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摘 要：概念教学其实就是学生了解和学习数学知识的起步阶段，就好比在生活中我们新认识一位朋友，首先我们需要对这位朋友的基本情况进行了解，譬如性格特点、家庭情况等，这样才能使我们对这位朋友进行合理的判断。学习数学知识也与之相同，因此在数学课堂教学过程中，数学概念知识教学不仅是教学内容中的重要组成部分，也是开展课堂教学的主要内容。学生只有真正了解及掌握概念知识后，才能更深层地學习数学知识及形成数学技能。
关键词：APOS理论;数学概念教学;教学策略
函数知识在高中阶段数学学科教学中不仅是重要教学内容，也是培养学生思维能力的重要教学依据。但是，由于函数概念知识的抽象、深奥，导致学生在学习过程中遇到种种困难，并且也不能较好地理解函数相关知识。“指数函数”在高中阶段是学生接触函数的第一步，为在起步阶段就为学生奠定坚实的基础，为后续函数知识学习提供方法和思路。教师和学生都应当高度重视，但是实际情况却并不理想。学习过程中出现系数、指数、概念、图像等知识不能深刻理解的问题，基于以上情况，就可以应用美国数学家杜宾斯基创立的APOS理论为高中指数函数概念教学提供新的理论支持，以及为教师提供全新的教学策略。
一、APOS理论概述
APOS理论是由美国数学家杜宾斯基创立的，在APOS理论中其主要分为四个阶段，并且理论组成是由四个阶段的首字母组合形成的。第一个阶段是操作阶段（action），第二个阶段是过程阶段（process），第三个阶段是对象阶段（object），第四个阶段是图式阶段（schema）。虽然，APOS理论是以上四个阶段整合形成的，但构建这四个阶段是需要具有一定思维基础的。此时，就可联想到皮亚杰的反抽象思维能力，反抽象思维方式与我们现有的经验思维方式属于对立面，并且实际获得途径和来源也并不相同。通常情况下人们在参与课堂学习、实践活动等，都会根据活动中呈现的事物或参与收获经验进而形成抽象思维，但反抽象思维却与之相反，它主要是由人们参与活动并对实际参与情况、任务、目的等方面结合于一体后进行反思后形成的一种抽象思维方式。
将APOS理论与其他教学理论对比分析显示，其在教学方式方面存在一定区别，它其实是为了数学概念学习而创造的理论，因数学这门课程具有一定神秘性和深奥性，自然数学中的大部分概念知识也都是抽象、深奥的。在实际课堂教学过程中若直接呈现教材中的数学概念知识，学生学习起来确实非常困难，且学生参与学习的兴趣也并不高。基于数学概念的三个特点——发展过程、呈现方式、概念理解等抽象性特点，使得高中数学函数概念课堂教学效率和效果一直呈下滑趋势发展。而将APOS理论应用于高中数学课堂，就可针对性解决这一问题。
二、基于APOS理论下指数函数概念教学原则与思路
（一）教学设计原则
根据指数函数概念这部分知识的特点，以及综合各方面的因素在实施APOS理论时课堂教学设计需要以下三方面为主要核心：“教学设计要具有整体性、教学目标设计要具有明确性、教学设计要注重培养学生自主探究意识。”首先，指数函数概念教学设计应具有整体性，因APOS理论将教学设计分为四个阶段，但是这四个阶段却不是互相关联的[1]。这四个阶段知识会在教学设计初期根据数学内容进行合理划分，指数函数的定义、图像、性质、应用等，然后在具体教学过程中仍然会依照知识本身的发展顺序和学生的身心发展规律进行授课，同时也要注意各个教学环节的有机结合与统一。由此可见，教学设计过程对于整节课堂教学过程的完整性具有重要作用。其次，在教学设计时需要将本节新知内容与APOS理论的四个阶段进行一一对应，并根据实际内容及学生学习情况明确制订教学目标及任务，进而有效改善学生学习概念性知识比较困难的情况。最后，在指数函数概念教学这节课中，不仅要注重传授知识和提高课堂教学效率和质量，还要注重凸显学生课堂主体地位，并对学生自主探究能力方面进行培养与增强，使学生在参与学习过程中可在原有知识基础上收获更多。此外，因指数函数概念知识具有一定抽象特点，在设置教学例题时还要从易到难进行合理过渡。
基于以上几点原则，教师还可为学生设置促进提高创新思维和创造性的瞬间活动，来提升学生的创造性和创新思维能力。同时，活动设置也要贴近日常实际生活，这样既有助于学生理解数学知识，也可以帮助学生在日常生活中进行实践应用。
（二）教学设计思路
例如：教师在讲解“指数函数性质”这部分内容时，教师首先需要对学生实际情况进行了解分析，然后根据教材内容的教学目标和重难点与学生实际情况进行对比分析，再进行有机整合教学设计。根据APOS理论这部分知识教学设计会分为四个阶段：第一阶段自然是操作阶段，教师依照教学内容为学生设计问题情境，引导学生在情境中实现操作。情境创设时要注重与日常生活实际进行有机结合，这样既可以简化教学语言的神秘性，也可增进数学知识与生活的紧密联系。这一阶段的主要教学目标是根据学生参与实践应用可以写出函数关系式，以及通过对问题的分析与思考学生掌握定义域相关知识。第二阶段，当学生在参与操作阶段后仍然保持着较高的学习兴趣，教师可通过引导的方式让学生将指数函数的定义进行抽象处理，进而可以根据所学知识来区分指数函数概念知识和函数概念知识。第三阶段，主要是引导学生将指数函数的图形和性质作为对象进行学习及掌握，在这一阶段教师需要借助信息技术与教学内容进行有机结合。教师在教会学生自己去描绘函数图像的同时，还要利用指数函数图像来进行比较大小，为学生讲解指数函数定义域相关知识点。学生在进行此部分知识学习时，大部分学生都会出现无法理解的情况，根据学生的问题教师就可引导学生将函数看作独立的对象，然后再对指数函数图形与性质进行探究分析，继而使学生在探究分析过后真正理解定义域和值域这部分知识[2]。第四阶段，这一阶段也是指数函数教学的整体把控阶段。主要教学重点是指数函数知识的实际应用，将其应用于日常生活中便于解决实际生活中存在的数学函数问题。其次，是学生在学习指数函数这部分知识后，还可以为后续学习函数概念知识奠定坚实的基础。 三、基于APOS理论视角下的指数函数教学设计对策
（一）活动阶段
首先，在参与活动过程中要积极引导学生参与，熟悉具体操作步骤，深刻体会整个发展过程，进而对学生探究分析和抽象概括能力方面进行培养，以指数函数的概念为实例，教师可借助日常生活实际案例，通过折纸的方式将一张面积为1正方形的纸进行平分，并根据折纸情况提出问题，面积与折纸次数之间有联系吗？教师设置此类活动，会促进学生理解在日常实际生活中到处都是函数知识，同时也会对学生学习兴趣和求知欲进行有效激发。
（二）过程阶段
在参与实践过程这一阶段，也可以说是学生实操阶段。在学生参与活动时教师可根据实操情况设置相应问题，来促进学生及时根据实际情况进行反思总结，这样也有助于学生深刻理解概念的精髓所在[3]。进而，促使学生通过实践反思后，也可将反思抽象性思维方法应用于函数概念学习中。
（三）对象阶段
APOS理论中的对象阶段，这一阶段主要引导学生将某一概念性知识从心理层面进行合理内化，将其视为心理对象继而进行整体操作。比如：在学习指数函数概念知识时主要是引导学生学会辨别哪些是指数函数，需要引导学生根据单调性，最大（小）值、奇偶性等进行合理区分，以及求知与之对应的函数值。
（四）图式阶段
在图式阶段，大部分学生都已经对函数概念知识形成一个整体学习框架，对概念知识的形成、发展、运用及应用过程与其他概念知识的联系和区别，大致都具有基本范围。如在指数函数概念这部分知识讲解时，大部分学生对指数函数的相关定义、图像、性质等都有一定了解，但是在学习图式阶段却需要一定的时间，此时就需要学生在日后学习过程中对数学知识有更深入的理解。
四、基于APOS理论下指数函数概念教学结果分析
经过实践论证表明，在APOS理论下进行指数函数概念教学不仅可有效激发学生学习兴趣，同时也能提高学生参与课堂活动的积极性，以及对学生自主探究能力方面进行强化等。
从学生在操作阶段实际学习情况分析来看，学生一直保持着积极活跃的学习状态，且在学习过程中学习知识都具有浓厚的学习兴趣。大部分学生的知识接受情况比较好，但是因学生之间存在各种能力差异情况，当引导学生从日常实际生活建立数学模型这方面时就出现了较大差异。根据这一情况在日后教学过程中，若在设计指数函数模型相关内容时，教师可鼓励学生到实际生活中进行探索发现指数函数。
在过程阶段教学中，学生已经对概念性知识有初步了解，但是并没有完全理解和掌握[4]。因此，教师会依照学生实际情况来为学生讲解辨析指数函数概念知识，同时还要合理对指数函数概念知识进行合理延伸，只有这样才能为学生提供既清晰又直观的内容。此外，在日后教学设计巩固复习阶段，还需要增加学生反抽象思维的练习活动，进而夯实学生对指数函数概念产生更深入的理解。
第三阶段，对象阶段，主要是对所学知识进行实际应用，并根据所学知识绘制指数函数图像等。若学生知识掌握并不扎实，在学生进行指数函数标点时就会出现问题，为了避免这一情况出现在教学中还要增多巩固练习，使学生真正在理解和掌握的基础上对指数函数进行处理。
第四阶段，也是学生最不容易达到的阶段，因为成功的背后都是需要付出辛苦努力的，图式阶段也是如此。因此在日后教学过程中教师可通过梳理知识结构的方式，帮助学生完成图式阶段的建构，进而增强学生创新思維能力。
结束语
在高中数学学科指数函数概念教学过程中，将APOS理论作为教学实施的核心依托，主要会将整个教学环节分为四个阶段进行。基于此，在将其落实到具体课堂教学中是以活动阶段为导入环节;然后通过鼓励学生参与活动过程进而根据自身感官现象理解进行思考分析，当学生在教师多次引导下就会根据自身经验，对学习和掌握的概念知识形成各个阶段的不同思考范式。使学生在不同阶段中既可以学习掌握数学知识，也可以对自身思维能力与水平进行升华。最终在图式阶段完成指数函数概念知识的学习，进而促进数学课堂教学效率和质量呈上升趋势发展。
参考文献
[1]邓云春，邱吉，谭晓航.基于APOS理论的“指数函数概念”教学设计[J].中学数学研究（下半月），2020（2）：19-21.
[2]陈丽.基于APOS理论的指数函数概念教学设计[J].数学学习与研究：教研版，2020（10）：16-17.
[3]刘祥.基于APOS理论下的小学数学概念教学的研究：以俞正强教师教学“分数的初步认识”一课为例[J].小学教学参考，2020（11）：22-24.
[4]吴统胜.基于APOS理论的概念教学设计研究与实践：以“分层抽样”教学设计为例[J].中学数学研究（下半月），2020（8）：6-10.
关键词：APOS理论;数学概念教学;教学策略
函数知识在高中阶段数学学科教学中不仅是重要教学内容，也是培养学生思维能力的重要教学依据。但是，由于函数概念知识的抽象、深奥，导致学生在学习过程中遇到种种困难，并且也不能较好地理解函数相关知识。“指数函数”在高中阶段是学生接触函数的第一步，为在起步阶段就为学生奠定坚实的基础，为后续函数知识学习提供方法和思路。教师和学生都应当高度重视，但是实际情况却并不理想。学习过程中出现系数、指数、概念、图像等知识不能深刻理解的问题，基于以上情况，就可以应用美国数学家杜宾斯基创立的APOS理论为高中指数函数概念教学提供新的理论支持，以及为教师提供全新的教学策略。
一、APOS理论概述
APOS理论是由美国数学家杜宾斯基创立的，在APOS理论中其主要分为四个阶段，并且理论组成是由四个阶段的首字母组合形成的。第一个阶段是操作阶段（action），第二个阶段是过程阶段（process），第三个阶段是对象阶段（object），第四个阶段是图式阶段（schema）。虽然，APOS理论是以上四个阶段整合形成的，但构建这四个阶段是需要具有一定思维基础的。此时，就可联想到皮亚杰的反抽象思维能力，反抽象思维方式与我们现有的经验思维方式属于对立面，并且实际获得途径和来源也并不相同。通常情况下人们在参与课堂学习、实践活动等，都会根据活动中呈现的事物或参与收获经验进而形成抽象思维，但反抽象思维却与之相反，它主要是由人们参与活动并对实际参与情况、任务、目的等方面结合于一体后进行反思后形成的一种抽象思维方式。
将APOS理论与其他教学理论对比分析显示，其在教学方式方面存在一定区别，它其实是为了数学概念学习而创造的理论，因数学这门课程具有一定神秘性和深奥性，自然数学中的大部分概念知识也都是抽象、深奥的。在实际课堂教学过程中若直接呈现教材中的数学概念知识，学生学习起来确实非常困难，且学生参与学习的兴趣也并不高。基于数学概念的三个特点——发展过程、呈现方式、概念理解等抽象性特点，使得高中数学函数概念课堂教学效率和效果一直呈下滑趋势发展。而将APOS理论应用于高中数学课堂，就可针对性解决这一问题。
二、基于APOS理论下指数函数概念教学原则与思路
（一）教学设计原则
根据指数函数概念这部分知识的特点，以及综合各方面的因素在实施APOS理论时课堂教学设计需要以下三方面为主要核心：“教学设计要具有整体性、教学目标设计要具有明确性、教学设计要注重培养学生自主探究意识。”首先，指数函数概念教学设计应具有整体性，因APOS理论将教学设计分为四个阶段，但是这四个阶段却不是互相关联的[1]。这四个阶段知识会在教学设计初期根据数学内容进行合理划分，指数函数的定义、图像、性质、应用等，然后在具体教学过程中仍然会依照知识本身的发展顺序和学生的身心发展规律进行授课，同时也要注意各个教学环节的有机结合与统一。由此可见，教学设计过程对于整节课堂教学过程的完整性具有重要作用。其次，在教学设计时需要将本节新知内容与APOS理论的四个阶段进行一一对应，并根据实际内容及学生学习情况明确制订教学目标及任务，进而有效改善学生学习概念性知识比较困难的情况。最后，在指数函数概念教学这节课中，不仅要注重传授知识和提高课堂教学效率和质量，还要注重凸显学生课堂主体地位，并对学生自主探究能力方面进行培养与增强，使学生在参与学习过程中可在原有知识基础上收获更多。此外，因指数函数概念知识具有一定抽象特点，在设置教学例题时还要从易到难进行合理过渡。
基于以上几点原则，教师还可为学生设置促进提高创新思维和创造性的瞬间活动，来提升学生的创造性和创新思维能力。同时，活动设置也要贴近日常实际生活，这样既有助于学生理解数学知识，也可以帮助学生在日常生活中进行实践应用。
（二）教学设计思路
例如：教师在讲解“指数函数性质”这部分内容时，教师首先需要对学生实际情况进行了解分析，然后根据教材内容的教学目标和重难点与学生实际情况进行对比分析，再进行有机整合教学设计。根据APOS理论这部分知识教学设计会分为四个阶段：第一阶段自然是操作阶段，教师依照教学内容为学生设计问题情境，引导学生在情境中实现操作。情境创设时要注重与日常生活实际进行有机结合，这样既可以简化教学语言的神秘性，也可增进数学知识与生活的紧密联系。这一阶段的主要教学目标是根据学生参与实践应用可以写出函数关系式，以及通过对问题的分析与思考学生掌握定义域相关知识。第二阶段，当学生在参与操作阶段后仍然保持着较高的学习兴趣，教师可通过引导的方式让学生将指数函数的定义进行抽象处理，进而可以根据所学知识来区分指数函数概念知识和函数概念知识。第三阶段，主要是引导学生将指数函数的图形和性质作为对象进行学习及掌握，在这一阶段教师需要借助信息技术与教学内容进行有机结合。教师在教会学生自己去描绘函数图像的同时，还要利用指数函数图像来进行比较大小，为学生讲解指数函数定义域相关知识点。学生在进行此部分知识学习时，大部分学生都会出现无法理解的情况，根据学生的问题教师就可引导学生将函数看作独立的对象，然后再对指数函数图形与性质进行探究分析，继而使学生在探究分析过后真正理解定义域和值域这部分知识[2]。第四阶段，这一阶段也是指数函数教学的整体把控阶段。主要教学重点是指数函数知识的实际应用，将其应用于日常生活中便于解决实际生活中存在的数学函数问题。其次，是学生在学习指数函数这部分知识后，还可以为后续学习函数概念知识奠定坚实的基础。 三、基于APOS理论视角下的指数函数教学设计对策
（一）活动阶段
首先，在参与活动过程中要积极引导学生参与，熟悉具体操作步骤，深刻体会整个发展过程，进而对学生探究分析和抽象概括能力方面进行培养，以指数函数的概念为实例，教师可借助日常生活实际案例，通过折纸的方式将一张面积为1正方形的纸进行平分，并根据折纸情况提出问题，面积与折纸次数之间有联系吗？教师设置此类活动，会促进学生理解在日常实际生活中到处都是函数知识，同时也会对学生学习兴趣和求知欲进行有效激发。
（二）过程阶段
在参与实践过程这一阶段，也可以说是学生实操阶段。在学生参与活动时教师可根据实操情况设置相应问题，来促进学生及时根据实际情况进行反思总结，这样也有助于学生深刻理解概念的精髓所在[3]。进而，促使学生通过实践反思后，也可将反思抽象性思维方法应用于函数概念学习中。
（三）对象阶段
APOS理论中的对象阶段，这一阶段主要引导学生将某一概念性知识从心理层面进行合理内化，将其视为心理对象继而进行整体操作。比如：在学习指数函数概念知识时主要是引导学生学会辨别哪些是指数函数，需要引导学生根据单调性，最大（小）值、奇偶性等进行合理区分，以及求知与之对应的函数值。
（四）图式阶段
在图式阶段，大部分学生都已经对函数概念知识形成一个整体学习框架，对概念知识的形成、发展、运用及应用过程与其他概念知识的联系和区别，大致都具有基本范围。如在指数函数概念这部分知识讲解时，大部分学生对指数函数的相关定义、图像、性质等都有一定了解，但是在学习图式阶段却需要一定的时间，此时就需要学生在日后学习过程中对数学知识有更深入的理解。
四、基于APOS理论下指数函数概念教学结果分析
经过实践论证表明，在APOS理论下进行指数函数概念教学不仅可有效激发学生学习兴趣，同时也能提高学生参与课堂活动的积极性，以及对学生自主探究能力方面进行强化等。
从学生在操作阶段实际学习情况分析来看，学生一直保持着积极活跃的学习状态，且在学习过程中学习知识都具有浓厚的学习兴趣。大部分学生的知识接受情况比较好，但是因学生之间存在各种能力差异情况，当引导学生从日常实际生活建立数学模型这方面时就出现了较大差异。根据这一情况在日后教学过程中，若在设计指数函数模型相关内容时，教师可鼓励学生到实际生活中进行探索发现指数函数。
在过程阶段教学中，学生已经对概念性知识有初步了解，但是并没有完全理解和掌握[4]。因此，教师会依照学生实际情况来为学生讲解辨析指数函数概念知识，同时还要合理对指数函数概念知识进行合理延伸，只有这样才能为学生提供既清晰又直观的内容。此外，在日后教学设计巩固复习阶段，还需要增加学生反抽象思维的练习活动，进而夯实学生对指数函数概念产生更深入的理解。
第三阶段，对象阶段，主要是对所学知识进行实际应用，并根据所学知识绘制指数函数图像等。若学生知识掌握并不扎实，在学生进行指数函数标点时就会出现问题，为了避免这一情况出现在教学中还要增多巩固练习，使学生真正在理解和掌握的基础上对指数函数进行处理。
第四阶段，也是学生最不容易达到的阶段，因为成功的背后都是需要付出辛苦努力的，图式阶段也是如此。因此在日后教学过程中教师可通过梳理知识结构的方式，帮助学生完成图式阶段的建构，进而增强学生创新思維能力。
结束语
在高中数学学科指数函数概念教学过程中，将APOS理论作为教学实施的核心依托，主要会将整个教学环节分为四个阶段进行。基于此，在将其落实到具体课堂教学中是以活动阶段为导入环节;然后通过鼓励学生参与活动过程进而根据自身感官现象理解进行思考分析，当学生在教师多次引导下就会根据自身经验，对学习和掌握的概念知识形成各个阶段的不同思考范式。使学生在不同阶段中既可以学习掌握数学知识，也可以对自身思维能力与水平进行升华。最终在图式阶段完成指数函数概念知识的学习，进而促进数学课堂教学效率和质量呈上升趋势发展。
参考文献
[1]邓云春，邱吉，谭晓航.基于APOS理论的“指数函数概念”教学设计[J].中学数学研究（下半月），2020（2）：19-21.
[2]陈丽.基于APOS理论的指数函数概念教学设计[J].数学学习与研究：教研版，2020（10）：16-17.
[3]刘祥.基于APOS理论下的小学数学概念教学的研究：以俞正强教师教学“分数的初步认识”一课为例[J].小学教学参考，2020（11）：22-24.
[4]吴统胜.基于APOS理论的概念教学设计研究与实践：以“分层抽样”教学设计为例[J].中学数学研究（下半月），2020（8）：6-10.