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数学是研究事物的数量关系和事物之间相互位置关系的一门学科，它通过概念、定理、公式、公理等手段来揭示事物之间的相互关系。在学习数学的过程中，学生主要通过对概念、公理、定理、公式等知识的学习来提高自己的数学能力。学生是学习的主人，学生积极主动地自主学习对于提高学习效率、掌握科学的思想方法、促进他们思维能力的发展都具有重要作用。那么，在日常教学中如何培养学生自主学习数学的能力呢？
一、数学基础知识的自主学习
任何学科都由一些基本的元素组成，数学也不例外。数学基础知识首先是最基本的概念。概念是我们认识事物、处理问题的基本出发点，在学习概念过程中要注意与之有关的具体实例。因为数学知识来源于实践，它是对客观事物的高度抽象和概括。只有对事物的背景有了清晰具体的认识，才能很好地理解概念的内涵和外延，从而加深对这一概念的认识。从问题的定义出发，从实际问题的基本点出发是解决问题的最一般的思路。因此，学生在自主学习数学的过程中首先要有一个明确的认识，给事物下定义是为了解决问题的方便，所以要充分注意概念的重要作用，为进一步的学习和研究打下一个良好的基础。在自主学习中应如何自主学习数学中的基本概念呢？首先，要明确是为了解决哪一类问题引入了这一概念。其次，要分清概念的内涵和外延，也就是这一概念应具备的条件。最后，要认识到学习这一概念有什么作用，即这一概念是为解决什么问题服务的。
对于定理、公式、公理的学习和对于概念的学习又有所不同，不能把学习概念的方法机械地用于对定理、公式、公理的学习。概念是为了研究问题的方便而作好的规定。而定理、公式、公理则是从概念出发而得出的解决某一问题的一种方法，是解决问题的一种手段，它来源于概念，但是又高于概念。因此，在自主学习过程中要重视对定理、公式、公理的学习：首先，要明白这一定理的证明过程，它产生的背景是什么，主要用于解决哪一类型的问题，要解决这一类型的问题必须满足什么条件，能得到哪些结论；其次，要明确应用这一定理的步骤是什么；最后，要明白这一定理提供的解决问题的一般思路是什么。
二、数学解题能力的自主学习
数学教育家波利亚说过：“掌握数学就意味着解题。”教学实践同样表明，学生在数学课上也是对解题最感兴趣。可以说，数学学习的中心问题是解题，解题的成败决定着学习质量的高低。问题的解决是提高学生数学自主学习能力最主要的环节，那么如何通过解决数学问题来培养学生自主学习数学的能力呢？
1.学会推敲
推敲是为解题服务的，解题的最终目的是为了学生智慧的生成，所以在解题时一定要仔细推敲问题，对于问题的要求做到心中有数，并使思维紧紧围绕着“中心问题”而展开。对于问题中的关键词，第一，要清楚为什么会出现关键词，关键词本身的意义及在问题中反映的具体意义是什么；第二，出现这一关键词对中心问题的解决有什么作用；第三，怎么利用这一关键词，怎样处理这一关键词与所要解决的问题之间的联系，一步一步走下去。推敲关键词在解题中的意义和作用是解题的基础，能否迅速地推敲领悟关键词的含义及作用，是解题水平高低的一个重要标志。
(1)通读全题，领会主旨。读懂题意，领会要解决的中心问题。这是推敲问题中“关键词”的前提。问题中某些关键词的出现与要解决的中心问题息息相关。因此，只有把握题目的中心问题，细心推敲关键词，才能深刻体会理解这些关键词的深层意义及作用。
(2)借助问题情境来推敲关键词的含义。问题情境就是产生问题的具体环境，如上下句、词与词之间的关系等。对词语的本义、隐含义、概括义的理解，一定要联系该词语所在的具体问题环境。
(3)结合中心问题推敲关键词的意义。确定某些关键词的意义，必须紧扣中心问题，要注意内容与方法是否统一，有时中心问题指代的内容没有现成的解决方法可用，需要对相关内容进行分析、归纳和综合，用力求精练的语言来加以概括。
(4)结合表示手法来推敲关键词。如一些问题往往采用明示或者暗示等表示手法来使用一些关键词，此时应首先弄清它的本义，然后结合要解决的中心问题来推敲它的明显意义或者暗示的内容和方法。充分利用关键词的明示或暗示的作用解决问题往往非常直接、有效、快速。
(5)运用理解概念的基本技巧来推敲关键词。对问题中出现的一些概念进行推敲，通过筛选问题中的有关信息，选出揭示概念特征的信息来组织问题的答案。
2.注意暗示
解决问题首先要对阅读材料进行深入地阅读、理解、分析，注意挖掘问题本身所提供的暗示信息，这可以帮助我们全面领会所要解决的中心问题，准确而快捷地找到答案。数学题目本身的暗示往往具有一定的隐蔽性，有的甚至还留有一定的探索空间，学生在主动学习数学的过程中，一定要重视对数学题目本身暗示信息的捕捉，这样有助于数学问题的解决，有利于解题能力的提高。那么应怎样寻找暗示呢？首先，要注意数、字母或图形等基本的数学符号的框架、结构、形式。数学符号是数学抽象思维的产物，是数学思维活动的载体。它能简单、明了地提示数学中的一般规律。它所暗示的信息常常是解题的前提和捷径，是由未知转向已知的“催化剂”，既能诱发解题思路，又能优化解题过程。在数学解题过程中，可通过深入观察数学符号暗示的信息源，找出暗示的条件、结论、关系、方法、性质，激活学生平时记忆中贮存的相关知识和经验，联想有关概念、定理、公理、公式、法则等，从而找到解决问题的突破口，获得解决问题的思路。其次，要注意关键字、词。关键字、词是表述数学题的一种重要工具，深刻理解问题中的关键字、词，利用它们的暗示信息，是快速解题的一个重要途径。
3.熟化处理
解决问题的基本思想是化未知为已知，也就是把要解决的问题转化为熟悉的已知问题。那么，如何转化问题呢？
(1)尝试转化为一般的基本方法，基本结论，基本图形，基本模型。
(2)转化成一个特例，充分考虑问题的特殊性，探寻特殊中包含的一般问题。
三、课堂上的自主学习
有人认为，在课堂上，有老师的精心讲解，学生只要跟着老师走就可以了。其实这是一个误区，课堂上的自主学习在学生的成长中往往具有决定性的作用，因为课堂毕竟是学生学习的主阵地。学生学习的大部分时间是在课堂上度过的，如果课堂上自主学习做好了，那么对知识的学习和能力的提高就会起到事半功倍的效果；反之，如果在课堂上自主学习的工作没有做好，那么在课下就要花费好几倍的时间来完成对课堂上的内容的学习，并且也很难达到理想的效果。
那么，在课堂上应如何自主学习呢？要知道这节课老师讲的重要结论有哪几个，有什么作用，这节课学习了哪些方法，这些方法有什么作用，自己在用这些方法的时候应该怎么做，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么。只有心中有数，才能做到游刃有余，从而轻松地掌握所学的内容。有方法、有步骤地解决问题才是学习的根本目的。
四、思想上的自主学习
要搞好自主学习，除了要注意数学知识、解题、课堂的作用，更要重视思想修养的作用。做任何事情既要有脚踏实地的实干，又要有审时度势的巧干。而在这实干和巧干的过程中，在自主学习的过程中，思想上要牢固树立一切问题都是纸老虎的观念，在战略上藐视自主学习过程中遇到的问题，在战术上重视所遇到的一切问题。天下大事，必做于易；天下大事，必做于细。从容易做的地方入手，循序渐进，做自主学习的有心人。
总之，在自主学习的过程中，既要重视基础知识、基本技能的学习，又要注意及时归纳总结基本的方法技巧。这样，学生才能学得主动，学得轻松，从而完成知识和能力的双重收获这一教学目标。
（作者单位：山东省费县新桥镇初级中学）
（责任编辑：刘福才）
一、数学基础知识的自主学习
任何学科都由一些基本的元素组成，数学也不例外。数学基础知识首先是最基本的概念。概念是我们认识事物、处理问题的基本出发点，在学习概念过程中要注意与之有关的具体实例。因为数学知识来源于实践，它是对客观事物的高度抽象和概括。只有对事物的背景有了清晰具体的认识，才能很好地理解概念的内涵和外延，从而加深对这一概念的认识。从问题的定义出发，从实际问题的基本点出发是解决问题的最一般的思路。因此，学生在自主学习数学的过程中首先要有一个明确的认识，给事物下定义是为了解决问题的方便，所以要充分注意概念的重要作用，为进一步的学习和研究打下一个良好的基础。在自主学习中应如何自主学习数学中的基本概念呢？首先，要明确是为了解决哪一类问题引入了这一概念。其次，要分清概念的内涵和外延，也就是这一概念应具备的条件。最后，要认识到学习这一概念有什么作用，即这一概念是为解决什么问题服务的。
对于定理、公式、公理的学习和对于概念的学习又有所不同，不能把学习概念的方法机械地用于对定理、公式、公理的学习。概念是为了研究问题的方便而作好的规定。而定理、公式、公理则是从概念出发而得出的解决某一问题的一种方法，是解决问题的一种手段，它来源于概念，但是又高于概念。因此，在自主学习过程中要重视对定理、公式、公理的学习：首先，要明白这一定理的证明过程，它产生的背景是什么，主要用于解决哪一类型的问题，要解决这一类型的问题必须满足什么条件，能得到哪些结论；其次，要明确应用这一定理的步骤是什么；最后，要明白这一定理提供的解决问题的一般思路是什么。
二、数学解题能力的自主学习
数学教育家波利亚说过：“掌握数学就意味着解题。”教学实践同样表明，学生在数学课上也是对解题最感兴趣。可以说，数学学习的中心问题是解题，解题的成败决定着学习质量的高低。问题的解决是提高学生数学自主学习能力最主要的环节，那么如何通过解决数学问题来培养学生自主学习数学的能力呢？
1.学会推敲
推敲是为解题服务的，解题的最终目的是为了学生智慧的生成，所以在解题时一定要仔细推敲问题，对于问题的要求做到心中有数，并使思维紧紧围绕着“中心问题”而展开。对于问题中的关键词，第一，要清楚为什么会出现关键词，关键词本身的意义及在问题中反映的具体意义是什么；第二，出现这一关键词对中心问题的解决有什么作用；第三，怎么利用这一关键词，怎样处理这一关键词与所要解决的问题之间的联系，一步一步走下去。推敲关键词在解题中的意义和作用是解题的基础，能否迅速地推敲领悟关键词的含义及作用，是解题水平高低的一个重要标志。
(1)通读全题，领会主旨。读懂题意，领会要解决的中心问题。这是推敲问题中“关键词”的前提。问题中某些关键词的出现与要解决的中心问题息息相关。因此，只有把握题目的中心问题，细心推敲关键词，才能深刻体会理解这些关键词的深层意义及作用。
(2)借助问题情境来推敲关键词的含义。问题情境就是产生问题的具体环境，如上下句、词与词之间的关系等。对词语的本义、隐含义、概括义的理解，一定要联系该词语所在的具体问题环境。
(3)结合中心问题推敲关键词的意义。确定某些关键词的意义，必须紧扣中心问题，要注意内容与方法是否统一，有时中心问题指代的内容没有现成的解决方法可用，需要对相关内容进行分析、归纳和综合，用力求精练的语言来加以概括。
(4)结合表示手法来推敲关键词。如一些问题往往采用明示或者暗示等表示手法来使用一些关键词，此时应首先弄清它的本义，然后结合要解决的中心问题来推敲它的明显意义或者暗示的内容和方法。充分利用关键词的明示或暗示的作用解决问题往往非常直接、有效、快速。
(5)运用理解概念的基本技巧来推敲关键词。对问题中出现的一些概念进行推敲，通过筛选问题中的有关信息，选出揭示概念特征的信息来组织问题的答案。
2.注意暗示
解决问题首先要对阅读材料进行深入地阅读、理解、分析，注意挖掘问题本身所提供的暗示信息，这可以帮助我们全面领会所要解决的中心问题，准确而快捷地找到答案。数学题目本身的暗示往往具有一定的隐蔽性，有的甚至还留有一定的探索空间，学生在主动学习数学的过程中，一定要重视对数学题目本身暗示信息的捕捉，这样有助于数学问题的解决，有利于解题能力的提高。那么应怎样寻找暗示呢？首先，要注意数、字母或图形等基本的数学符号的框架、结构、形式。数学符号是数学抽象思维的产物，是数学思维活动的载体。它能简单、明了地提示数学中的一般规律。它所暗示的信息常常是解题的前提和捷径，是由未知转向已知的“催化剂”，既能诱发解题思路，又能优化解题过程。在数学解题过程中，可通过深入观察数学符号暗示的信息源，找出暗示的条件、结论、关系、方法、性质，激活学生平时记忆中贮存的相关知识和经验，联想有关概念、定理、公理、公式、法则等，从而找到解决问题的突破口，获得解决问题的思路。其次，要注意关键字、词。关键字、词是表述数学题的一种重要工具，深刻理解问题中的关键字、词，利用它们的暗示信息，是快速解题的一个重要途径。
3.熟化处理
解决问题的基本思想是化未知为已知，也就是把要解决的问题转化为熟悉的已知问题。那么，如何转化问题呢？
(1)尝试转化为一般的基本方法，基本结论，基本图形，基本模型。
(2)转化成一个特例，充分考虑问题的特殊性，探寻特殊中包含的一般问题。
三、课堂上的自主学习
有人认为，在课堂上，有老师的精心讲解，学生只要跟着老师走就可以了。其实这是一个误区，课堂上的自主学习在学生的成长中往往具有决定性的作用，因为课堂毕竟是学生学习的主阵地。学生学习的大部分时间是在课堂上度过的，如果课堂上自主学习做好了，那么对知识的学习和能力的提高就会起到事半功倍的效果；反之，如果在课堂上自主学习的工作没有做好，那么在课下就要花费好几倍的时间来完成对课堂上的内容的学习，并且也很难达到理想的效果。
那么，在课堂上应如何自主学习呢？要知道这节课老师讲的重要结论有哪几个，有什么作用，这节课学习了哪些方法，这些方法有什么作用，自己在用这些方法的时候应该怎么做，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么。只有心中有数，才能做到游刃有余，从而轻松地掌握所学的内容。有方法、有步骤地解决问题才是学习的根本目的。
四、思想上的自主学习
要搞好自主学习，除了要注意数学知识、解题、课堂的作用，更要重视思想修养的作用。做任何事情既要有脚踏实地的实干，又要有审时度势的巧干。而在这实干和巧干的过程中，在自主学习的过程中，思想上要牢固树立一切问题都是纸老虎的观念，在战略上藐视自主学习过程中遇到的问题，在战术上重视所遇到的一切问题。天下大事，必做于易；天下大事，必做于细。从容易做的地方入手，循序渐进，做自主学习的有心人。
总之，在自主学习的过程中，既要重视基础知识、基本技能的学习，又要注意及时归纳总结基本的方法技巧。这样，学生才能学得主动，学得轻松，从而完成知识和能力的双重收获这一教学目标。
（作者单位：山东省费县新桥镇初级中学）
（责任编辑：刘福才）