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集合中蕴含着丰富的数学思想，在解有关集合问题时若能灵活运用这些数学思想，可以简洁、巧妙地解决这些问题．下面谈谈集合中常见的数学思想方法．
1. 数形结合的思想方法
数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，通过“数”与“形”的相互转化，达到化难为易、化繁为简的目的．集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法．
例１ 设集合[M={x|][-2 解析由[M⋂N=N]得[N⊆M].
①[N=∅]，[2t+1≤2-t]时，[t≤13,M⋂N=N]成立；
[[2t+1]][[2-t]][[-5]][[-2]]
②[N≠∅]时，由图中数轴所示，
可得[2-t<2t+12t+1≤52-t≥-2]，解之得[13 综上①②可知，实数[t]的取值范围为{[t]|[t]≤2}．
点评应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观．
例２ 设[I]为全集，[S1、S2、S3]是[I]的三个非空子集且[S1∪S2∪S3=I]，则下面论断正确的是（ ）
A. [∁IS1∩(S2∪S3)=∅] B. [S1⊆∁IS2∩∁IS3]
C. [∁IS1∩∁IS2∪∁IS3=∅]D. [S1⊆(∁IS2∩∁IS3)]
解析如图，[S1∪S2∪S3=I]，[∁I(S1∪S2∪S3)=∅]，
即[∁IS1∩∁IS2∪∁IS3=∅].
点评对于涉及的集合个数、信息较多或未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常考虑用韦恩图求解．
2. 等价转化思想
等价转化思想就是在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用.
例3已知集合[A={x|x2-5x+6=0},][B={x|mx+][1=0},]且[A⋃B=A],則实数[m]组成的集合是.
解析由题意知，[A={x|x2-5x+6=0}={2,3}.]
∵[A⋃B=A⇔][B]是[A]的子集，
又[∵B={x|mx+1=0},]
[∴B]是[A]的真子集.
∴[B=∅]或[B={2}]或[B={3}].
①[B=∅]时，[m=0].
②当[B={2}]时,[2m+1=0]解得[m=-12].
③当[B={3}]时,[3m+1=0]解得[m=-13].
[∴m]的值组成的集合是[{0,-12,-13}].
点评数学语言通常包括文字语言、符号语言和图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性．
3. 分类讨论思想
分类讨论的思想是一种重要的思想方法，也是一种基本的解题策略．就是化整为零、各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．
例4设集合[P={m|-1＜m≤0}]，[Q={m∈][R|mx2+4mx-4＜0]对任意实数[x]恒成立[}]，则下列关系中成立的是（ ）
A．[P]⫋[Q] B．[Q]⫋[P]
C．[P=Q ] D．[P∩Q=Q]
解析[Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0]对任意实数[x]恒成立}，对[m]分类：
①[m=0]时，-4＜0恒成立.
②[m＜0]时，需[Δ=(4m)2-4×m×(-4)＜0]，解得[m＜0.]
综合①②知[m≤0].
[∴Q={m∈R|m≤0}.]
答案A
点评分类讨论是解决集合问题的常用方法．但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏．集合[A]中含有参数[m]，需要对参数进行分类讨论，不能忽略[m=0]的情况.
4. 方程思想
方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想. 就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决．
例5 已知全集[U={1,2,4,6,8}]，集合[A={8,m,][n,p}]，[B={1,mn,mp,np}]，且[A=B]，求[∁UA]．
解析[∵A=B]，
[∴8+m+n+p=1+mn+np+mp①8mnp=1×mn×mp×np②]
由②得[mnp=8].又[m、n、p∈U]，且[m、n、p]互异，故[m、n、p]中不能有6，只能分别为1、2、4（顺序不定），显然1、2、4也是①的解．
[∴A={1，2，4，8}]，即[∁UA={6}]．
点评本题利用两个集合（有限集）的性质解集合相等的问题，其实质是用方程的思想和方法，即从A=B中找出两个独立的等量关系，要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况．
5. 正难则反的补集思想
例6已知集合[A={x|x2-4mx+2m+6=0},] [B={x|x<0},]若[A∩B≠∅],求实数[m]的取值范围.
解析[A∩B≠∅],说明集合[A]是方程[x2-4mx][+2m+6=0]的实根组成的非空集合，并且方程①的根有:（1）两负根;（2）一负根一零根;（3）一负根一正根, 三种情况,分别求解十分麻烦,这时我们从求解问题的反面考虑,采用“正难则反”的解题策略,即先由△≥0,求出全集[U],然后求方程①两根均为非负时[m]的取值范围,最后再利用“补集”求解.
设全集[U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}]
[={m|m≤-1或m≥32}.]
若方程[x2-4mx+2m+6=0]的二根[x1、x2]均非负，则
[m∈Ux1x2=2m+6≥0,x1+x2=4m≥0][⇒] [m≥32.]
∵[{m|m≥32}]关于[U]的补集为[{m|m≤-1}]，
∴ 实数[m]的取值范围为[{m|m≤-1}].
点评在解数学题时，有时从正面求解比较复杂、比较抽象，若调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，往往能化难为易，从而将问题解决，这就是“补集思想”的解题策略.
1. 数形结合的思想方法
数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，通过“数”与“形”的相互转化，达到化难为易、化繁为简的目的．集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法．
例１ 设集合[M={x|][-2
①[N=∅]，[2t+1≤2-t]时，[t≤13,M⋂N=N]成立；
[[2t+1]][[2-t]][[-5]][[-2]]
②[N≠∅]时，由图中数轴所示，
可得[2-t<2t+12t+1≤52-t≥-2]，解之得[13
点评应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观．
例２ 设[I]为全集，[S1、S2、S3]是[I]的三个非空子集且[S1∪S2∪S3=I]，则下面论断正确的是（ ）
A. [∁IS1∩(S2∪S3)=∅] B. [S1⊆∁IS2∩∁IS3]
C. [∁IS1∩∁IS2∪∁IS3=∅]D. [S1⊆(∁IS2∩∁IS3)]
解析如图，[S1∪S2∪S3=I]，[∁I(S1∪S2∪S3)=∅]，
即[∁IS1∩∁IS2∪∁IS3=∅].
点评对于涉及的集合个数、信息较多或未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常考虑用韦恩图求解．
2. 等价转化思想
等价转化思想就是在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用.
例3已知集合[A={x|x2-5x+6=0},][B={x|mx+][1=0},]且[A⋃B=A],則实数[m]组成的集合是.
解析由题意知，[A={x|x2-5x+6=0}={2,3}.]
∵[A⋃B=A⇔][B]是[A]的子集，
又[∵B={x|mx+1=0},]
[∴B]是[A]的真子集.
∴[B=∅]或[B={2}]或[B={3}].
①[B=∅]时，[m=0].
②当[B={2}]时,[2m+1=0]解得[m=-12].
③当[B={3}]时,[3m+1=0]解得[m=-13].
[∴m]的值组成的集合是[{0,-12,-13}].
点评数学语言通常包括文字语言、符号语言和图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性．
3. 分类讨论思想
分类讨论的思想是一种重要的思想方法，也是一种基本的解题策略．就是化整为零、各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．
例4设集合[P={m|-1＜m≤0}]，[Q={m∈][R|mx2+4mx-4＜0]对任意实数[x]恒成立[}]，则下列关系中成立的是（ ）
A．[P]⫋[Q] B．[Q]⫋[P]
C．[P=Q ] D．[P∩Q=Q]
解析[Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0]对任意实数[x]恒成立}，对[m]分类：
①[m=0]时，-4＜0恒成立.
②[m＜0]时，需[Δ=(4m)2-4×m×(-4)＜0]，解得[m＜0.]
综合①②知[m≤0].
[∴Q={m∈R|m≤0}.]
答案A
点评分类讨论是解决集合问题的常用方法．但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏．集合[A]中含有参数[m]，需要对参数进行分类讨论，不能忽略[m=0]的情况.
4. 方程思想
方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想. 就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决．
例5 已知全集[U={1,2,4,6,8}]，集合[A={8,m,][n,p}]，[B={1,mn,mp,np}]，且[A=B]，求[∁UA]．
解析[∵A=B]，
[∴8+m+n+p=1+mn+np+mp①8mnp=1×mn×mp×np②]
由②得[mnp=8].又[m、n、p∈U]，且[m、n、p]互异，故[m、n、p]中不能有6，只能分别为1、2、4（顺序不定），显然1、2、4也是①的解．
[∴A={1，2，4，8}]，即[∁UA={6}]．
点评本题利用两个集合（有限集）的性质解集合相等的问题，其实质是用方程的思想和方法，即从A=B中找出两个独立的等量关系，要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况．
5. 正难则反的补集思想
例6已知集合[A={x|x2-4mx+2m+6=0},] [B={x|x<0},]若[A∩B≠∅],求实数[m]的取值范围.
解析[A∩B≠∅],说明集合[A]是方程[x2-4mx][+2m+6=0]的实根组成的非空集合，并且方程①的根有:（1）两负根;（2）一负根一零根;（3）一负根一正根, 三种情况,分别求解十分麻烦,这时我们从求解问题的反面考虑,采用“正难则反”的解题策略,即先由△≥0,求出全集[U],然后求方程①两根均为非负时[m]的取值范围,最后再利用“补集”求解.
设全集[U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}]
[={m|m≤-1或m≥32}.]
若方程[x2-4mx+2m+6=0]的二根[x1、x2]均非负，则
[m∈Ux1x2=2m+6≥0,x1+x2=4m≥0][⇒] [m≥32.]
∵[{m|m≥32}]关于[U]的补集为[{m|m≤-1}]，
∴ 实数[m]的取值范围为[{m|m≤-1}].
点评在解数学题时，有时从正面求解比较复杂、比较抽象，若调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，往往能化难为易，从而将问题解决，这就是“补集思想”的解题策略.