论文部分内容阅读
摘要：在高三数学复习中，打破传统复习方法，借鉴城市网格化管理模式，围绕知识梳理网格化、教学串联网格化和学生合作网格化三方面进行实践，化被动为主动。通过网格化教学，学生对知识具有更大迁移性，达到举一反三效果，大大提升了教学效率。
关键词：网格化教学；高三数学；复习
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）03-0107
城市网格化管理是社会管理的一种革命和创新。简单说来，就是将城市辖区按照一定标准划分成为单元网格，这些网格成为政府管理基层社会的单元。其主要优势是将过去被动应对问题的管理模式转变为主动发现问题和解决问题。在新课改和提倡自主学习的当下，打破传统模式，创新教学方式迫在眉睫。那么，在高中数学教学中，是否可以借鉴社会管理网格化模式，走出一条有别于传统的路径呢？答案是肯定的。笔者在高三数学复习中围绕知识梳理网格化、教学串联网格化、学生管理网格化三方面进行了实践，取得了不错的效果，并把这种教学方式称为网格化教学。
一、知识梳理网格化
美国教育学家布鲁纳认为：“任何一门学科都有基本知识结构，学生只有掌握了基本结构，才能产生大量的迁移。”由此不难发现，把知识进行网格化梳理，以网络的形式呈现在学生面前，会起到事半功倍的作用。
在以往的高三数学复习中，往往是将知识模块以条目形式概括、总结，学生头脑中很难形成一个清晰知识脉络，更别说能够举一反三、触类旁通了。知识模块梳理网格化，即将知识模块串联起来形成大网格，将由定义、定理、公式、性质等知识点串联起来形成小网格，大网格嵌套小网格，形成层层推进，层层细化的总网络，能使知识在学生头脑中不是无序堆积，而是形成清晰的网络体系，学生解题时能够在网络中寻找相关知识点，进行优化组合，促使解题过程简化。
1. 模块与模块梳理网格化
高中数学知识概括起来主要有以下几个模块：集合与函数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何、曲线与方程、逻辑用语等。笔者在高三一轮复习刚开始时，就将上述知识模块串联成网格呈现给学生，使学生在总体上对高中数学知识有个概念。
例1. 模块与模块之间的串联
师：高中数学我们已经学完，那么我们有学了些什么内容呢？
生1：集合、不等式、函数。
生2：立体几何、解析几何、直线与圆。
生3：向量、简易逻辑。
……
学生七嘴八舌回答着，笔者把学生回答的内容板书到黑板，构成了下面的知识模块网格。
这个模块网络表面上看似乎没什么，就是换种形式罗列知识。但是笔者将各个模块知识之间的联系以一些题目的形式进行串联呈现，使学生能够直观知道这些知识模块是如何串联在一起的。
例2. 集合与函数、不等式之间的串联
串联题目：已知A={x ■<0}，B={x ax2-x b≥0}且A∪B=R，A∩B= 求a与b的值。显然可以一目了然的发现集合A涵盖了分式不等式，集合B涵盖了一元二次不等式。而在解题过程中又牵涉到二次函数，这样集合、函数、不等式就串联在一起构成了一个整体。
2. 模块梳理网格化
每一个知识模块的内容都相当丰富，在传统的高三数学复习中，往往是围绕模块内容，一条一条复习下去，没有给学生构成网格，形成一个直观的知识网络，学生常常无法将知识点串联，进而无法灵活运用这些知识点解题。笔者在复习过程中，在给出知识模块网格的前提下，对知识模块内容进行网格化梳理，使学生从一开始就知道每一个知识模块有哪些知识点需要掌握。如下面的例子：
例3：平面向量模块
3. 知识点梳理网格化
每一个知识模块中都包含了许多个知识点，而每一个知识点又分为好几项内容，笔者在给出模块知识网格后，针对构成模块的每一个知识点，以网格形式呈现给学生，学生能快速记忆，熟练掌握。
例4：向量及基本概念
二、教学串联网格化
众所周知，教学过程中教师有着很大的权力。当关起教室门后，教师对课堂教学的目标和方法，以及课程的内容、教学方法和教材取舍有着很大的自主权。因此，教师往往是凭借以往教学经验展开教学，而忽視了学生群体的变化和教育背景的改变。有研究表明，当知识以一种层次网络的方式进行排列时，就可以大大提高知识的检索效率，因而具有更大的迁移性，从而达到举一反三的效果。笔者在高三数学复习中尝试改变，探索符合学生的教学方法，教学中注意知识的串联延伸，把知识以网格化形式呈现给学生，使学生能够花最少的时间记住更多的知识点。
1. “一网打尽”同一知识点
高中数学的十三个主要模块知识涵盖了丰富的知识点，并且同一个知识点往往分布在不同的章节内容。在以往按照章节内容复习过程中，这些知识点虽然都复习到，但是没有进行归纳总结，为此笔者在教学复习中尝试对同一知识点进行网格化归纳延伸，清晰地呈现给学生，如例5。
例5：“垂直”知识点
2. “以题为桥”串接知识点
高三数学复习离不开习题讲解，在以往的教学中，笔者常常受到这样的困惑，就是同一类型的题目讲解好多遍后，学生的得分率依然不高，即使题目不是很难。为改变这种现象，提高学生答题得分率，笔者有意在讲解题目时进行知识点串联，并让学生自己寻找错误所在，从而有针对性纠错。
例6：某次模拟考有如下一个函数题：函数f（x）的定义域为（-6，6），且在定义域上单调递减，满足f（m） f（6-m2）<0，则实数的取值范围是 。
这是一个常规的函数题目，而且难度不大，并且同一类型的题目也讲解过。但是全班57名学生，答对的只有40人，答错的有17人，得分率只有70.2%。为此笔者花了较长时间对该题目进行梳理。首先是概括出这个题目涉及到哪些知识点，然后让答错的学生通过举手一一对号入座，找到错在哪个知识点。具体数据如下表： 通过一个简单的题目串接了4个知识点，然后让学生有针对性展开复习，巩固薄弱点。在接下来的一次考试中，又有类似题型出现：函数f（x）定义在（-2，2）的增函数，且是奇函数，并满足f（m） f（2-m2）<0，求实数m的取值范围为 。全班57名学生只有7人答错，正确率有87.7%。同一题型的正解率整整提高了17.5个百分点。
3. “纵横交叉”编织知识点
学生对知识点的记忆有长短，而能够达到长时间记忆的，往往是这些知识点在学生脑海中经常性“重放”。而知识点的“重放”需要线索。为了让学生能够通过记住某个知识点而辐射记住其他一些知识点，笔者在教学中加强了一些知识点的关联、串接。
例7：立体几何中的平行和垂直串联
上图网格中，立体几何中的平行和垂直是常考知识，而且往往是以证明题的形式进行考查，为此笔者将这些知识点连成网格，牵一发而动全身，大大降低学生记忆负担。通过网格，学生对立体几何中的知识有了清晰的了解。如在证明线面垂直时马上就能想到通过线线垂直、面面垂直、线线平行、面面平行等知识点进行解题。大大提高了学生在立体几何方面题目的得分率。
三、学习合作网格化
波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”也就是说，教师的任务在于度，学生的任务在于悟，让学生成为学习的主人，让他们在主动探索中实现突破，提高数学素养。
1. 生生合作网格化
根据“组内异质，组间同质”原则，按照学生性别、知识基础、学生成绩、学习能力、个性特点等把班级的学生分成8个小组，每组7至8人。这每个小组就是一个网格，8个小组在一起组成一个大网格。在教学复习时，小网格内展开互助合作，大网格之间展开互助交流，构成学生合作学习网格。
例8：设函数f（x）=ax2 bx，1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围。
一开始笔者让学生独立完成这个题目。结果统计下来，全班57名学生只有18名学生解出了正确答案，21名学生有解题思路但是未能求出答案，还有18名学生根本无从下手解题。接着笔者让学生按照网格相互合作解题，结果8个小组网格全部求出正解。但是调查发现，所有小组都用了同一种解题方法。即：
解法一：由f（-1）=a-bf（1）=a b，得a=■[f（-1） f（1）]b=■[f（1）-f（1）]，
∴f（-2）=4a-2b=3f（-1） f（1），又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4
∴5≤3f（-1） f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10。
于是笔者又启发学生寻找其他解题方法。结果有3个小组的学生找到了第二种解题方法，采用的是数形结合方法。即：
解法二：由1≤a-b≤22≤a b≤4确定平面区域，如下图：
当f（-2）=4a-2b过点（■，■）时，取得最小值4×■-2×■=5。
当f（-2）=4a-2b过点（3，1）时，取得最大值4×3-2×1=10。
显然通过学生在网格小组内相互交流合作，不仅解出题目，更是找到了不同的解题方法。
2. 师生合作网格化
在注重生生合作网格化，提高学生学习效率的同时，笔者也充分参与到学生学习当中去，做好“引导员”。即以教师为中心，学生围绕中心，彼此合作，这样就构建了以教师为中心，辐射至学生的网格，形象的概括就是“中心开花”网格。在这个网格中，教师要发挥引导作用，拓宽学生解题思路，使学生能熟练运用不同知识点解题。
例9：已知等差数列的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项之和。
师：这是一个等差数列前n项和问题，请大家想想解题的方法。
生：S10=100S100=10，10a1 ■d=100100a1 ■d=10。
师：这个是最常规的方法，两个方程两个未知数，我们可以解决。
生：但是这个方程组计算量很大。
师：对的，有学生发现了，这个方程虽然比较直接，但是计算量很大，有没有同学有更好的方法呢？
师：是不是可以從前n项和的性质出发呢？
生：S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30，…，S110-S100成等差数列，可以构成一个新的数列。
师：可以根据这个新数列的前10项和求出新数列的公差，从而去求此数列的第11项，下面请同学自己来完成，可以同桌讨论下过程。
师：我们发现这个方法比第一种计算量要小，准确率就要高。请问还有更好的方法吗？
生：……用S100-S10=-90，说明■=-90，得到（a11 a100）=-2
S110=■
师：不错，这种方法非常巧妙，计算量也非常小，我们主要应用了等差数列的性质。
最后笔者给学生概括归纳出求数列问题的知识网格，加强学生的记忆和理解。
高三数学复习一年下来，笔者通过知识梳理网格化使学生能够清晰掌握整个高中的数学知识脉络；通过教学串联网格化使学生能够举一反三，经常性产生知识迁移；通过学习合作网格化使学生能够熟练运用各种知识，用最简洁的方法解答题目。这种“网格化教学”化被动为主动，打破传统高三数学复习的“满堂灌”，使学生学会学习方法，即从整体到局部（知识模块到知识点），局部到局部（知识点间串联），局部到整体（关键知识点到解题方法），大大提升了教学效率。
参考文献：
[1] 郑金洲.新课程课堂教学探索系列——合作学习[M].福州：福建教育出版社，2005.
[2] 张 瑾.浅谈数学教学中的“合作学习”[J].教学月刊，2009（7）.
（作者单位：浙江省嘉兴市海盐第二高级中学 314000）
关键词：网格化教学；高三数学；复习
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）03-0107
城市网格化管理是社会管理的一种革命和创新。简单说来，就是将城市辖区按照一定标准划分成为单元网格，这些网格成为政府管理基层社会的单元。其主要优势是将过去被动应对问题的管理模式转变为主动发现问题和解决问题。在新课改和提倡自主学习的当下，打破传统模式，创新教学方式迫在眉睫。那么，在高中数学教学中，是否可以借鉴社会管理网格化模式，走出一条有别于传统的路径呢？答案是肯定的。笔者在高三数学复习中围绕知识梳理网格化、教学串联网格化、学生管理网格化三方面进行了实践，取得了不错的效果，并把这种教学方式称为网格化教学。
一、知识梳理网格化
美国教育学家布鲁纳认为：“任何一门学科都有基本知识结构，学生只有掌握了基本结构，才能产生大量的迁移。”由此不难发现，把知识进行网格化梳理，以网络的形式呈现在学生面前，会起到事半功倍的作用。
在以往的高三数学复习中，往往是将知识模块以条目形式概括、总结，学生头脑中很难形成一个清晰知识脉络，更别说能够举一反三、触类旁通了。知识模块梳理网格化，即将知识模块串联起来形成大网格，将由定义、定理、公式、性质等知识点串联起来形成小网格，大网格嵌套小网格，形成层层推进，层层细化的总网络，能使知识在学生头脑中不是无序堆积，而是形成清晰的网络体系，学生解题时能够在网络中寻找相关知识点，进行优化组合，促使解题过程简化。
1. 模块与模块梳理网格化
高中数学知识概括起来主要有以下几个模块：集合与函数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何、曲线与方程、逻辑用语等。笔者在高三一轮复习刚开始时，就将上述知识模块串联成网格呈现给学生，使学生在总体上对高中数学知识有个概念。
例1. 模块与模块之间的串联
师：高中数学我们已经学完，那么我们有学了些什么内容呢？
生1：集合、不等式、函数。
生2：立体几何、解析几何、直线与圆。
生3：向量、简易逻辑。
……
学生七嘴八舌回答着，笔者把学生回答的内容板书到黑板，构成了下面的知识模块网格。
这个模块网络表面上看似乎没什么，就是换种形式罗列知识。但是笔者将各个模块知识之间的联系以一些题目的形式进行串联呈现，使学生能够直观知道这些知识模块是如何串联在一起的。
例2. 集合与函数、不等式之间的串联
串联题目：已知A={x ■<0}，B={x ax2-x b≥0}且A∪B=R，A∩B= 求a与b的值。显然可以一目了然的发现集合A涵盖了分式不等式，集合B涵盖了一元二次不等式。而在解题过程中又牵涉到二次函数，这样集合、函数、不等式就串联在一起构成了一个整体。
2. 模块梳理网格化
每一个知识模块的内容都相当丰富，在传统的高三数学复习中，往往是围绕模块内容，一条一条复习下去，没有给学生构成网格，形成一个直观的知识网络，学生常常无法将知识点串联，进而无法灵活运用这些知识点解题。笔者在复习过程中，在给出知识模块网格的前提下，对知识模块内容进行网格化梳理，使学生从一开始就知道每一个知识模块有哪些知识点需要掌握。如下面的例子：
例3：平面向量模块
3. 知识点梳理网格化
每一个知识模块中都包含了许多个知识点，而每一个知识点又分为好几项内容，笔者在给出模块知识网格后，针对构成模块的每一个知识点，以网格形式呈现给学生，学生能快速记忆，熟练掌握。
例4：向量及基本概念
二、教学串联网格化
众所周知，教学过程中教师有着很大的权力。当关起教室门后，教师对课堂教学的目标和方法，以及课程的内容、教学方法和教材取舍有着很大的自主权。因此，教师往往是凭借以往教学经验展开教学，而忽視了学生群体的变化和教育背景的改变。有研究表明，当知识以一种层次网络的方式进行排列时，就可以大大提高知识的检索效率，因而具有更大的迁移性，从而达到举一反三的效果。笔者在高三数学复习中尝试改变，探索符合学生的教学方法，教学中注意知识的串联延伸，把知识以网格化形式呈现给学生，使学生能够花最少的时间记住更多的知识点。
1. “一网打尽”同一知识点
高中数学的十三个主要模块知识涵盖了丰富的知识点，并且同一个知识点往往分布在不同的章节内容。在以往按照章节内容复习过程中，这些知识点虽然都复习到，但是没有进行归纳总结，为此笔者在教学复习中尝试对同一知识点进行网格化归纳延伸，清晰地呈现给学生，如例5。
例5：“垂直”知识点
2. “以题为桥”串接知识点
高三数学复习离不开习题讲解，在以往的教学中，笔者常常受到这样的困惑，就是同一类型的题目讲解好多遍后，学生的得分率依然不高，即使题目不是很难。为改变这种现象，提高学生答题得分率，笔者有意在讲解题目时进行知识点串联，并让学生自己寻找错误所在，从而有针对性纠错。
例6：某次模拟考有如下一个函数题：函数f（x）的定义域为（-6，6），且在定义域上单调递减，满足f（m） f（6-m2）<0，则实数的取值范围是 。
这是一个常规的函数题目，而且难度不大，并且同一类型的题目也讲解过。但是全班57名学生，答对的只有40人，答错的有17人，得分率只有70.2%。为此笔者花了较长时间对该题目进行梳理。首先是概括出这个题目涉及到哪些知识点，然后让答错的学生通过举手一一对号入座，找到错在哪个知识点。具体数据如下表： 通过一个简单的题目串接了4个知识点，然后让学生有针对性展开复习，巩固薄弱点。在接下来的一次考试中，又有类似题型出现：函数f（x）定义在（-2，2）的增函数，且是奇函数，并满足f（m） f（2-m2）<0，求实数m的取值范围为 。全班57名学生只有7人答错，正确率有87.7%。同一题型的正解率整整提高了17.5个百分点。
3. “纵横交叉”编织知识点
学生对知识点的记忆有长短，而能够达到长时间记忆的，往往是这些知识点在学生脑海中经常性“重放”。而知识点的“重放”需要线索。为了让学生能够通过记住某个知识点而辐射记住其他一些知识点，笔者在教学中加强了一些知识点的关联、串接。
例7：立体几何中的平行和垂直串联
上图网格中，立体几何中的平行和垂直是常考知识，而且往往是以证明题的形式进行考查，为此笔者将这些知识点连成网格，牵一发而动全身，大大降低学生记忆负担。通过网格，学生对立体几何中的知识有了清晰的了解。如在证明线面垂直时马上就能想到通过线线垂直、面面垂直、线线平行、面面平行等知识点进行解题。大大提高了学生在立体几何方面题目的得分率。
三、学习合作网格化
波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”也就是说，教师的任务在于度，学生的任务在于悟，让学生成为学习的主人，让他们在主动探索中实现突破，提高数学素养。
1. 生生合作网格化
根据“组内异质，组间同质”原则，按照学生性别、知识基础、学生成绩、学习能力、个性特点等把班级的学生分成8个小组，每组7至8人。这每个小组就是一个网格，8个小组在一起组成一个大网格。在教学复习时，小网格内展开互助合作，大网格之间展开互助交流，构成学生合作学习网格。
例8：设函数f（x）=ax2 bx，1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围。
一开始笔者让学生独立完成这个题目。结果统计下来，全班57名学生只有18名学生解出了正确答案，21名学生有解题思路但是未能求出答案，还有18名学生根本无从下手解题。接着笔者让学生按照网格相互合作解题，结果8个小组网格全部求出正解。但是调查发现，所有小组都用了同一种解题方法。即：
解法一：由f（-1）=a-bf（1）=a b，得a=■[f（-1） f（1）]b=■[f（1）-f（1）]，
∴f（-2）=4a-2b=3f（-1） f（1），又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4
∴5≤3f（-1） f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10。
于是笔者又启发学生寻找其他解题方法。结果有3个小组的学生找到了第二种解题方法，采用的是数形结合方法。即：
解法二：由1≤a-b≤22≤a b≤4确定平面区域，如下图：
当f（-2）=4a-2b过点（■，■）时，取得最小值4×■-2×■=5。
当f（-2）=4a-2b过点（3，1）时，取得最大值4×3-2×1=10。
显然通过学生在网格小组内相互交流合作，不仅解出题目，更是找到了不同的解题方法。
2. 师生合作网格化
在注重生生合作网格化，提高学生学习效率的同时，笔者也充分参与到学生学习当中去，做好“引导员”。即以教师为中心，学生围绕中心，彼此合作，这样就构建了以教师为中心，辐射至学生的网格，形象的概括就是“中心开花”网格。在这个网格中，教师要发挥引导作用，拓宽学生解题思路，使学生能熟练运用不同知识点解题。
例9：已知等差数列的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项之和。
师：这是一个等差数列前n项和问题，请大家想想解题的方法。
生：S10=100S100=10，10a1 ■d=100100a1 ■d=10。
师：这个是最常规的方法，两个方程两个未知数，我们可以解决。
生：但是这个方程组计算量很大。
师：对的，有学生发现了，这个方程虽然比较直接，但是计算量很大，有没有同学有更好的方法呢？
师：是不是可以從前n项和的性质出发呢？
生：S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30，…，S110-S100成等差数列，可以构成一个新的数列。
师：可以根据这个新数列的前10项和求出新数列的公差，从而去求此数列的第11项，下面请同学自己来完成，可以同桌讨论下过程。
师：我们发现这个方法比第一种计算量要小，准确率就要高。请问还有更好的方法吗？
生：……用S100-S10=-90，说明■=-90，得到（a11 a100）=-2
S110=■
师：不错，这种方法非常巧妙，计算量也非常小，我们主要应用了等差数列的性质。
最后笔者给学生概括归纳出求数列问题的知识网格，加强学生的记忆和理解。
高三数学复习一年下来，笔者通过知识梳理网格化使学生能够清晰掌握整个高中的数学知识脉络；通过教学串联网格化使学生能够举一反三，经常性产生知识迁移；通过学习合作网格化使学生能够熟练运用各种知识，用最简洁的方法解答题目。这种“网格化教学”化被动为主动，打破传统高三数学复习的“满堂灌”，使学生学会学习方法，即从整体到局部（知识模块到知识点），局部到局部（知识点间串联），局部到整体（关键知识点到解题方法），大大提升了教学效率。
参考文献：
[1] 郑金洲.新课程课堂教学探索系列——合作学习[M].福州：福建教育出版社，2005.
[2] 张 瑾.浅谈数学教学中的“合作学习”[J].教学月刊，2009（7）.
（作者单位：浙江省嘉兴市海盐第二高级中学 314000）