因，但长寿风险的根本成因却是社会保障体系相对人口老龄化的滞后性。因此必须加快养老保障制度改革，不断的完善社会保障制度，来应对“银发浪潮”，管理长寿风险。
1.3逆向选择问题。保险公司的养老保险产品是依据一定时期的生命表所示的死亡率，计算出平均预期余命来定价。而在出现长寿风险的状态下又往往会出现逆向选择的现象，但是在整个群体预期寿命系统性延长的状况下，保险公司的客户群体只有具有长寿风险的人群。由于这样的逆向选择，保险公司不断接受高风险投保，必将遭遇长寿风险。
3.长寿风险的影响。随着人口老龄化加深，长寿风险问题将越来越严重，对个人，家庭，养老保障体系，保险业乃至社会的发展都会产生不利的影响。
3.1长寿风险对个人的影响。对于个人来说，实际寿命大于预期寿命，往往会因为年轻时财富积累不足难以维持退休后生活，那么只能减少退休后的支出，这样老年人的生活质量将大大折扣。所以，长寿风险严重的影响个人及家庭的基本生活。
3.2长寿风险对基本养老保险的影响。我国的基本养老保险是政府和企业强制职工参与的一种养老保障制度，基本养老保险实行“统筹结合”的管理方式，由基本账户和个人账户组成。长寿风险的出现使基本账户养老金实际支付大于预期支付，进一步加深了基本賬户收不抵支的状态。因此，必须加快养老保险的制度改革，尽早做实个人账户，同时保证保险金的投资收益，把基本账户做活，来适应人口老龄化的现状，应对长寿风险。
3.3长寿风险对寿险业发展的影响。人寿保险是一种补充性养老保险，从长寿风险的成因来看，由于寿险产品的定价机制的内部滞后性，以及逆向选择问题的存在，保险公司又不得不接受高风险的投保。如果不采取任何防范措施，保险公司的寿险产品必定长期面临亏损状态，严重阻碍寿险业乃至整个保险业的发展，从而影响整个社会保障体系的发展。
三、人口死亡率预测模型
长寿风险是指养老保险中，预期精算死亡率与实际死亡率之间存在偏差而产生的问题，因此在此采用趋势外推类精算模型，对死亡率进行定量分析。趋势外推死亡率预测模型主要包括三种，即静态死亡率模型、动态死亡率模型及连续随机死亡率模型。
1.Lee-Carter模型介绍。模型形式。Lee-Carter模型考察了年龄和日历年两种指标变量，是一种时间序列趋势外推模型。模型由对数表达式和ARIMA模型两部分组成。其中包含了影响死亡率的年龄因子和时间因素因子，对数表达式描述了死亡率与两个因子的关系，ARIMA模型是预测死亡率的核心思想。
四、对未来我国人口死亡率的预测
本文搜集1995年至2012年《中国人口统计年鉴》和《中国人口与就业统计年鉴》中分年龄死亡率，死亡人数的数据，其中2010年数据缺失，获得1994-2009及2011年共17年的数据（其中1995年，2005年为1%的抽样调查数据，2000年为人口普查数据，其他年份为变动人口调查数据单位为‰，对死亡人数的数据处理时将1995年，2005年死亡人数除以10，2000年死亡人数除以100。）。考虑到0岁婴儿死亡率较高和各年份末组年龄不同，本文对数据进行拆分合并处理为最低组0岁，最高组90岁以上的20个年龄组。其中1996年最高年龄组为85岁，本文用前后两组数据的平均数填充90岁以上组。
1.αx的估计。Lee-Carter模型中参数αx是对依赖年龄的主因子，根据Lee-Carter模型加权最小二乘估计方法，得出参数αx的估计值，并绘制出其随年龄变化的趋势图。
从参数αx的实际意义上来看，其估计值越大说明该对应年龄组的死亡率越大，图1说明我国幼龄组和老龄组人口的死亡率明显高于其他年龄组。
2.kt的估计。kt是Lee-Carter模型中表示时间变量的因子，其取值仅与时间有关。对我国1994-2011年死亡率的估计情况如表1。
检验结果显示，序列kt在三种置信水平下的检验均统计量都大于临界值，P值明显大于一般显著水平，表明该序列为非平稳的序列。而一阶差分后的序列d（kt）统计量的检验统计量小于三种临界值，P值显著小于一般显著性水平，是平稳序列。因此，可以将一阶差分后的序列作为研究对象进行分析。 4.2预测序列kt的未来值。利用上述所选最优模型ARIMA，预测出2012-2018年的时间因子kt的值，预测结果见表5。
图中kt的预测下降的趋势并没有在短期内减弱的迹象，这一结果表明未来几年内我国人口死亡率仍将持续下降，预期寿命随着死亡率的降低将持续延长。
5.未来人口死亡率预测。根据前文对Lee-Carter模型的参数估计及kt序列的预测，本文预测出2012-2018年我国人口分年龄组死亡率。
选取六个年龄组为代表组，绘制分年龄死亡率的走势图（图4）。预测结果显示未来我国人口死亡率将进一步降低。
6.结论分析。综合以上分析可知，我国人口死亡率水平总体上是逐渐降低的。虽然老龄人口死亡率明显高于低龄人口，但是高龄人口死亡率降低幅度明显高于低龄人口，这样的趋势必然导致人口预期寿命延长。前面指出长寿风险就是由于个人或群体死亡率的降低，预期寿命系统性延长，养老金计划收不抵支，形成巨大养老金缺口。据此，我国未来几年内必定存在巨大的长寿风险，这将是养老保障体系亟待解决的大问题。
五、长寿风险管理
1.推进基本养老保险制度改革。目前我国职工退休制度制定于50年代初，当时的预期寿命远低于现在的水平。不断延长的预期寿命，低退休年龄，导致养老金积累不足，支出水平降低，退休人员生活质量得不到保障。因此可以根据人口现状适当提高退休年龄，来应对长寿风险。
2.鼓励发展补充养老保险。随着人口老龄化，基本养老保险制度面临巨大的长寿风险。这种情况下，国家应发展补充性养老保险，可以在税收优惠等方面支持企业创办年金，鼓励保险公司加大养老保险的参与度，引导个人参加各种补充性养老保险。
3.发展长寿风险管理的新途径。保险公司为被保险人提供养老年金产品，以此获取利益的同时也承担巨大的风险。而长寿风险又是不可以内部分散的群体性风险，保险公司只能通过内部产品对冲或外部市场转移来管理这部分风险。
3.1保险产品创新设计。长寿风险是寿险产品的特点决定的，那么必然可以通过保险产品的创新设计来对冲长寿风险。在产品定价方面应该以生命表为基础，并充分考虑未来人口变化状况，防止长寿风险的发生。
3.2利用再保险转嫁风险。再保险是转嫁风险的常用方法，保险公司可以与再保险公司签订分保合同，将其所承担的部分长寿风险转嫁给再保险公司。然而，由于长寿风险是一种全球性的风险，很难找到合适的再保险公司原因接受长寿风险。但是随着长寿风险的加深，再保险市场需求增加，长寿风险的再保险市场将进一步发展。
参考文献：
[1]Patricia Berry， Lawrence Tsui and Gavin Jones. Our New ‘Old’ Problem - Pricing Longevity Risk in Australia[J]. Presented to the 6th International Longevity Risk and Capital Markets Solutions Conference Sydney 9-10 September 2010，605-612.
[2]Joelle H.Y.Fong，Olivia S.Mitchell，Benedict S.K.Koh. Longevity Risk Management IN Singapore’s National Pension System[J].The Journal of Risk and Insurance，2011，Vol.78，NO.4，961-981.
[3]卢仿先，尹莎.Lee一Carter方法在预测中国人口死亡率中的应用[J].保险职业学院学报，2005年6月.
[4]韩猛，王晓军.Lee-Carter模型在中国城市人口死亡率预测中的应用与改进[J]. 保险研究，2010年第10期：3-9.
[5]王晓军，王顺林.中国人口死亡率随机预测模型的比较与选择[J].人口与经济，2011年第1期：82-86.
[6]杜鹃.长寿风险与年金保险研究[J].金融发展研究，2008年第6期：70-73.
[7]艾蔚.基于金融衍生工具視角的长寿风险管理[J].保险研究，2011年第3期：36-44.
[8]祝伟，陈秉正.个人年金产品蕴含的长寿风险分析—生命表修订的启示[J].保险研究，2008，（3）：56-58.
[9]黄顺林，王晓军.基于VaR方法的长寿风险自然对冲模型[J].统计与信息论坛，2011年2月：48-51.
※基金项目：2015年山东省教育科学规划课题《基于微积分基本理论的数学哲学思考与数学文化的建设》资助.
关键词：长寿风险 死亡率 Lee-Carter模型
一、引言
随着人们对长寿风险的认知，国内外学者对长寿风险的研究越来越深入。国外对长寿风险的研究起步较早，自Lee和Carter于1992年提出Lee-Carter模型后就进入了人口死亡率进行研究的新阶段。Patricia Berry，Lawrence Tsui ，Gavin Jones（2010）以澳大利亚的长寿风险为例分别运用了Lee-Carter 模型、APC模型、CBD模型拟合了死亡率数据，指出各种模型都存在其局限性，应该具体问题具体分析。诸多国内学者也对于人口死亡率预测进行研究，如卢仿先、尹莎 （2005） ，杜鹃（2008），祝伟，陈秉正（2009）等也分别在Lee-Carter模型的基础上进行改进，基于我国死亡率历史数据，对我国人口死亡率进行了预测。
二、长寿风险介绍
1.长寿风险产生的原因。长寿风险是多方面因素共同作用的结果，人口预期寿命延长，社会老龄化以及社会保障制度的滞后性是长寿风险产生的主要原因。
1.1社会经济因素。社会的进步和经济的发展为人类提供了一个更加良好的生存环境，抵御灾害和疾病的能力提升，人口平均寿命延长，这使得人们领取养老金的时间延长，养老金计划的支付期大大延长，长寿风险由此产生。
1.2社会保障制度因素。人们预期寿命延长、人口老龄化虽是造成长寿风险的最直接最表象的原因，但长寿风险的根本成因却是社会保障体系相对人口老龄化的滞后性。因此必须加快养老保障制度改革，不断的完善社会保障制度，来应对“银发浪潮”，管理长寿风险。
1.3逆向选择问题。保险公司的养老保险产品是依据一定时期的生命表所示的死亡率，计算出平均预期余命来定价。而在出现长寿风险的状态下又往往会出现逆向选择的现象，但是在整个群体预期寿命系统性延长的状况下，保险公司的客户群体只有具有长寿风险的人群。由于这样的逆向选择，保险公司不断接受高风险投保，必将遭遇长寿风险。
3.长寿风险的影响。随着人口老龄化加深，长寿风险问题将越来越严重，对个人，家庭，养老保障体系，保险业乃至社会的发展都会产生不利的影响。
3.1长寿风险对个人的影响。对于个人来说，实际寿命大于预期寿命，往往会因为年轻时财富积累不足难以维持退休后生活，那么只能减少退休后的支出，这样老年人的生活质量将大大折扣。所以，长寿风险严重的影响个人及家庭的基本生活。
3.2长寿风险对基本养老保险的影响。我国的基本养老保险是政府和企业强制职工参与的一种养老保障制度，基本养老保险实行“统筹结合”的管理方式，由基本账户和个人账户组成。长寿风险的出现使基本账户养老金实际支付大于预期支付，进一步加深了基本賬户收不抵支的状态。因此，必须加快养老保险的制度改革，尽早做实个人账户，同时保证保险金的投资收益，把基本账户做活，来适应人口老龄化的现状，应对长寿风险。
3.3长寿风险对寿险业发展的影响。人寿保险是一种补充性养老保险，从长寿风险的成因来看，由于寿险产品的定价机制的内部滞后性，以及逆向选择问题的存在，保险公司又不得不接受高风险的投保。如果不采取任何防范措施，保险公司的寿险产品必定长期面临亏损状态，严重阻碍寿险业乃至整个保险业的发展，从而影响整个社会保障体系的发展。
三、人口死亡率预测模型
长寿风险是指养老保险中，预期精算死亡率与实际死亡率之间存在偏差而产生的问题，因此在此采用趋势外推类精算模型，对死亡率进行定量分析。趋势外推死亡率预测模型主要包括三种，即静态死亡率模型、动态死亡率模型及连续随机死亡率模型。
1.Lee-Carter模型介绍。模型形式。Lee-Carter模型考察了年龄和日历年两种指标变量，是一种时间序列趋势外推模型。模型由对数表达式和ARIMA模型两部分组成。其中包含了影响死亡率的年龄因子和时间因素因子，对数表达式描述了死亡率与两个因子的关系，ARIMA模型是预测死亡率的核心思想。
四、对未来我国人口死亡率的预测
本文搜集1995年至2012年《中国人口统计年鉴》和《中国人口与就业统计年鉴》中分年龄死亡率，死亡人数的数据，其中2010年数据缺失，获得1994-2009及2011年共17年的数据（其中1995年，2005年为1%的抽样调查数据，2000年为人口普查数据，其他年份为变动人口调查数据单位为‰，对死亡人数的数据处理时将1995年，2005年死亡人数除以10，2000年死亡人数除以100。）。考虑到0岁婴儿死亡率较高和各年份末组年龄不同，本文对数据进行拆分合并处理为最低组0岁，最高组90岁以上的20个年龄组。其中1996年最高年龄组为85岁，本文用前后两组数据的平均数填充90岁以上组。
1.αx的估计。Lee-Carter模型中参数αx是对依赖年龄的主因子，根据Lee-Carter模型加权最小二乘估计方法，得出参数αx的估计值，并绘制出其随年龄变化的趋势图。
从参数αx的实际意义上来看，其估计值越大说明该对应年龄组的死亡率越大，图1说明我国幼龄组和老龄组人口的死亡率明显高于其他年龄组。
2.kt的估计。kt是Lee-Carter模型中表示时间变量的因子，其取值仅与时间有关。对我国1994-2011年死亡率的估计情况如表1。
检验结果显示，序列kt在三种置信水平下的检验均统计量都大于临界值，P值明显大于一般显著水平，表明该序列为非平稳的序列。而一阶差分后的序列d（kt）统计量的检验统计量小于三种临界值，P值显著小于一般显著性水平，是平稳序列。因此，可以将一阶差分后的序列作为研究对象进行分析。 4.2预测序列kt的未来值。利用上述所选最优模型ARIMA，预测出2012-2018年的时间因子kt的值，预测结果见表5。
图中kt的预测下降的趋势并没有在短期内减弱的迹象，这一结果表明未来几年内我国人口死亡率仍将持续下降，预期寿命随着死亡率的降低将持续延长。
5.未来人口死亡率预测。根据前文对Lee-Carter模型的参数估计及kt序列的预测，本文预测出2012-2018年我国人口分年龄组死亡率。
选取六个年龄组为代表组，绘制分年龄死亡率的走势图（图4）。预测结果显示未来我国人口死亡率将进一步降低。
6.结论分析。综合以上分析可知，我国人口死亡率水平总体上是逐渐降低的。虽然老龄人口死亡率明显高于低龄人口，但是高龄人口死亡率降低幅度明显高于低龄人口，这样的趋势必然导致人口预期寿命延长。前面指出长寿风险就是由于个人或群体死亡率的降低，预期寿命系统性延长，养老金计划收不抵支，形成巨大养老金缺口。据此，我国未来几年内必定存在巨大的长寿风险，这将是养老保障体系亟待解决的大问题。
五、长寿风险管理
1.推进基本养老保险制度改革。目前我国职工退休制度制定于50年代初，当时的预期寿命远低于现在的水平。不断延长的预期寿命，低退休年龄，导致养老金积累不足，支出水平降低，退休人员生活质量得不到保障。因此可以根据人口现状适当提高退休年龄，来应对长寿风险。
2.鼓励发展补充养老保险。随着人口老龄化，基本养老保险制度面临巨大的长寿风险。这种情况下，国家应发展补充性养老保险，可以在税收优惠等方面支持企业创办年金，鼓励保险公司加大养老保险的参与度，引导个人参加各种补充性养老保险。
3.发展长寿风险管理的新途径。保险公司为被保险人提供养老年金产品，以此获取利益的同时也承担巨大的风险。而长寿风险又是不可以内部分散的群体性风险，保险公司只能通过内部产品对冲或外部市场转移来管理这部分风险。
3.1保险产品创新设计。长寿风险是寿险产品的特点决定的，那么必然可以通过保险产品的创新设计来对冲长寿风险。在产品定价方面应该以生命表为基础，并充分考虑未来人口变化状况，防止长寿风险的发生。
3.2利用再保险转嫁风险。再保险是转嫁风险的常用方法，保险公司可以与再保险公司签订分保合同，将其所承担的部分长寿风险转嫁给再保险公司。然而，由于长寿风险是一种全球性的风险，很难找到合适的再保险公司原因接受长寿风险。但是随着长寿风险的加深，再保险市场需求增加，长寿风险的再保险市场将进一步发展。
参考文献：
[1]Patricia Berry， Lawrence Tsui and Gavin Jones. Our New ‘Old’ Problem - Pricing Longevity Risk in Australia[J]. Presented to the 6th International Longevity Risk and Capital Markets Solutions Conference Sydney 9-10 September 2010，605-612.
[2]Joelle H.Y.Fong，Olivia S.Mitchell，Benedict S.K.Koh. Longevity Risk Management IN Singapore’s National Pension System[J].The Journal of Risk and Insurance，2011，Vol.78，NO.4，961-981.
[3]卢仿先，尹莎.Lee一Carter方法在预测中国人口死亡率中的应用[J].保险职业学院学报，2005年6月.
[4]韩猛，王晓军.Lee-Carter模型在中国城市人口死亡率预测中的应用与改进[J]. 保险研究，2010年第10期：3-9.
[5]王晓军，王顺林.中国人口死亡率随机预测模型的比较与选择[J].人口与经济，2011年第1期：82-86.
[6]杜鹃.长寿风险与年金保险研究[J].金融发展研究，2008年第6期：70-73.
[7]艾蔚.基于金融衍生工具視角的长寿风险管理[J].保险研究，2011年第3期：36-44.
[8]祝伟，陈秉正.个人年金产品蕴含的长寿风险分析—生命表修订的启示[J].保险研究，2008，（3）：56-58.
[9]黄顺林，王晓军.基于VaR方法的长寿风险自然对冲模型[J].统计与信息论坛，2011年2月：48-51.
※基金项目：2015年山东省教育科学规划课题《基于微积分基本理论的数学哲学思考与数学文化的建设》资助.