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【关键词】课堂等待 数学思维 知识衔接
笔者很荣幸参加了江苏省2020年乡村义务教育教师培训千人计划（小学数学）高级研修班，在张齐华老师的组织下，我们全体学员一共聆听了10场专家报告，观摩了9节展示课。在此次活动中，我印象最深的两个词就是“课堂等待…‘数学思维”。本文将结合这几天的观摩课，阐述如何在课堂教学中实时等待，让学生的思维得到发展。
一、新旧衔接处等待，让思维活跃起来
数学是一门逻辑性很强的学科，每一节新课的内容都有它的“前世”和“未来”，只有激活了学生头脑中已有知识的储存，在新知识的学习中，学生才能如鱼得水。因此在新旧知识的衔接处要留给学生一个空白，让学生有思考的时间和空间，这样强大的认知需求就能激活学生的探究意识，而这种探究意识就将变成课堂上的“催化剂”，促使学生主动思考，让学生的思维活跃起来。
在本次培训活动中，南京市长江路小学的丁爱平老师在执教“平行四边形的面积”一课时，她先出示一个长方形的框架，然后轻轻拉动，变成一个平行四边形的框架，继续拉动，学生齐声说“变矮了”“更矮了”。这时，她停止拉动，问道：“长方形变成了平行四边形，你们猜面积变没变？”一开始听到这里，笔者表示怀疑，想到这个问题是书上的一道练习题，很多學生在做题时都理解不了，甚至到了期末复习的时候，学生还是不理解，如果现在把这个问题抛给学生，是否有点心急。后来，转念一想，原来丁老师巧妙地将新知和旧识串联在了一起，在学习平行四边形的面积公式前，学生已经掌握了长方形的面积相关知识，知道了长方形的面积公式是“长方形的面积=长×宽”，利用将长方形拉成平行四边形这一过程，抛出问题“平行四边形的面积变了吗？”引人深思，让学生有了很强的探索欲望，自然衍生出以下疑惑：
（1）长方形变成平行四边形后，面积有没有变化？
（2）长方形的面积公式我们知道，那么平行四边形是否也有面积公式呢？
（3）能够通过怎样的方法来得出平行四边形的面积公式呢？
二、合作探究处等待。让思维传递起来
狼是一种群体动物，一头狼不敢攻击比它威猛的狮子，但是一群狼就能发起这样的攻击，并且获得胜利，其实人类亦是如此。人类由原始社会发展到现在，每一项进步无一不体现了合作的重要。数学课堂亦是如此，合作学习是当今的主流学习形式之一，几乎在每一节数学课堂上都能看到合作探究的影子。因此，教师在教学过程中，要尽可能地留给学生足够的时间和空间，让学生合作探究，让学生的思维传递起来。
例如，在观摩南京市长江路小学的徐妍老师执教的一节“面积和面积单位”的公开课时，为了让学生建立平方米这个面积单位的概念，徐老师首先跟着学生一起认识了平方分米这个面积单位，接着徐老师就放手让学生带着平方分米这个面积单位去测量课桌面、讲台面、窗户面的面积。学生兴趣高涨，没过两分钟就测量好了。这时，徐老师又提出一个要求：“看样子大家都比较厉害，那么接下来你能用这个面积单位来测量一下我们教室的面积吗？”学生异口同声：“能！”于是大家热火朝天地开始测量，徐老师只是在一旁静静地看着大家，等待大家的结果。几分钟后，一个学生站起来问：“老师，能不能给我一个大一点的东西？”于是，徐老师问：“能说说你们想要什么吗？”这时，另一个声音出现了，“老师，我们以前还学过长度单位——米，今天又认识了平方分米，会不会有平方米这样的单位？”徐老师不紧不慢地说：“我还真有一个叫平方米的面积单位。你们看，像这样边长是1米的正方形的面积就是1平方米。”学生如获至宝，带着这个新的面积单位重新去测量教室的面积，没过几分钟就测量出了教室的面积。
三、交流汇报处等待。让思维飞舞起来
在课堂教学中，师生交流、生生交流都是常态，无论是哪一种交流，都是一种思维上的碰撞，因为学生在听了其他学生的发言之后，也会跟着积极思考，会把别人的回答与自己所思考的相比较。如果教师在学生发言之后马上评价，那么其他学生就没有了思考的空间与时间。因此，教师在课堂教学中要学会等待，要把自己当作学生的忠实听众，真正做到把课堂的主动权交给学生，体现学生的主体地位，让学生之间相互补充与学习，使其可以在独立思考后总结知识，积累经验，并且提升自己的学习能力。
在观摩南京市北京东路小学的李静老师执教的六年级“稍复杂的分数实际问题”一课时，李老师出示题目：林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了今年有多少个班？（你能用不同的方法来解决吗？试着画出线段图，分析数量关系并解答。）学生经过小组讨论学习后，在全班交流汇报时，有个学生列式为：24×李老师追问道：算的是什么？”这时学生说话的声音变低了，支支吾吾一直说不清楚，此时可“急坏了”班上大部分同学。多数教师此时肯定会说，××还没有想好，谁来帮帮他？但是今天在李老师的课堂上，我看到了另一种处理方案，那就是：
师：××，不要急，慢慢想，我相信你肯定能清楚地表达出自己的想法。
（生挠挠头，涨红了脸）
师：你可以先想一想÷表示的意义是什么？
生：÷表示的是把去年的班级数看作单位“1”，平均分成6份，今年的班级数比去年的班级数多了其中的1份。
生：也就是……增加了去年的÷……
生（顿时恍然大悟）：老师，我知道了，这一步算的是今年的班级数是去年的几分之几。
此时在场的学生和听课老师都自发地鼓起了掌，笔者相信正是有了李老师的课堂等待，这个学生的思维才得以飞舞起来，才会赢得这满场掌声。可以试想一下，如果李老师没有给学生留下足够的时间去思考，只是单方面地照顾教学进度，那么课堂很有可能变成老师和优秀学生“秀恩爱”的场所。
四、一题多解处等待，让思维灵动起来
俗话说“懒教师教出勤快学生，勤快教师教出懒学生”。在数学课堂上，教师应该尝试做一个“懒”教师，给学生暂时性的知识等待，这会使学生迫不及待地到广阔的知识海洋中去寻找、去发现。这种等待的设计并不是对部分知识的舍弃，而是通过等待去调动学生思维的主动性与积极性，从而达到对知识的真正掌握。越是到高年级，学生的综合能力就越强，对某一实际问题可能就会有多种不同的解决方法，此时，就更应该多一些等待，多一些“懒惰”，让学生的思维灵动起来。 南京市成贤街小学的赵天华老师在执教六年级的“折扣问题”一课中，教学“一件商品，用优惠卡可以打八折，可以便宜8.8元，求商品原价是多少元？”这一问题时，赵老师问：“你能用不同的方法解决这个问题吗？”学生思考后纷纷在练习本上写下了以下几种方法：
在全班交流时，赵老师故意只投影了前3种解法，这时就有部分学生举起了手。但赵老师假装没看见，想给全班学生一个思考的机会：“同学们，这题除了三种我们常用的解题方法外，还有两种解题方法也非常巧妙，你们看，已经有人急着想表达自己的想法了。你們是想先自己想呢，还是请他们说呢？”学生们异口同声地说：“自己想。”时间不长，又有好几名学生举手了。赵老师看等待的时间差不多了，就指名某学生来说说算式，并带着大家一起思考：“你能看懂这两个算式吗？”短暂的思考与交流后，学生都为之兴奋起来。
每一个学生都是一个独立的个体，每一个学生又都是不均衡的，所以，教师要适当地等待，给学生一个各抒己见的空间，让每个学生对知识都有一个自身吸收、消化、提升的过程，这样学生的思维才会变得灵动起来。
五、回顾总结处等待。让思维清晰起来
回顾总结不仅可以帮助学生理解本节知识的生长过程，还能起到沟通、联结的作用，帮助学生把新旧知识联系起来，形成知识结构，促进他们将知识内化，从而有利于他们突出重点，突破难点。
在观摩南京市逸仙小学的吴卓老师执教的四年级“交换律”一课时，吴老师十分注重回顾总结，比如在新授知识结束时，注意到吴老师通过“回顾一下，在以前的学习过程中，在哪儿见过乘法交换律？”这一问题来调动学生的先前经验与今天新知识的联系。
生1：我们在一年级的时候学的表内乘法口诀里有乘法交换律，比如我们可以根据“二五一十”这句乘法口诀想到两个乘法算式：2×5=10，5×2=10。
生2：我们在二年级学乘法验算的时候也见过乘法交换律，比如在计算23×3时，我们在验算的时候就可以用3×23来验算计算是不是正确。
生3：我们在三年级学习长方形的面积计算的时候，也见过乘法交换律，比如一个长方形的长是3厘米，宽是2厘米，在计算它的面积的时候，可以用3×2=6（平方厘米），也可以用2×3=6（平方厘米）。
每一次的回顾都是一次温习，每一次的总结都是一次重构，每一次这样的经历都是对旧知的重整，对新知的融合。因此在回顾总结的时候，我们一定要像吴老师这样，给足学生思考的时间，让学生厘清知识结构，让学生的思维变得更加清晰。
种子发芽需要等待，幼苗出土需要等待，花蕾绽放需要等待，果实成熟需要等待……让我们一起学会等待吧！等待方能使师生共同思考，等待方能使师生共同成长，等待方能使师生共同演绎课堂的精彩！
笔者很荣幸参加了江苏省2020年乡村义务教育教师培训千人计划（小学数学）高级研修班，在张齐华老师的组织下，我们全体学员一共聆听了10场专家报告，观摩了9节展示课。在此次活动中，我印象最深的两个词就是“课堂等待…‘数学思维”。本文将结合这几天的观摩课，阐述如何在课堂教学中实时等待，让学生的思维得到发展。
一、新旧衔接处等待，让思维活跃起来
数学是一门逻辑性很强的学科，每一节新课的内容都有它的“前世”和“未来”，只有激活了学生头脑中已有知识的储存，在新知识的学习中，学生才能如鱼得水。因此在新旧知识的衔接处要留给学生一个空白，让学生有思考的时间和空间，这样强大的认知需求就能激活学生的探究意识，而这种探究意识就将变成课堂上的“催化剂”，促使学生主动思考，让学生的思维活跃起来。
在本次培训活动中，南京市长江路小学的丁爱平老师在执教“平行四边形的面积”一课时，她先出示一个长方形的框架，然后轻轻拉动，变成一个平行四边形的框架，继续拉动，学生齐声说“变矮了”“更矮了”。这时，她停止拉动，问道：“长方形变成了平行四边形，你们猜面积变没变？”一开始听到这里，笔者表示怀疑，想到这个问题是书上的一道练习题，很多學生在做题时都理解不了，甚至到了期末复习的时候，学生还是不理解，如果现在把这个问题抛给学生，是否有点心急。后来，转念一想，原来丁老师巧妙地将新知和旧识串联在了一起，在学习平行四边形的面积公式前，学生已经掌握了长方形的面积相关知识，知道了长方形的面积公式是“长方形的面积=长×宽”，利用将长方形拉成平行四边形这一过程，抛出问题“平行四边形的面积变了吗？”引人深思，让学生有了很强的探索欲望，自然衍生出以下疑惑：
（1）长方形变成平行四边形后，面积有没有变化？
（2）长方形的面积公式我们知道，那么平行四边形是否也有面积公式呢？
（3）能够通过怎样的方法来得出平行四边形的面积公式呢？
二、合作探究处等待。让思维传递起来
狼是一种群体动物，一头狼不敢攻击比它威猛的狮子，但是一群狼就能发起这样的攻击，并且获得胜利，其实人类亦是如此。人类由原始社会发展到现在，每一项进步无一不体现了合作的重要。数学课堂亦是如此，合作学习是当今的主流学习形式之一，几乎在每一节数学课堂上都能看到合作探究的影子。因此，教师在教学过程中，要尽可能地留给学生足够的时间和空间，让学生合作探究，让学生的思维传递起来。
例如，在观摩南京市长江路小学的徐妍老师执教的一节“面积和面积单位”的公开课时，为了让学生建立平方米这个面积单位的概念，徐老师首先跟着学生一起认识了平方分米这个面积单位，接着徐老师就放手让学生带着平方分米这个面积单位去测量课桌面、讲台面、窗户面的面积。学生兴趣高涨，没过两分钟就测量好了。这时，徐老师又提出一个要求：“看样子大家都比较厉害，那么接下来你能用这个面积单位来测量一下我们教室的面积吗？”学生异口同声：“能！”于是大家热火朝天地开始测量，徐老师只是在一旁静静地看着大家，等待大家的结果。几分钟后，一个学生站起来问：“老师，能不能给我一个大一点的东西？”于是，徐老师问：“能说说你们想要什么吗？”这时，另一个声音出现了，“老师，我们以前还学过长度单位——米，今天又认识了平方分米，会不会有平方米这样的单位？”徐老师不紧不慢地说：“我还真有一个叫平方米的面积单位。你们看，像这样边长是1米的正方形的面积就是1平方米。”学生如获至宝，带着这个新的面积单位重新去测量教室的面积，没过几分钟就测量出了教室的面积。
三、交流汇报处等待。让思维飞舞起来
在课堂教学中，师生交流、生生交流都是常态，无论是哪一种交流，都是一种思维上的碰撞，因为学生在听了其他学生的发言之后，也会跟着积极思考，会把别人的回答与自己所思考的相比较。如果教师在学生发言之后马上评价，那么其他学生就没有了思考的空间与时间。因此，教师在课堂教学中要学会等待，要把自己当作学生的忠实听众，真正做到把课堂的主动权交给学生，体现学生的主体地位，让学生之间相互补充与学习，使其可以在独立思考后总结知识，积累经验，并且提升自己的学习能力。
在观摩南京市北京东路小学的李静老师执教的六年级“稍复杂的分数实际问题”一课时，李老师出示题目：林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了今年有多少个班？（你能用不同的方法来解决吗？试着画出线段图，分析数量关系并解答。）学生经过小组讨论学习后，在全班交流汇报时，有个学生列式为：24×李老师追问道：算的是什么？”这时学生说话的声音变低了，支支吾吾一直说不清楚，此时可“急坏了”班上大部分同学。多数教师此时肯定会说，××还没有想好，谁来帮帮他？但是今天在李老师的课堂上，我看到了另一种处理方案，那就是：
师：××，不要急，慢慢想，我相信你肯定能清楚地表达出自己的想法。
（生挠挠头，涨红了脸）
师：你可以先想一想÷表示的意义是什么？
生：÷表示的是把去年的班级数看作单位“1”，平均分成6份，今年的班级数比去年的班级数多了其中的1份。
生：也就是……增加了去年的÷……
生（顿时恍然大悟）：老师，我知道了，这一步算的是今年的班级数是去年的几分之几。
此时在场的学生和听课老师都自发地鼓起了掌，笔者相信正是有了李老师的课堂等待，这个学生的思维才得以飞舞起来，才会赢得这满场掌声。可以试想一下，如果李老师没有给学生留下足够的时间去思考，只是单方面地照顾教学进度，那么课堂很有可能变成老师和优秀学生“秀恩爱”的场所。
四、一题多解处等待，让思维灵动起来
俗话说“懒教师教出勤快学生，勤快教师教出懒学生”。在数学课堂上，教师应该尝试做一个“懒”教师，给学生暂时性的知识等待，这会使学生迫不及待地到广阔的知识海洋中去寻找、去发现。这种等待的设计并不是对部分知识的舍弃，而是通过等待去调动学生思维的主动性与积极性，从而达到对知识的真正掌握。越是到高年级，学生的综合能力就越强，对某一实际问题可能就会有多种不同的解决方法，此时，就更应该多一些等待，多一些“懒惰”，让学生的思维灵动起来。 南京市成贤街小学的赵天华老师在执教六年级的“折扣问题”一课中，教学“一件商品，用优惠卡可以打八折，可以便宜8.8元，求商品原价是多少元？”这一问题时，赵老师问：“你能用不同的方法解决这个问题吗？”学生思考后纷纷在练习本上写下了以下几种方法：
在全班交流时，赵老师故意只投影了前3种解法，这时就有部分学生举起了手。但赵老师假装没看见，想给全班学生一个思考的机会：“同学们，这题除了三种我们常用的解题方法外，还有两种解题方法也非常巧妙，你们看，已经有人急着想表达自己的想法了。你們是想先自己想呢，还是请他们说呢？”学生们异口同声地说：“自己想。”时间不长，又有好几名学生举手了。赵老师看等待的时间差不多了，就指名某学生来说说算式，并带着大家一起思考：“你能看懂这两个算式吗？”短暂的思考与交流后，学生都为之兴奋起来。
每一个学生都是一个独立的个体，每一个学生又都是不均衡的，所以，教师要适当地等待，给学生一个各抒己见的空间，让每个学生对知识都有一个自身吸收、消化、提升的过程，这样学生的思维才会变得灵动起来。
五、回顾总结处等待。让思维清晰起来
回顾总结不仅可以帮助学生理解本节知识的生长过程，还能起到沟通、联结的作用，帮助学生把新旧知识联系起来，形成知识结构，促进他们将知识内化，从而有利于他们突出重点，突破难点。
在观摩南京市逸仙小学的吴卓老师执教的四年级“交换律”一课时，吴老师十分注重回顾总结，比如在新授知识结束时，注意到吴老师通过“回顾一下，在以前的学习过程中，在哪儿见过乘法交换律？”这一问题来调动学生的先前经验与今天新知识的联系。
生1：我们在一年级的时候学的表内乘法口诀里有乘法交换律，比如我们可以根据“二五一十”这句乘法口诀想到两个乘法算式：2×5=10，5×2=10。
生2：我们在二年级学乘法验算的时候也见过乘法交换律，比如在计算23×3时，我们在验算的时候就可以用3×23来验算计算是不是正确。
生3：我们在三年级学习长方形的面积计算的时候，也见过乘法交换律，比如一个长方形的长是3厘米，宽是2厘米，在计算它的面积的时候，可以用3×2=6（平方厘米），也可以用2×3=6（平方厘米）。
每一次的回顾都是一次温习，每一次的总结都是一次重构，每一次这样的经历都是对旧知的重整，对新知的融合。因此在回顾总结的时候，我们一定要像吴老师这样，给足学生思考的时间，让学生厘清知识结构，让学生的思维变得更加清晰。
种子发芽需要等待，幼苗出土需要等待，花蕾绽放需要等待，果实成熟需要等待……让我们一起学会等待吧！等待方能使师生共同思考，等待方能使师生共同成长，等待方能使师生共同演绎课堂的精彩！