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【摘要】通过分析分部积分公式的理论依据与推导过程，得出运用公式时要按照“反、对、幂、三、指”的优先顺序选取u，其余的凑微分作为dv，并归纳分部积分法的具体步骤.
【关键词】分部积分法；分部积分公式；u和dv选取
当不定积分的被积函数是两种不同类型的函数的乘积（如∫xexdx，∫x2sinxdx等）时，就要运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu进行积分求解.然而，在教学中发现初学者往往无法恰当选取u与dv，造成积分计算困难，甚至无法积分.本文结合多年的教学经验，总结了在运用分部积分公式时恰当选取u与dv的关键和技巧，以帮助初学者能够快速掌握分部积分公式和分部积分法.
1分部积分公式的理论依据和推导过程
分部积分公式可由乘积微分公式推导而得，过程如下：
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，那么两个函数的乘积微分公式为d(uv)=udv+vdu，移项整理，得udv=d(uv)-vdu.对这个等式两边求不定积分，得∫udv=uv-∫vd，这个公式称为分部积分公式，是一种基本积分运算的法则.利用此公式求积分的方法就称为分部积分法，它可以将求∫udv的积分问题转化为求∫vdu的积分，当∫vdu较容易积分时，分部积分公式就有化繁为简，化难为易的效果，顺利求出不定积分.
2运用分部积分公式时如何恰当选取u与dv
例1 求∫xcosxdx.
解 设u=x，dv=cosxdx=d(sinx)，则du=dx，v=sinx，代入分部积分公式有
∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.
本题若设u=cos，dv=xdx，则有du=-sinxdx及v=12x2，代入分部积分公式有∫xcosxdx=12x2cosx+12∫x2sinxdx，显然，新得到的积分∫x2sinxdx反而更难求.因此，运用分部积分公式的关键是恰当选取u和dv，选取时主要考虑以下两点：（1）v用凑微分法容易求得；（2）∫vdu要比∫udv更容易进行积分.
根据以上两点，u的选取顺序为“反、对、幂、三、指”，即u应该按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的优先顺序进行选取.如例1，求∫xcosxdx时，被积函数是幂函数和三角函数的乘积，所以选取幂函数x作为u，将cosdx进行凑微分得到d(sinx)作为dv，代入分部积分公式继续积分即可.
归纳起来，分部积分法的步骤如下：第一步，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序确定u，剩下所有的都是dv，将它们进行凑微分；第二步，求出v和du，为代入分部积分做准备；第三步，将u，v，du，dv代入分部积分公式计算.
例2 求∫xexdx.
分析 被积函数是幂函数x和指数函数ex的乘积，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取幂函数x作为u，将exdx凑微分作为dv.
解 设u=x，dv=exdx=d(ex)，则有du=dx，v=ex.
代入分部积分公式，得
∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C.
例3 求∫arccosxdx.
分析 被积函数可视为常数1与反三角函数arccosx乘积，常数1可视为幂函数x0，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取反三角函数arccosx作为u，将1•dx凑微分作为dv.
解 设u=arccosx，dv=1•dx=dx，则有
du=d(arccosx)=11-x2dx，v=1，
代入分部积分公式，得
∫arccosxdx
=xarccosx-∫xd(arccosx)
=xarccosx+∫x1-x2dx
=xarccosx+∫(1-x2)-12-12d(1-x2)
=xarccosx-1-x2+C.
例4 求∫exsinxdx.
分析 被积函数为指数函数ex和三角函数sinx的乘积，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取三角函数sinx作为u，将exdx凑微分作为dv.
解 设u=sinx，dv=exdx=d(ex)，则有du=d(sinx)=cosxdx，v=ex，代入分部积分公式，可得
∫exsinxdx
=∫sinxd(ex)
=exsinx-∫exd(sinx)
=exsinx-∫excosxdx
=exsinx-∫cosxd(ex)
=exsinx-excosx-∫exd(cosx)
=exsinx-excosx-∫exsinxdx.
所以有∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx，出现了循环现象，移项整理得∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C.
【参考文献】
［1］侯风波.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［2］马纪英，薛力峰.分部积分法的应用技巧.青海师专学报，2009（5）.
【关键词】分部积分法；分部积分公式；u和dv选取
当不定积分的被积函数是两种不同类型的函数的乘积（如∫xexdx，∫x2sinxdx等）时，就要运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu进行积分求解.然而，在教学中发现初学者往往无法恰当选取u与dv，造成积分计算困难，甚至无法积分.本文结合多年的教学经验，总结了在运用分部积分公式时恰当选取u与dv的关键和技巧，以帮助初学者能够快速掌握分部积分公式和分部积分法.
1分部积分公式的理论依据和推导过程
分部积分公式可由乘积微分公式推导而得，过程如下：
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，那么两个函数的乘积微分公式为d(uv)=udv+vdu，移项整理，得udv=d(uv)-vdu.对这个等式两边求不定积分，得∫udv=uv-∫vd，这个公式称为分部积分公式，是一种基本积分运算的法则.利用此公式求积分的方法就称为分部积分法，它可以将求∫udv的积分问题转化为求∫vdu的积分，当∫vdu较容易积分时，分部积分公式就有化繁为简，化难为易的效果，顺利求出不定积分.
2运用分部积分公式时如何恰当选取u与dv
例1 求∫xcosxdx.
解 设u=x，dv=cosxdx=d(sinx)，则du=dx，v=sinx，代入分部积分公式有
∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.
本题若设u=cos，dv=xdx，则有du=-sinxdx及v=12x2，代入分部积分公式有∫xcosxdx=12x2cosx+12∫x2sinxdx，显然，新得到的积分∫x2sinxdx反而更难求.因此，运用分部积分公式的关键是恰当选取u和dv，选取时主要考虑以下两点：（1）v用凑微分法容易求得；（2）∫vdu要比∫udv更容易进行积分.
根据以上两点，u的选取顺序为“反、对、幂、三、指”，即u应该按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的优先顺序进行选取.如例1，求∫xcosxdx时，被积函数是幂函数和三角函数的乘积，所以选取幂函数x作为u，将cosdx进行凑微分得到d(sinx)作为dv，代入分部积分公式继续积分即可.
归纳起来，分部积分法的步骤如下：第一步，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序确定u，剩下所有的都是dv，将它们进行凑微分；第二步，求出v和du，为代入分部积分做准备；第三步，将u，v，du，dv代入分部积分公式计算.
例2 求∫xexdx.
分析 被积函数是幂函数x和指数函数ex的乘积，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取幂函数x作为u，将exdx凑微分作为dv.
解 设u=x，dv=exdx=d(ex)，则有du=dx，v=ex.
代入分部积分公式，得
∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C.
例3 求∫arccosxdx.
分析 被积函数可视为常数1与反三角函数arccosx乘积，常数1可视为幂函数x0，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取反三角函数arccosx作为u，将1•dx凑微分作为dv.
解 设u=arccosx，dv=1•dx=dx，则有
du=d(arccosx)=11-x2dx，v=1，
代入分部积分公式，得
∫arccosxdx
=xarccosx-∫xd(arccosx)
=xarccosx+∫x1-x2dx
=xarccosx+∫(1-x2)-12-12d(1-x2)
=xarccosx-1-x2+C.
例4 求∫exsinxdx.
分析 被积函数为指数函数ex和三角函数sinx的乘积，根据“反、对、幂、三、指”的优先顺序可确定选取三角函数sinx作为u，将exdx凑微分作为dv.
解 设u=sinx，dv=exdx=d(ex)，则有du=d(sinx)=cosxdx，v=ex，代入分部积分公式，可得
∫exsinxdx
=∫sinxd(ex)
=exsinx-∫exd(sinx)
=exsinx-∫excosxdx
=exsinx-∫cosxd(ex)
=exsinx-excosx-∫exd(cosx)
=exsinx-excosx-∫exsinxdx.
所以有∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx，出现了循环现象，移项整理得∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C.
【参考文献】
［1］侯风波.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［2］马纪英，薛力峰.分部积分法的应用技巧.青海师专学报，2009（5）.