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一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.
1.复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是.
2.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩（
瘙 綂 RB）= .
3.在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n= .
4.已知直线l1：ax-y+2a+1=0和l2：2x-（a-1）y+2=0（a∈R），则l1⊥l2的充要条件是a= .
5.若θ∈（π4，π2），且sin2θ=116，则cosθ-sinθ的值是 .
6.设a，b，c是单位向量，且a=b+c，则向量a，b的夹角等于 .
7.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M的值是 .
8.在区间[-5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为 .
9.由正数构成的等比数列{an}，若a1a3+a2a4+2a2a3=49，则a2+a3= .
10.双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是 .
11.已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是 .
12.若对任意x，y∈[1，2]，xy=2，总有不等式2—x≥a4-y成立，则实数a的取值范围是 .
13.在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanCtanA+tanCtanB=1，则a2+b2c2= .
14.设m，k为正整数，方程mx2-2kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=sin（2x+π6）-cos（2x+π3）+2cos2x.
（1）求f（π12）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及对称中心.
16.（本小题满分14分）
如图，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.
（1）求证：AN∥平面A1MK；
（2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK.
17.（本小题满分14分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m元，根据市场调研，得知m的波动区间是[1000，1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
18.（本小题满分16分）
已知抛物线y2=8x与椭圆x2a2+y2b2=1有公共焦点F，且椭圆过点D（-2，3）.
（1）求椭圆方程；
（2）点A、B是椭圆的上、下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；
（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标；若不经过，说明理由.
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）.
（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，试求a的取值范围.
20.（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=pan-2n，n∈N*，其中常数p>2.
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）若a2=3，求数列{an}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{an}，若数列{bn}满足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk与bk+1之间插入2k-1（k∈N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.
试题Ⅱ（附加题）
1.（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e=11，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M.
2.（本小题满分10分）
在极坐标系中，设O为极点，点P为直线ρcosθ=1与圆ρ=2sinθ的切点，求OP的长.
3.（本小题满分10分）
袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作.
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率. 所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x（-∞，0）0（0，+∞）
f′（x）-0+
f（x）递减极小值递增
又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1>t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2.10分
（3）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，
所以当x∈[-1，1]时，|（f（x））max-（f（x））min|=（f（x））max-（f（x））min≥e-1.11分
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（-1），f（1）}.12分
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（1a+1+lna）=a-1a-2lna，
记g（t）=t-1t-2lnt（t>0），因为g′（t）=1+1t2-2t=（1t-1）2≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t-1t-2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增.
而g（1）=0，故当t>1时，g（t）>0；当01时，f（1）>f（-1）；
当0 ①当a>1时，由f（1）-f（0）≥e-1a-lna≥e-1a≥e；
②当0 综上可知，所求a的取值范围为a∈（0，1e]∪[e，+∞）.16分
20.解：（1）∵2Sn=pan-2n，∴2Sn+1=pan+1-2（n+1），∴2an+1=pan+1-pan-2，
∴an+1=pp-2an+2p-2，∴an+1+1=pp-2（an+1），4分
∵2a1=pa1-2，∴a1=pp-2>0，∴a1+1>0
∴an+1+1an+1=pp-2≠0，∴数列{an+1}为等比数列.
（2）由（1）知a1+1=（pp-2）n，∴an=（pp-2）n-18分
又∵a2=3，∴（pp-2）2-1=3，∴p=4，∴an=2n-110分
（3）由（2）得bn=log22n，即bn=n，（n∈N*），
数列{Cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是：
（1+2+3+…+k）+（20+21+22+…+2k-2）×2=k（k+1）2+2k-212分
当k=10时，其和是55+210-2=1077<2011
当k=11时，其和是66+211-2=2012>2011
又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数
14分
所以当m=10+（1+2+22+…+28）+467=988时，Tm=2011，
所以存在m=988使得Tm=201116分
附加题
1.解：设M=abcd，则abcd11=311=33，故a+b=3，c+d=3.4分
abcd-12=915，故-a+2b=9，-c+2d=15.7分
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=-14-36.10分
2.解：将直线ρcosθ=1化为直角坐标方程得x=1，
将圆ρ=2sinθ化为直角坐标方程得x2+（y-1）2=1，
易得切点P的坐标为（1，1），
所以OP=2.
3.解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7.
随机变量X的概率分布为
X34567
P1616131616
3分
因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×16+5×13=5.5分
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=16+16+13=23.7分
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，23）
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C14×23×（13）3-C04×（13）4=89.10分
4.解：（1）P（3）=6，P（4）=18，P（5）=30；3分
（2）设不同的染色法有Pn种.
当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an-1均有2种染法.对于边an，用与边an-1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1，于是可得
Pn=3×2n-1-Pn-1，Pn-2n=-（Pn-1-2n-1）.
于是Pn-2n=（-1）n-3（P3-23）=（-1）n-2·2，Pn=2n+（-1）n·2，n≥3.
综上所述，不同的染色方法数为Pn=2n+（-1）n·2，n≥3.
1.复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是.
2.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩（
瘙 綂 RB）= .
3.在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n= .
4.已知直线l1：ax-y+2a+1=0和l2：2x-（a-1）y+2=0（a∈R），则l1⊥l2的充要条件是a= .
5.若θ∈（π4，π2），且sin2θ=116，则cosθ-sinθ的值是 .
6.设a，b，c是单位向量，且a=b+c，则向量a，b的夹角等于 .
7.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M的值是 .
8.在区间[-5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为 .
9.由正数构成的等比数列{an}，若a1a3+a2a4+2a2a3=49，则a2+a3= .
10.双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是 .
11.已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是 .
12.若对任意x，y∈[1，2]，xy=2，总有不等式2—x≥a4-y成立，则实数a的取值范围是 .
13.在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanCtanA+tanCtanB=1，则a2+b2c2= .
14.设m，k为正整数，方程mx2-2kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=sin（2x+π6）-cos（2x+π3）+2cos2x.
（1）求f（π12）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及对称中心.
16.（本小题满分14分）
如图，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.
（1）求证：AN∥平面A1MK；
（2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK.
17.（本小题满分14分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m元，根据市场调研，得知m的波动区间是[1000，1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
18.（本小题满分16分）
已知抛物线y2=8x与椭圆x2a2+y2b2=1有公共焦点F，且椭圆过点D（-2，3）.
（1）求椭圆方程；
（2）点A、B是椭圆的上、下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；
（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标；若不经过，说明理由.
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）.
（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，试求a的取值范围.
20.（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=pan-2n，n∈N*，其中常数p>2.
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）若a2=3，求数列{an}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{an}，若数列{bn}满足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk与bk+1之间插入2k-1（k∈N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.
试题Ⅱ（附加题）
1.（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e=11，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M.
2.（本小题满分10分）
在极坐标系中，设O为极点，点P为直线ρcosθ=1与圆ρ=2sinθ的切点，求OP的长.
3.（本小题满分10分）
袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作.
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率. 所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x（-∞，0）0（0，+∞）
f′（x）-0+
f（x）递减极小值递增
又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1>t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2.10分
（3）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，
所以当x∈[-1，1]时，|（f（x））max-（f（x））min|=（f（x））max-（f（x））min≥e-1.11分
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（-1），f（1）}.12分
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（1a+1+lna）=a-1a-2lna，
记g（t）=t-1t-2lnt（t>0），因为g′（t）=1+1t2-2t=（1t-1）2≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t-1t-2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增.
而g（1）=0，故当t>1时，g（t）>0；当0
当0
②当0
20.解：（1）∵2Sn=pan-2n，∴2Sn+1=pan+1-2（n+1），∴2an+1=pan+1-pan-2，
∴an+1=pp-2an+2p-2，∴an+1+1=pp-2（an+1），4分
∵2a1=pa1-2，∴a1=pp-2>0，∴a1+1>0
∴an+1+1an+1=pp-2≠0，∴数列{an+1}为等比数列.
（2）由（1）知a1+1=（pp-2）n，∴an=（pp-2）n-18分
又∵a2=3，∴（pp-2）2-1=3，∴p=4，∴an=2n-110分
（3）由（2）得bn=log22n，即bn=n，（n∈N*），
数列{Cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是：
（1+2+3+…+k）+（20+21+22+…+2k-2）×2=k（k+1）2+2k-212分
当k=10时，其和是55+210-2=1077<2011
当k=11时，其和是66+211-2=2012>2011
又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数
14分
所以当m=10+（1+2+22+…+28）+467=988时，Tm=2011，
所以存在m=988使得Tm=201116分
附加题
1.解：设M=abcd，则abcd11=311=33，故a+b=3，c+d=3.4分
abcd-12=915，故-a+2b=9，-c+2d=15.7分
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=-14-36.10分
2.解：将直线ρcosθ=1化为直角坐标方程得x=1，
将圆ρ=2sinθ化为直角坐标方程得x2+（y-1）2=1，
易得切点P的坐标为（1，1），
所以OP=2.
3.解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7.
随机变量X的概率分布为
X34567
P1616131616
3分
因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×16+5×13=5.5分
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=16+16+13=23.7分
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，23）
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C14×23×（13）3-C04×（13）4=89.10分
4.解：（1）P（3）=6，P（4）=18，P（5）=30；3分
（2）设不同的染色法有Pn种.
当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an-1均有2种染法.对于边an，用与边an-1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1，于是可得
Pn=3×2n-1-Pn-1，Pn-2n=-（Pn-1-2n-1）.
于是Pn-2n=（-1）n-3（P3-23）=（-1）n-2·2，Pn=2n+（-1）n·2，n≥3.
综上所述，不同的染色方法数为Pn=2n+（-1）n·2，n≥3.