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【摘要】数列知识在解决实际问题中应用比较广泛，它也是高中数学教学的重点内容，并且和其他数学内容有着密切联系，在用数列知识解决应用题时，重点从数列的已知条件来分析和建立递推关系式，从而找出通项公式，这样就能使问题找到突破口.
【关键词】高中数学；数列问题；递推关系
数列问题是高中数学教学的重要内容，在高中数学学习中，以数列知识为考核内容的许多应用题目也是考核的重点题型，如果要很好地求解此类题目，就要掌握数列中的递推关系.熟练运用好递推关系，就要掌握初值、第n项与前面几项的关系式.笔者结合教学实践，对数列中递推关系的建立和运用作了深入探讨.
一、运用等差（比）数列解应用题
在解答一些应用题目时，如果能把题目中的问题转化成等差或等比数列问题，然后再运用数列的有关性质进行解答就容易解决.
例1非典是一种传染性非常强的流行性疾病，2003年4月1日某市新增被传染患者30个人，在此后中，每天新增加被传染人数为60人，于是该市加大预防措施，使非典传染速度得到控制，从该月的某一天开始，新增加被传染人数比前一天减少20人，到月底30日为止，该市共被传染人数达到5 400人，求在这个月的哪一天被传染人数最多？并求出这一天新增加的被感染人数是多少.
题目分析假如4月n日的这一天新增加的被感染人数最多，根据题目可知道，从1日到n日，新增加被传染人数构成一个等差数列；从n 1日起到30日新增患者又构成另一个等差数列问题.这两个等差数列之和即为本月共被传染人数.
解题过程根据已知条件，4月1日到n日，每天新增加的被传染人数构成一个等差数列an，a1=30，d1=60，n日这一天新增被传染人数是an=60n-30；从n 1日到30日，每天新增被传染人数构成另一等差数列bm，b1=60n-30，d2=-20，bm=60n-30 （m-1）（-20），该月30日这一天新增被传染人数为b30-n=60n-30 （30-n-1）（-20）=80n-610，
本月总被传染人数：（30 60n-30）n2 [（60n-30） （40n-10）]（30-n）2=5400，化简此式得到1500n-600=5400，n=4，a4=210，所以，4月4日这一天被并按传染人数最多，是210人.
二、利用an=Can-1 B形式的递推关系解答题目（B，C为非零常数且C≠1）
例2某公司研制一个新产品，投入1千万元，每年能获利25%，要保持产品在市场上有较强的竞争性，需要每年在年底从利润中拿出200万元进行产品创新、产品宣传等投入，其余资金全部投入再生产才能保持原来的利润率，求该公司几年后产品投入资金能达到或超过翻两番的目标？
题目分析与主要解题步骤假如n年后，产品资金为an万元，前后两年的递推关系为an=an-1（1 25%）-200，此类题目可用“待定系数法求解”，化简后得an=54an-1-200，假设an p=54（an-1 p），化简后得an=54an-1 14p，由此得p=-800，所以，an-800=54（an-1-800），也就是{an-800}是一个等比数列关系，a1=1000（1 25%）-200=1050，a1-800=250，所以，an=25054n-1 800，令an≥4000，54n≥16，可求出n≥12.
三、多个不同数列之间的递推关系应用
对于出现在多个不同数列之间的递推关系，要整体考虑和正确处理数列间的关系.
例3A，B两个瓶子中分别装有10%和20%的酒精溶液各500毫升，同时，从两个瓶中各取出100毫升酒精，相互倒入对方瓶子中混合，这是第一次混合，可记录为a1=10%，b1=20%，经过n-1次混合后，A，B两个瓶子中的浓度为an，bn.求下列问题：
（1）求an，bn表达式，用an-1，bn-1来表示；
（2）证明数列{an-bn}是等比数列，并求通项an，bn各自表达式.
解题分析由于此题涉及两个不同数列an、bn，且它们之间有相互联系，应把两个数列联系起来考虑.
主要解题过程：（1）根据题意要求可得出an=45an-1 15bn-1，
bn=45bn-1 15an-1.
（2）an-bn=an-1-bn-1=35（an-1-bn-1）（n≥2），由此可以看出{an-bn}是一个等比数列，公比q=35.∵a1-b1=-10%，∴an-bn=-105n-1 ①.∵an bn=an-1 bn-1=…=a1 b1=30% ②，解上面①②两个式子可得出an=-55n-1 15%，bn=55n-1 15%.
总之，递推关系在数学中应用比较广泛，它不是抽象的概念，而是一种具体的方法，它的运用需要根据具体问题来确定，并没有固定的模式.虽然如此，在遇到此类问题时，需要根据问题的具体条件来认真分析条件的某一个项与前面几项的关系，再根据边界条件，确定递推关系式.因此，学习和运用好递推关系式，对提高学生的数学应用能力，提升学生的数学素质具有重要意义.
【参考文献】
[1]梁建梅.浅析高中数学数列问题中的递推关系的应用[J].考試周刊，2010（15）：67-68.
[2]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].新乡：河南师范大学，2013.
【关键词】高中数学；数列问题；递推关系
数列问题是高中数学教学的重要内容，在高中数学学习中，以数列知识为考核内容的许多应用题目也是考核的重点题型，如果要很好地求解此类题目，就要掌握数列中的递推关系.熟练运用好递推关系，就要掌握初值、第n项与前面几项的关系式.笔者结合教学实践，对数列中递推关系的建立和运用作了深入探讨.
一、运用等差（比）数列解应用题
在解答一些应用题目时，如果能把题目中的问题转化成等差或等比数列问题，然后再运用数列的有关性质进行解答就容易解决.
例1非典是一种传染性非常强的流行性疾病，2003年4月1日某市新增被传染患者30个人，在此后中，每天新增加被传染人数为60人，于是该市加大预防措施，使非典传染速度得到控制，从该月的某一天开始，新增加被传染人数比前一天减少20人，到月底30日为止，该市共被传染人数达到5 400人，求在这个月的哪一天被传染人数最多？并求出这一天新增加的被感染人数是多少.
题目分析假如4月n日的这一天新增加的被感染人数最多，根据题目可知道，从1日到n日，新增加被传染人数构成一个等差数列；从n 1日起到30日新增患者又构成另一个等差数列问题.这两个等差数列之和即为本月共被传染人数.
解题过程根据已知条件，4月1日到n日，每天新增加的被传染人数构成一个等差数列an，a1=30，d1=60，n日这一天新增被传染人数是an=60n-30；从n 1日到30日，每天新增被传染人数构成另一等差数列bm，b1=60n-30，d2=-20，bm=60n-30 （m-1）（-20），该月30日这一天新增被传染人数为b30-n=60n-30 （30-n-1）（-20）=80n-610，
本月总被传染人数：（30 60n-30）n2 [（60n-30） （40n-10）]（30-n）2=5400，化简此式得到1500n-600=5400，n=4，a4=210，所以，4月4日这一天被并按传染人数最多，是210人.
二、利用an=Can-1 B形式的递推关系解答题目（B，C为非零常数且C≠1）
例2某公司研制一个新产品，投入1千万元，每年能获利25%，要保持产品在市场上有较强的竞争性，需要每年在年底从利润中拿出200万元进行产品创新、产品宣传等投入，其余资金全部投入再生产才能保持原来的利润率，求该公司几年后产品投入资金能达到或超过翻两番的目标？
题目分析与主要解题步骤假如n年后，产品资金为an万元，前后两年的递推关系为an=an-1（1 25%）-200，此类题目可用“待定系数法求解”，化简后得an=54an-1-200，假设an p=54（an-1 p），化简后得an=54an-1 14p，由此得p=-800，所以，an-800=54（an-1-800），也就是{an-800}是一个等比数列关系，a1=1000（1 25%）-200=1050，a1-800=250，所以，an=25054n-1 800，令an≥4000，54n≥16，可求出n≥12.
三、多个不同数列之间的递推关系应用
对于出现在多个不同数列之间的递推关系，要整体考虑和正确处理数列间的关系.
例3A，B两个瓶子中分别装有10%和20%的酒精溶液各500毫升，同时，从两个瓶中各取出100毫升酒精，相互倒入对方瓶子中混合，这是第一次混合，可记录为a1=10%，b1=20%，经过n-1次混合后，A，B两个瓶子中的浓度为an，bn.求下列问题：
（1）求an，bn表达式，用an-1，bn-1来表示；
（2）证明数列{an-bn}是等比数列，并求通项an，bn各自表达式.
解题分析由于此题涉及两个不同数列an、bn，且它们之间有相互联系，应把两个数列联系起来考虑.
主要解题过程：（1）根据题意要求可得出an=45an-1 15bn-1，
bn=45bn-1 15an-1.
（2）an-bn=an-1-bn-1=35（an-1-bn-1）（n≥2），由此可以看出{an-bn}是一个等比数列，公比q=35.∵a1-b1=-10%，∴an-bn=-105n-1 ①.∵an bn=an-1 bn-1=…=a1 b1=30% ②，解上面①②两个式子可得出an=-55n-1 15%，bn=55n-1 15%.
总之，递推关系在数学中应用比较广泛，它不是抽象的概念，而是一种具体的方法，它的运用需要根据具体问题来确定，并没有固定的模式.虽然如此，在遇到此类问题时，需要根据问题的具体条件来认真分析条件的某一个项与前面几项的关系，再根据边界条件，确定递推关系式.因此，学习和运用好递推关系式，对提高学生的数学应用能力，提升学生的数学素质具有重要意义.
【参考文献】
[1]梁建梅.浅析高中数学数列问题中的递推关系的应用[J].考試周刊，2010（15）：67-68.
[2]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].新乡：河南师范大学，2013.