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【摘要】在全面深化课程改革的今天，课堂教学依然存在着许多表层学习、表面学习和表演学习的现象，突破浅层符号教学的局限，导向学科素养的深度教学是时代对于数学教育更高的要求，是未来课堂教学改革的方向所在.一个注重过程导向，问题驱动策略的教学设计是教师开展学科深度教学的起点.教师通过设置一些有梯度、有张力的问题，在对话过程中，引导学生体验和探究知识背后更深层次的思想和方法.在教师提供的高质量问题教学中，学生能够获得高投入的沉浸式学习，从而走向学科素养和个人能力的培养与发展.
【关键词】深度教学;教学设计;问题串
新课程改革强调学科教学要培养学生的核心素养，“深度学习”是实现学生多维发展，全面落实立德树人的根本目的的必经途径.“教”与“学”是教学中两个具有相融性的一体化的关系，离开了教无所谓学，离开了学也无所谓教，要想培养学生的高阶思维，教师就要提供与之相匹配的“深度教学”.深度教学是让学生深度参与教学过程且深刻把握学习内容的教学，其中，“深度参与教学过程”的目的是实现学生与学习内容的充分互动;“深刻把握学习内容”是指要实现学习内容与学生经验体系的充分融合，即强调学生的课堂体验性，强调过程导向，强调新旧知识的联系.一组由表及里、由浅入深的问题串不仅可以为学生生动、活泼、主动地发展提供着力点，而且能够让学生在探究过程中层层递进其思维;一组多维度、多视角的问题链不仅可以给一堂课带来生机与活力，而且能够帮助学生在构建新旧知识关联的过程中不断拓展其知识结构，进而达到深度教学.
一、概念课：通过问题驱动，深度感悟概念形成的过程
数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，是组成数学命题的基本单元，还是学生形成数学知识结构、建立概念体系的起点，也是发展学生数学思维、数学能力的重要载体，对学生将来的数学学习影响深远.我们通过浏览网上数学概念课的教学设计发现普遍存在一个问题：学生对于概念的形成过程缺乏充分的浸入式体验，其数学概念的构建是由教师代替式“快抽象”“快体验”，在这样一种压缩式教学模式下，学生的学习活动不连贯，对于知识的认知缺乏完整性.如何实现数学概念课的深度教学值得我们思考.
片段教学设计1：
下面以人教版数学八年级上册“多边形及其内角和”为例说明如何运用问题串引导学生参与到多边形内角和的形成过程中，实现对多边形内角和计算公式的深层理解.
问题1：图1是中国传统建筑中天花板上的一种装饰处理藻井，可以从它的外观上发现各种形状的图形.我们家里的地面和墙面也是由各种形状的地砖和瓷砖铺成的（图2）.今天我们在三角形的基础上继续学习图形，我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？
图1 藻井
图2 地面和墙面
【设计意图】用中国古代建筑和学生日常生活中的地板瓷砖进行引入，不仅能够激发学生兴趣、拓展学生常识，而且能够说明多边形的常见性且作用广泛，引导学生多多观察日常生活中的数学.教师在回顾三角形概念的基础上，引导学生先归纳出四边形、五边形的概念，进而得出n边形的概念，再得到凸多边形、正多边形、多边形对角线的概念.
问题2：我们知道三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和等于360°，那么是否任意一个四边形的内角和都等于360°呢？请同学们任意画一个四边形并证明你的结论.
【设计意图】教师可以边问边在几何画板中进行演示：改变三角形大小和形状，其内角和都为180°;改变正方形边长和长方形的长与宽，它们的内角和都是360°.然后提出是否任意一个四边形的内角和都等于360°呢？这样设问自然合理，有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.让学生自己画四边形可以巩固多边形概念，增加学生的活动经验，且每一个学生画出的四边形都不一样也更清楚地让学生理解“任意四边形内角和为360°”.学生证明过程中遇到困难，可给予适当提示“将四边形转化成三角形”，渗透转化思想.
问题3：类比求四边形内角和的方法，能够求得五边形、六边形内角和吗？
问题4：完成表1，你能归纳出多边形内角和公式吗？
整节课通过4个问题层层递进，带领学生体会多边形内角和公式的形成过程.学生在教师的问题驱动下，探究多边形内角和公式，高度沉浸在学习中.教师也把自己从“满堂灌”中解放出来，这难道不是深度教学带来的“双赢”吗？
二、习题课：通过问题引导，深度感知思维生长的过程
习题课对于巩固学生课堂所学知识、帮助学生查漏补缺、发展学生思维是非常重要的.现阶段的数学习题课大搞题海战术，教师不停灌输解题技巧，忽视解法探究的现象比比皆是，习题讲评仅仅局限于记忆、模仿和练习这样的单一模式.长此以往，学生的思维逐步“固化”和“弱化”，再多的讲评，再多的练习也无法真正意义上提升学生的数学思维和解决问题的能力.因此我们必须改变这种习题训练模式，使习题课发挥其原本的功能.我们这里着重探讨如何利用习题课培养学生的思维能力.
片段教学设计2：
下面以“求-8125的立方根”这一道题为例说明如何通过问题串引導学生思维生长.
师：观察已知条件知道-8125是一个负数，什么数的立方是一个负数呢？
生：负数的立方是负数.
师：-8125是一个分数，那能够说明什么呢？
生：-8125的立方根也是一个分数.
师：分子、分母分开来看，8的立方根和125的立方根易得，那-8125的立方根是多少呢？
生：-25.
板书设计：
（？）3=-8125（-？）3=-8125-？？3=-8125-253=-8125
【设计意图】以下是某教师对这一道不起眼的开立方根题教学的实录： ∵-253=-8125，∴-8125的立方根是-25.
该片段教学就是笔者在对以上教师的教学过程反思的基础上设计的，忽视学生为教学的对象，更关注教师个人思维活动是现在很多一线教师的通病.当教师还在沾沾自喜“一步到位”时，学生却抓耳挠腮不知为何，这样的场景在很多课堂上反复上演.学生的思维活动具有隐匿性，因此需要教师在教学中创设思维情境，带领学生经历“如何想”和“为什么”的过程.学生高阶思维能力的提升不是在一瞬间完成的，它需要教师精心设计好每一个问题，把思维过程可视化，通过深度教学带领学生找到逻辑的来龙去脉.在教师一步一步地引导下，学生思维能力在每一次小小的提升中堆积，才能在最后看到突飞猛进的进步.
三、复习课：通过问题引领，深度感受拓展知识体系的过程
“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同层次进行理解.”这是新课标对于数学教学提出的建议，而复习课给学生构建知识体系提供了一个很好的机会.因此复习课也就不仅仅是简单的对于知识的回顾，而是深度引导学生将看似分散的、静态的、孤立的学习内容，通过梳理、串联、整合以某种方式内在地“组织”起来，形成有一定关联的知识结构.学生通过建构知识的新旧关联，不仅能“见其木”，还能“见其林”，学生只有对数学知识的发展脉络、内在联系了然于胸，才能处于深刻理解、精准把握、灵活运用的高阶水平.
片段教学设计3：一次函数复习课
问题1：如何把一次函数y=x变成关于x的一元一次方程和一元一次不等式？
预设：y=k时有一元一次方程：x=k;y≤k时有一元一次不等式：x≤k（k为常数）
【设计意图】人教版八年级下册学习的一次函数，与七年级下册的二元一次方程组、一元一次不等式（组）这三个“一次”之间有着密切的联系.在学习完一次函数之后教师应该引导学生把这三者联系起来，从函数变化的观点反观方程（组）和不等式（组），获得高观点下的结构认识，使学生对方程（组）和不等式（组）的理解更加深刻，特别是能感受到数学不同分支的知识之间的关联与和谐一致.
问题2：取k=1时，思考一元一次方程x=k和一元一次不等式x≤k在数轴和坐标轴上表示什么？
【设计意图】问题3从二元一次方程与一次函数的关系出发，解方程组实际就是找出对应函数的图像的交点坐标.问题4在问题3的基础上，引发学生思考不等式组解的几何意义.学生只学过一元一次不等式（组）解集可以在数轴上的进行表示，并不知道二元一次不等式组的解及其几何意义表示平面区域，教师可以引导学生做适当拓展，但不可超出学生的最近发展区，因此，此处对x≤1，
y≤2x-1，y3≥0的解不做探讨.学生知道交点坐标是联系一次函数和二元一次方程（组）的纽带，类比也不难理解不等式组的解集是图像上两阴影面积的交叉部分.教师可以借助一些现代教育技术手段帮助学生感悟如何通过图像把不等式之间的大小问题变成位置关系.这样，通过对单个知识点进行迁移和延伸锻炼了学生把所学知识融于一体的能力，帮助学生的数学思维逐步实现由常量数学到变量数学的飞跃.
本片段教学设计是基于2005年陕西省一道中考题改编而来的，这道题的综合性极强，不仅需要学生能够熟练掌握方程、不等式與函数三者之间的关系，而且考查学生类比归纳的能力.那么教师在日常教学过程中就要注意有意识地完善学生知识结构，培养学生数学能力，教学生学会学习.
深度教学不再仅仅把知识作为教学的对象，学生的发展才是核心追求;强调体验性教学，丰富学生的过程体验，让学生在探究过程中发展学科素养;以问题为支点，学生的思考为力距，撬开学生数学高阶思维的大门.因此要实现深度教学，教师必须牢牢抓住“过程”和“问题驱动”两个关键词，让学生在教师精心创设的问题链情境中，经历知识“再创造”的过程，不断完善知识结构和发展学科能力.
【参考文献】
[1]罗祖兵.深度教学：“核心素养”时代教学变革的方向[J].课程·教材·教法，2017（04）：20-26.
[2]李莉.学生学习数学概念的层次分析[J].数学教育学报，2002（03）：12-15.
[3]高羽.新课程理念下数学习题讲评课的实践探索与思考[J].中学数学，2020（17）：77-78.
[4]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[5]周启东.一条融一次函数、方程（组）、不等式（组）于一体的好题[J].中学数学杂志，2006（03）：49-50.
【关键词】深度教学;教学设计;问题串
新课程改革强调学科教学要培养学生的核心素养，“深度学习”是实现学生多维发展，全面落实立德树人的根本目的的必经途径.“教”与“学”是教学中两个具有相融性的一体化的关系，离开了教无所谓学，离开了学也无所谓教，要想培养学生的高阶思维，教师就要提供与之相匹配的“深度教学”.深度教学是让学生深度参与教学过程且深刻把握学习内容的教学，其中，“深度参与教学过程”的目的是实现学生与学习内容的充分互动;“深刻把握学习内容”是指要实现学习内容与学生经验体系的充分融合，即强调学生的课堂体验性，强调过程导向，强调新旧知识的联系.一组由表及里、由浅入深的问题串不仅可以为学生生动、活泼、主动地发展提供着力点，而且能够让学生在探究过程中层层递进其思维;一组多维度、多视角的问题链不仅可以给一堂课带来生机与活力，而且能够帮助学生在构建新旧知识关联的过程中不断拓展其知识结构，进而达到深度教学.
一、概念课：通过问题驱动，深度感悟概念形成的过程
数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，是组成数学命题的基本单元，还是学生形成数学知识结构、建立概念体系的起点，也是发展学生数学思维、数学能力的重要载体，对学生将来的数学学习影响深远.我们通过浏览网上数学概念课的教学设计发现普遍存在一个问题：学生对于概念的形成过程缺乏充分的浸入式体验，其数学概念的构建是由教师代替式“快抽象”“快体验”，在这样一种压缩式教学模式下，学生的学习活动不连贯，对于知识的认知缺乏完整性.如何实现数学概念课的深度教学值得我们思考.
片段教学设计1：
下面以人教版数学八年级上册“多边形及其内角和”为例说明如何运用问题串引导学生参与到多边形内角和的形成过程中，实现对多边形内角和计算公式的深层理解.
问题1：图1是中国传统建筑中天花板上的一种装饰处理藻井，可以从它的外观上发现各种形状的图形.我们家里的地面和墙面也是由各种形状的地砖和瓷砖铺成的（图2）.今天我们在三角形的基础上继续学习图形，我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？
图1 藻井
图2 地面和墙面
【设计意图】用中国古代建筑和学生日常生活中的地板瓷砖进行引入，不仅能够激发学生兴趣、拓展学生常识，而且能够说明多边形的常见性且作用广泛，引导学生多多观察日常生活中的数学.教师在回顾三角形概念的基础上，引导学生先归纳出四边形、五边形的概念，进而得出n边形的概念，再得到凸多边形、正多边形、多边形对角线的概念.
问题2：我们知道三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和等于360°，那么是否任意一个四边形的内角和都等于360°呢？请同学们任意画一个四边形并证明你的结论.
【设计意图】教师可以边问边在几何画板中进行演示：改变三角形大小和形状，其内角和都为180°;改变正方形边长和长方形的长与宽，它们的内角和都是360°.然后提出是否任意一个四边形的内角和都等于360°呢？这样设问自然合理，有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.让学生自己画四边形可以巩固多边形概念，增加学生的活动经验，且每一个学生画出的四边形都不一样也更清楚地让学生理解“任意四边形内角和为360°”.学生证明过程中遇到困难，可给予适当提示“将四边形转化成三角形”，渗透转化思想.
问题3：类比求四边形内角和的方法，能够求得五边形、六边形内角和吗？
问题4：完成表1，你能归纳出多边形内角和公式吗？
整节课通过4个问题层层递进，带领学生体会多边形内角和公式的形成过程.学生在教师的问题驱动下，探究多边形内角和公式，高度沉浸在学习中.教师也把自己从“满堂灌”中解放出来，这难道不是深度教学带来的“双赢”吗？
二、习题课：通过问题引导，深度感知思维生长的过程
习题课对于巩固学生课堂所学知识、帮助学生查漏补缺、发展学生思维是非常重要的.现阶段的数学习题课大搞题海战术，教师不停灌输解题技巧，忽视解法探究的现象比比皆是，习题讲评仅仅局限于记忆、模仿和练习这样的单一模式.长此以往，学生的思维逐步“固化”和“弱化”，再多的讲评，再多的练习也无法真正意义上提升学生的数学思维和解决问题的能力.因此我们必须改变这种习题训练模式，使习题课发挥其原本的功能.我们这里着重探讨如何利用习题课培养学生的思维能力.
片段教学设计2：
下面以“求-8125的立方根”这一道题为例说明如何通过问题串引導学生思维生长.
师：观察已知条件知道-8125是一个负数，什么数的立方是一个负数呢？
生：负数的立方是负数.
师：-8125是一个分数，那能够说明什么呢？
生：-8125的立方根也是一个分数.
师：分子、分母分开来看，8的立方根和125的立方根易得，那-8125的立方根是多少呢？
生：-25.
板书设计：
（？）3=-8125（-？）3=-8125-？？3=-8125-253=-8125
【设计意图】以下是某教师对这一道不起眼的开立方根题教学的实录： ∵-253=-8125，∴-8125的立方根是-25.
该片段教学就是笔者在对以上教师的教学过程反思的基础上设计的，忽视学生为教学的对象，更关注教师个人思维活动是现在很多一线教师的通病.当教师还在沾沾自喜“一步到位”时，学生却抓耳挠腮不知为何，这样的场景在很多课堂上反复上演.学生的思维活动具有隐匿性，因此需要教师在教学中创设思维情境，带领学生经历“如何想”和“为什么”的过程.学生高阶思维能力的提升不是在一瞬间完成的，它需要教师精心设计好每一个问题，把思维过程可视化，通过深度教学带领学生找到逻辑的来龙去脉.在教师一步一步地引导下，学生思维能力在每一次小小的提升中堆积，才能在最后看到突飞猛进的进步.
三、复习课：通过问题引领，深度感受拓展知识体系的过程
“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同层次进行理解.”这是新课标对于数学教学提出的建议，而复习课给学生构建知识体系提供了一个很好的机会.因此复习课也就不仅仅是简单的对于知识的回顾，而是深度引导学生将看似分散的、静态的、孤立的学习内容，通过梳理、串联、整合以某种方式内在地“组织”起来，形成有一定关联的知识结构.学生通过建构知识的新旧关联，不仅能“见其木”，还能“见其林”，学生只有对数学知识的发展脉络、内在联系了然于胸，才能处于深刻理解、精准把握、灵活运用的高阶水平.
片段教学设计3：一次函数复习课
问题1：如何把一次函数y=x变成关于x的一元一次方程和一元一次不等式？
预设：y=k时有一元一次方程：x=k;y≤k时有一元一次不等式：x≤k（k为常数）
【设计意图】人教版八年级下册学习的一次函数，与七年级下册的二元一次方程组、一元一次不等式（组）这三个“一次”之间有着密切的联系.在学习完一次函数之后教师应该引导学生把这三者联系起来，从函数变化的观点反观方程（组）和不等式（组），获得高观点下的结构认识，使学生对方程（组）和不等式（组）的理解更加深刻，特别是能感受到数学不同分支的知识之间的关联与和谐一致.
问题2：取k=1时，思考一元一次方程x=k和一元一次不等式x≤k在数轴和坐标轴上表示什么？
【设计意图】问题3从二元一次方程与一次函数的关系出发，解方程组实际就是找出对应函数的图像的交点坐标.问题4在问题3的基础上，引发学生思考不等式组解的几何意义.学生只学过一元一次不等式（组）解集可以在数轴上的进行表示，并不知道二元一次不等式组的解及其几何意义表示平面区域，教师可以引导学生做适当拓展，但不可超出学生的最近发展区，因此，此处对x≤1，
y≤2x-1，y3≥0的解不做探讨.学生知道交点坐标是联系一次函数和二元一次方程（组）的纽带，类比也不难理解不等式组的解集是图像上两阴影面积的交叉部分.教师可以借助一些现代教育技术手段帮助学生感悟如何通过图像把不等式之间的大小问题变成位置关系.这样，通过对单个知识点进行迁移和延伸锻炼了学生把所学知识融于一体的能力，帮助学生的数学思维逐步实现由常量数学到变量数学的飞跃.
本片段教学设计是基于2005年陕西省一道中考题改编而来的，这道题的综合性极强，不仅需要学生能够熟练掌握方程、不等式與函数三者之间的关系，而且考查学生类比归纳的能力.那么教师在日常教学过程中就要注意有意识地完善学生知识结构，培养学生数学能力，教学生学会学习.
深度教学不再仅仅把知识作为教学的对象，学生的发展才是核心追求;强调体验性教学，丰富学生的过程体验，让学生在探究过程中发展学科素养;以问题为支点，学生的思考为力距，撬开学生数学高阶思维的大门.因此要实现深度教学，教师必须牢牢抓住“过程”和“问题驱动”两个关键词，让学生在教师精心创设的问题链情境中，经历知识“再创造”的过程，不断完善知识结构和发展学科能力.
【参考文献】
[1]罗祖兵.深度教学：“核心素养”时代教学变革的方向[J].课程·教材·教法，2017（04）：20-26.
[2]李莉.学生学习数学概念的层次分析[J].数学教育学报，2002（03）：12-15.
[3]高羽.新课程理念下数学习题讲评课的实践探索与思考[J].中学数学，2020（17）：77-78.
[4]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[5]周启东.一条融一次函数、方程（组）、不等式（组）于一体的好题[J].中学数学杂志，2006（03）：49-50.