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图形表征具有双重属性：一种属性是指思维形式，学生的思维形式经历了动作表征、图像表征、符号表征三个阶段；另一种属性是指解题策略，借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，从数学事实或现实情境中揭示最本质的数量关系。小学低段学生的思维正处于具体演算阶段，这一阶段学生的思维还离不开具体事物的支持。图形是他们在数学学习中不可或缺的一种数学语言。
教学目标
1.运用猜一猜、想一想、画一画、算一算等方法解决“鸡兔同笼”问题。经历观察、猜测、操作、验证、交流等过程，发展初步的思维能力。
2.渗透初步的“假设”的思想方法，培养学生初步的符号意识。
教学重点、难点
解决“鸡兔同笼”问题。
教学准备
课件、白纸等。
课前游戏
教师出示鸡与兔的图片。
师：小朋友们，你们在美术课上画过鸡和兔吗？谁能用最快的速度把鸡和兔画下来？
学生独立画鸡和兔，展示作品。
师：现在我们来画画数学画。数学画不用这么麻烦，怎么画就最简单？请大家想想办法，用什么图形表示它们的头，用什么图形表示它们的腿？
学生讨论，得出用圆形表示头，用竖线表示腿。
师：大家用这个办法一起画一只鸡和一只兔，好吗？
师：如果要你用数学画表示自行车和三轮车，你会怎么画？
教师小结：用简单的数学画可以解决很多数学问题呢！
教学过程
一、激趣，引出课题
1．揭题。今天这节课，老师将与你们一起学习“鸡兔同笼”问题。想一想，什么叫“鸡兔同笼”？教师出示图片。
2.猜一猜。
（1）鸡兔同笼，数它们的头共有2个，数它们的腿共有6条。想想有几只鸡，有几只兔。
提示：“数它们的头共有2个”是什么意思？“数它们的腿共有6条”是什么意思？要我们求什么？
（2）鸡兔同笼，数它们的头共有3个，数它们的腿共有8条。想想有几只鸡？有几只兔？
（3）鸡兔同笼，数它们的头共有3个，数它们的腿共有10条。想想有几只鸡？有几只兔？
设计意图：出示兔和鸡的实物图，唤起学生相关的生活经验，使学生的脑海里呈现这两种动物的具体形象，解决“正向”的鸡兔同笼问题，经历数鸡兔头的总数和腿的总数的过程。通过猜一猜，解决数据简单的鸡兔同笼问题，使学生初步了解鸡兔同笼问题的结构，获得初步的解题经验。
二、自主探索，建立模型
1．教师出示例题：鸡兔同笼，数它们的头共有5个，数它们的腿共有14条。想想有几只鸡，有几只兔。
学生猜一猜。
师：看来老猜也不是办法，我们能不能想一个更好的办法呢？（画画凑数法。）刚才大家已经会用简单的图形来表示鸡和兔，这节课我们就要用数学画来解决鸡兔同笼的问题。你们想画一画鸡和兔吗？
教师指导学生画图：我们用○代表头，画5个。用||表示鸡的腿，用||||表示兔的腿。用这样的方法画腿，腿一共有14条。可以边画边数，多画了擦掉，少画了补上。
师：你们是怎么画的？(结合课件演示。)
可能的情况有以下几种。
先画3只鸡，再画两只兔。
按一只鸡一只兔的顺序。
按一只兔一只鸡的顺序（多了，擦掉两只脚）。
教师小结：刚才大家都画对了。我们可以像刚才一样边画边数，可以先画鸡，也可以先画兔，或者先画2只鸡，再画2只兔。一定要边画边数。
师：我们也可以先画14条腿，用头去“套”。（课件演示。）我们可以全部看成是鸡，少了补上。也可以全部看成是兔，多了擦去。（板书。）
2．验证小结。
师：小朋友们想出了这么多方法，得到的结果都是3只鸡2只兔，与笼中的结果是不是一样呢？（多媒体出示笼中的鸡和兔。）小朋友们的本领真大，一下子想出了这么多的方法，而且结果完全正确。以后碰到这类问题时，我们可以用想想、画画、凑凑的方法帮助思考。再想想，怎样画更快呢？（再次演示最后两种方法。）
3．试一试：鸡兔同笼，数它们的头共有7个，数它们的腿共有20条。想想有几只鸡，有几只兔。你们能用“全部看成是鸡或全部看成是兔”的办法来想一想、画一画、凑一凑吗？
学生独立完成，反馈交流。
4．教师小结：鸡兔同笼问题其实是我们六年级要学习的内容，现在你们用自己创造出来的数学画解决了这样的问题，你们真了不起！
设计意图：突出图形表征：引导学生用“○”表示头，用“|”表示腿，用 和 分别表示鸡和兔，抽取与数学有关的“头”和“腿”的数量特征，得到的“数学画”既是形象的图画，又是抽象的符号。这一过程是学生将头脑中的表象概括化的过程，获得的是用画图策略解题的活动经验。对于这节课而言，掌握“凑数法”是基本要求，掌握“假设法”是提高要求，而不是一般要求。
三、应用练习，拓展延伸
师：其实鸡兔同笼问题不只是把鸡和兔放在一起，我们生活中每天都可以看到类似这样的问题。
1.自行车和三轮车放在同一个车棚里，数数一共有8辆，数数轮子一共有19个。问：自行车有几辆？三轮车有几辆？
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共7只，共有48条腿。问：蛐蛐有几只？蜘蛛有几只？
四、课堂小结
师：奇妙的数学画能帮助我们解决很多数学问题！
设计意图：将模型运用到各种生活现象和问题情境中，促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。从图形结合到图数结合，数学思维方法得到进一步提升。
教学反思
1.“鸡兔同笼”这一题材放到二年级来学习，是不是为难学生？答案是否定的。对于鸡兔同笼问题，教师在不同的学段可以教出不同的知识点。
2.用“○”表示头，用“|”表示腿，用 和 分别表示鸡和兔，这时鸡和兔的外在属性被忽略了，而只抽取了与数学有关的“头”和“腿”的数量特征，得到的“数学画”既是形象的图画，又是抽象的符号。这一过程是学生将头脑中的表象概括化的过程，获得的是用画图策略解题的活动经验。
3.可以肯定的是，年幼的儿童可以接受与其发展水平相适应的方式，能够学会许多学科的许多基本观念。图形表征就是一种与低年级学生发展水平相适应的方式。通过图形表征，哪怕是像“鸡兔同笼”这样的奥数题材，低年级的学生也可以学得兴趣盎然。
（作者单位：浙江富阳市富春第二小学 浙江富阳市富春第五小学）
教学目标
1.运用猜一猜、想一想、画一画、算一算等方法解决“鸡兔同笼”问题。经历观察、猜测、操作、验证、交流等过程，发展初步的思维能力。
2.渗透初步的“假设”的思想方法，培养学生初步的符号意识。
教学重点、难点
解决“鸡兔同笼”问题。
教学准备
课件、白纸等。
课前游戏
教师出示鸡与兔的图片。
师：小朋友们，你们在美术课上画过鸡和兔吗？谁能用最快的速度把鸡和兔画下来？
学生独立画鸡和兔，展示作品。
师：现在我们来画画数学画。数学画不用这么麻烦，怎么画就最简单？请大家想想办法，用什么图形表示它们的头，用什么图形表示它们的腿？
学生讨论，得出用圆形表示头，用竖线表示腿。
师：大家用这个办法一起画一只鸡和一只兔，好吗？
师：如果要你用数学画表示自行车和三轮车，你会怎么画？
教师小结：用简单的数学画可以解决很多数学问题呢！
教学过程
一、激趣，引出课题
1．揭题。今天这节课，老师将与你们一起学习“鸡兔同笼”问题。想一想，什么叫“鸡兔同笼”？教师出示图片。
2.猜一猜。
（1）鸡兔同笼，数它们的头共有2个，数它们的腿共有6条。想想有几只鸡，有几只兔。
提示：“数它们的头共有2个”是什么意思？“数它们的腿共有6条”是什么意思？要我们求什么？
（2）鸡兔同笼，数它们的头共有3个，数它们的腿共有8条。想想有几只鸡？有几只兔？
（3）鸡兔同笼，数它们的头共有3个，数它们的腿共有10条。想想有几只鸡？有几只兔？
设计意图：出示兔和鸡的实物图，唤起学生相关的生活经验，使学生的脑海里呈现这两种动物的具体形象，解决“正向”的鸡兔同笼问题，经历数鸡兔头的总数和腿的总数的过程。通过猜一猜，解决数据简单的鸡兔同笼问题，使学生初步了解鸡兔同笼问题的结构，获得初步的解题经验。
二、自主探索，建立模型
1．教师出示例题：鸡兔同笼，数它们的头共有5个，数它们的腿共有14条。想想有几只鸡，有几只兔。
学生猜一猜。
师：看来老猜也不是办法，我们能不能想一个更好的办法呢？（画画凑数法。）刚才大家已经会用简单的图形来表示鸡和兔，这节课我们就要用数学画来解决鸡兔同笼的问题。你们想画一画鸡和兔吗？
教师指导学生画图：我们用○代表头，画5个。用||表示鸡的腿，用||||表示兔的腿。用这样的方法画腿，腿一共有14条。可以边画边数，多画了擦掉，少画了补上。
师：你们是怎么画的？(结合课件演示。)
可能的情况有以下几种。
先画3只鸡，再画两只兔。
按一只鸡一只兔的顺序。
按一只兔一只鸡的顺序（多了，擦掉两只脚）。
教师小结：刚才大家都画对了。我们可以像刚才一样边画边数，可以先画鸡，也可以先画兔，或者先画2只鸡，再画2只兔。一定要边画边数。
师：我们也可以先画14条腿，用头去“套”。（课件演示。）我们可以全部看成是鸡，少了补上。也可以全部看成是兔，多了擦去。（板书。）
2．验证小结。
师：小朋友们想出了这么多方法，得到的结果都是3只鸡2只兔，与笼中的结果是不是一样呢？（多媒体出示笼中的鸡和兔。）小朋友们的本领真大，一下子想出了这么多的方法，而且结果完全正确。以后碰到这类问题时，我们可以用想想、画画、凑凑的方法帮助思考。再想想，怎样画更快呢？（再次演示最后两种方法。）
3．试一试：鸡兔同笼，数它们的头共有7个，数它们的腿共有20条。想想有几只鸡，有几只兔。你们能用“全部看成是鸡或全部看成是兔”的办法来想一想、画一画、凑一凑吗？
学生独立完成，反馈交流。
4．教师小结：鸡兔同笼问题其实是我们六年级要学习的内容，现在你们用自己创造出来的数学画解决了这样的问题，你们真了不起！
设计意图：突出图形表征：引导学生用“○”表示头，用“|”表示腿，用 和 分别表示鸡和兔，抽取与数学有关的“头”和“腿”的数量特征，得到的“数学画”既是形象的图画，又是抽象的符号。这一过程是学生将头脑中的表象概括化的过程，获得的是用画图策略解题的活动经验。对于这节课而言，掌握“凑数法”是基本要求，掌握“假设法”是提高要求，而不是一般要求。
三、应用练习，拓展延伸
师：其实鸡兔同笼问题不只是把鸡和兔放在一起，我们生活中每天都可以看到类似这样的问题。
1.自行车和三轮车放在同一个车棚里，数数一共有8辆，数数轮子一共有19个。问：自行车有几辆？三轮车有几辆？
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共7只，共有48条腿。问：蛐蛐有几只？蜘蛛有几只？
四、课堂小结
师：奇妙的数学画能帮助我们解决很多数学问题！
设计意图：将模型运用到各种生活现象和问题情境中，促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。从图形结合到图数结合，数学思维方法得到进一步提升。
教学反思
1.“鸡兔同笼”这一题材放到二年级来学习，是不是为难学生？答案是否定的。对于鸡兔同笼问题，教师在不同的学段可以教出不同的知识点。
2.用“○”表示头，用“|”表示腿，用 和 分别表示鸡和兔，这时鸡和兔的外在属性被忽略了，而只抽取了与数学有关的“头”和“腿”的数量特征，得到的“数学画”既是形象的图画，又是抽象的符号。这一过程是学生将头脑中的表象概括化的过程，获得的是用画图策略解题的活动经验。
3.可以肯定的是，年幼的儿童可以接受与其发展水平相适应的方式，能够学会许多学科的许多基本观念。图形表征就是一种与低年级学生发展水平相适应的方式。通过图形表征，哪怕是像“鸡兔同笼”这样的奥数题材，低年级的学生也可以学得兴趣盎然。
（作者单位：浙江富阳市富春第二小学 浙江富阳市富春第五小学）