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问题 如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）.
A. 2 B.
C. D.
【分析】本题是2015年山西省的一道中考试题，以格点为问题背景构造一个锐角，考查同学们对锐角三角函数概念的理解、掌握和灵活应用.由于题中给出了点A、点B和点C，因此先不考虑取其它点，而是利用现成的点，尝试连接AC，从图形的直观性上初步判断∠BAC可能是直角，再用勾股定理及其逆定理进行验证，最后根据正切的定义计算即可.
【解答】如图2，连接AC.
由勾股定理得：
AB2=22 22=8，AB=2，
AC2=12 12=2，AC=，
BC2=12 32=10，
∴AB2 AC2=8 2=10=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴tan∠ABC===.
因此，本题应该选D.
【感悟】要求以格点为背景的锐角三角函数值，我们仍然要根据锐角三角函数的概念，使所求的锐角化归到直角三角形中加以解答.有的锐角可以直接放到一个直角三角形中，有的锐角需通过构造一个直角三角形，使其成为这个直角三角形的一个锐角，也有的锐角借助与其所在的三角形全等或相似的三角形进行转化，成为另一个直角三角形的一个锐角，再加以解答.现再举几例供大家学习、参考，以期同学们形成良好的解题策略.
例1 如图3，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】观察图3，可以发现∠AOB的一边OB恰好在这个正方形网格的网格线上，可直接过点A作OB的垂线AC，垂足为C，即可构造直角三角形（如图4），因此，tan∠AOB==.所以，本题应该选B.
【点评】本题中设置的∠AOB没有放到一个三角形中，解答时要能够抓住角的一边所在的特殊位置构造直角三角形，并应用正切概念求得结果.
例3 （2015·乐山）如图5，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】设图5中的小正方形的边长为1，因而这是一个5×5的正方形网格， 线段AC为其中3×3的正方形网格的对角线，设其过1×1的正方形网格的一个顶点D（如图6），连接BD，则BD又是其中另一个1×1的正方形网格的对角线，所以∠BDC=90°，则∠ADB=90°，且AD=2，AB=，所以cosA==.因此，本题应该选D.
【点评】本题中的∠A原来是在一个钝角三角形中，借助于网格和角的一边所在的特殊位置，将这个非直角三角形中的锐角进行巧妙构造，使其成为图形中一个直角三角形的锐角，最终求得结果.
例4 如图7，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】由题意知道：△AC′B′是△ACB绕着点A逆时针旋转得到的，根据图形旋转的性质，即可知道△AC′B′≌△ACB，所以∠B′=∠B，从而把求tanB′的问题转化为在△ACB中求tanB.不妨过C点作CD⊥AB，垂足为D，即有tanB′=tanB==.因此，本题应该选B.
【点评】本题能够巧妙地应用图形的旋转性质，将一般图形中的待求角进行转化，转化为与网格具有密切联系的特殊位置的图形.
例5 如图8，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】设这个网格为4×4的正方形网格.乍一看，锐角∠A不在直角三角形中，且边AC、AB所在的位置都不是特殊的位置，仔细观察知道AC为1×2的矩形网格的对角线，则延长AC一定交2×4的矩形网格于点E，连接BE（如图9），则AE=2，BE=，AB=5，∴AE2 BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA==，因此，本题应该选A.
【点评】本题解答是经历了构造以∠A为内角的直角三角形的过程，体现了根据图形位置特征进行探索，对构造图形是一个直角三角形作出猜想，进而应用勾股定理进行验证的思维过程.当然，本题还可以借助于图形中的△ADE∽△EFB来说明△ABE是直角三角形.亲爱的同学，你也想到了吗？可以尝试自己完成思路.
例6 如图10，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是_______.
【解析】∠APD是AB、CD相交所成的锐角，且CD为1×1的正方形网格的对角线.为了使其成为直角三角形中的一个内角，不妨将CD适当平移使其成为另一个1×1的正方形网格的对角线BE（如图11），从而将∠APD转化为∠ABE，在△ABE中，可以通过勾股定理得到∠AEB=90°，所以tan∠APD=tan∠ABE==2.因此，本题应该填：2.
【点评】本题难点在于能够应用图形中隐含的线段平行的位置关系，使待求的角进行适当的转化，转化到直角三角形中加以解答.
小试身手
1. 正方形网格中，∠AOB如图12放置，则cos∠AOB的值为（ ）.
A. B.
C. D.
2. 如图13，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=_______.
参考答案
1. B 2.
（作者单位：江苏省建湖县汇文实验初中教育集团汇文校区）
A. 2 B.
C. D.
【分析】本题是2015年山西省的一道中考试题，以格点为问题背景构造一个锐角，考查同学们对锐角三角函数概念的理解、掌握和灵活应用.由于题中给出了点A、点B和点C，因此先不考虑取其它点，而是利用现成的点，尝试连接AC，从图形的直观性上初步判断∠BAC可能是直角，再用勾股定理及其逆定理进行验证，最后根据正切的定义计算即可.
【解答】如图2，连接AC.
由勾股定理得：
AB2=22 22=8，AB=2，
AC2=12 12=2，AC=，
BC2=12 32=10，
∴AB2 AC2=8 2=10=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴tan∠ABC===.
因此，本题应该选D.
【感悟】要求以格点为背景的锐角三角函数值，我们仍然要根据锐角三角函数的概念，使所求的锐角化归到直角三角形中加以解答.有的锐角可以直接放到一个直角三角形中，有的锐角需通过构造一个直角三角形，使其成为这个直角三角形的一个锐角，也有的锐角借助与其所在的三角形全等或相似的三角形进行转化，成为另一个直角三角形的一个锐角，再加以解答.现再举几例供大家学习、参考，以期同学们形成良好的解题策略.
例1 如图3，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】观察图3，可以发现∠AOB的一边OB恰好在这个正方形网格的网格线上，可直接过点A作OB的垂线AC，垂足为C，即可构造直角三角形（如图4），因此，tan∠AOB==.所以，本题应该选B.
【点评】本题中设置的∠AOB没有放到一个三角形中，解答时要能够抓住角的一边所在的特殊位置构造直角三角形，并应用正切概念求得结果.
例3 （2015·乐山）如图5，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】设图5中的小正方形的边长为1，因而这是一个5×5的正方形网格， 线段AC为其中3×3的正方形网格的对角线，设其过1×1的正方形网格的一个顶点D（如图6），连接BD，则BD又是其中另一个1×1的正方形网格的对角线，所以∠BDC=90°，则∠ADB=90°，且AD=2，AB=，所以cosA==.因此，本题应该选D.
【点评】本题中的∠A原来是在一个钝角三角形中，借助于网格和角的一边所在的特殊位置，将这个非直角三角形中的锐角进行巧妙构造，使其成为图形中一个直角三角形的锐角，最终求得结果.
例4 如图7，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】由题意知道：△AC′B′是△ACB绕着点A逆时针旋转得到的，根据图形旋转的性质，即可知道△AC′B′≌△ACB，所以∠B′=∠B，从而把求tanB′的问题转化为在△ACB中求tanB.不妨过C点作CD⊥AB，垂足为D，即有tanB′=tanB==.因此，本题应该选B.
【点评】本题能够巧妙地应用图形的旋转性质，将一般图形中的待求角进行转化，转化为与网格具有密切联系的特殊位置的图形.
例5 如图8，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】设这个网格为4×4的正方形网格.乍一看，锐角∠A不在直角三角形中，且边AC、AB所在的位置都不是特殊的位置，仔细观察知道AC为1×2的矩形网格的对角线，则延长AC一定交2×4的矩形网格于点E，连接BE（如图9），则AE=2，BE=，AB=5，∴AE2 BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA==，因此，本题应该选A.
【点评】本题解答是经历了构造以∠A为内角的直角三角形的过程，体现了根据图形位置特征进行探索，对构造图形是一个直角三角形作出猜想，进而应用勾股定理进行验证的思维过程.当然，本题还可以借助于图形中的△ADE∽△EFB来说明△ABE是直角三角形.亲爱的同学，你也想到了吗？可以尝试自己完成思路.
例6 如图10，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是_______.
【解析】∠APD是AB、CD相交所成的锐角，且CD为1×1的正方形网格的对角线.为了使其成为直角三角形中的一个内角，不妨将CD适当平移使其成为另一个1×1的正方形网格的对角线BE（如图11），从而将∠APD转化为∠ABE，在△ABE中，可以通过勾股定理得到∠AEB=90°，所以tan∠APD=tan∠ABE==2.因此，本题应该填：2.
【点评】本题难点在于能够应用图形中隐含的线段平行的位置关系，使待求的角进行适当的转化，转化到直角三角形中加以解答.
小试身手
1. 正方形网格中，∠AOB如图12放置，则cos∠AOB的值为（ ）.
A. B.
C. D.
2. 如图13，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=_______.
参考答案
1. B 2.
（作者单位：江苏省建湖县汇文实验初中教育集团汇文校区）