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摘 要：笔者来自一所小班化学校，通过访谈与问卷调查发现，本应成为数学学习重要工具的“分析型草稿”并没有得到该有的重视。如何让“分析型草稿”发挥其应有的价值，笔者首先对“重计算、轻分析”的草稿现状进行了深层分析，进而成功实践了“认识价值——注重体验——强化行为”的三步曲，探索出有效应用的经验。在此过程中学生合理、规范、有效使用“分析型草稿”的技能和习惯逐步形成，良好学习方法得以掌握。
关键词：高年级学生;分析型草稿;有效应用
在高年级数学教学中，我发现学生的草稿本上密密麻麻各种计算的草稿很多，而很少有分析的关系式、线段图、示意图等分析思考的草稿，存在“重计算、轻分析”的现象，说明草稿的用途没有得到充分体现。那么，学生的分析型草稿状况究竟如何？需要如何改变？带着这些疑问开始了我的研究。
一、 现状调查，深层分析
2018年9月开始我对任教六（3）班进行了为期一个月的数学草稿本规范使用的指导，9月30日我将全班共27名学生的草稿本收上来，进行了分析型草稿的调查与分析。
（一） 分析型草稿的意识和学生的认知及习惯相关。学生草稿本上大多是计算型的草稿，而经常写分析型草稿的只有10%左右。不少学生对分析型草稿的价值缺乏认识，不知道什么是分析型草稿，什么时候要写分析型草稿。
（二） 分析型草稿的数量和学习内容高度相关。我发现例题教学时教师一般会要求学生根据题意画出线段图，弄清题中数量关系。在做练习时不作要求，学生的分析型草稿数量就很少。有些纯计算的教学单元，分析型草稿自然就比较少，而解决复杂的应用题、几何图形、解决问题的策略等单元，分析型草稿自然就比较多。
（三） 分析型草稿的质量和教师指导密切相关。教学时教师只提出基本要求，而不进行具体指导和跟进评价是不行的，教师在关注学生分析型草稿的同时必须进行细致规范的指导，才能提高草稿的质量。
现状分析让我陷入深深的思考，写草稿是学生每天都要经历的学习过程，在这个过程中我们可以发现许多思维的火花，智慧的启迪，而我们却熟视无睹。
二、 基于思考，展开实践
在调查分析、深入思考之后，我想通过“认识价值——注重体验——强化行为”的三步曲来改变现状，引导学生会写分析型草稿，爱用分析型草稿。
（一） 交流讨论中认识应用价值
不了解它的价值，是“分析型草稿”被忽视的重要原因。于是，我在10月初上了一节数学综合实践课“分析型草稿，你是谁？”，引導学生围绕“什么是‘数学分析型草稿’？它的价值何在？”展开讨论。课上展示了学生使用了一个月的草稿本，大家都发现了分析型草稿较少的现象。在讨论中，学生们明确了数学分析型草稿是指在数学学习中，应用假设、列表、列举、画图、转化等数学方法解决实际问题时写的分析思考的草稿，还了解到很多数学家收集并珍藏自己草稿的故事。同学们各抒己见，在思想的碰撞与热烈的交流中，共同认识了分析型草稿的价值。
（二） 亲身体验中感受重要作用
我们真的很需要“分析型草稿”吗？我们真的离不开它？只有亲身感受它的重要作用，它的不可取代，才能真正接纳它。
1. 感受新课学习需要借助“分析型草稿”弄清题意
《长方体和正方体》《解决问题的策略》等单元在教学例题时就有引导学生通过画线段图、示意图分析题意的环节。在新课教学中我特别关注学生的分析草稿，结合所学知识进行指导，让学生切实感受到有些题目不画图，不在草稿本上写出思路，是很难空想出来的，应该让学生通过具体的实例感受“分析型草稿”的重要作用。
如苏教版第十一册数学教科书中有一道思考题：
一个长方形，如果高增加2厘米，就变成一个正方形。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
这题已画好现成的直观图，学生只需看图分析就可以了。但是课后练习中有一题与之相类似，却没有图示，如下：
一个正方体，增高4厘米，变成了一个长方体，这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？
全班三分之二的学生因没有画图而觉得十分困难。我趁热打铁分别让画图解决了问题和没画图做错的学生谈了各自的感受，让学生在体验中深深感受到“分析型草稿”的重要作用。
2. 感受各类题型需要依托“分析型草稿”明确思路
不仅仅是应用题和几何图形题需要“分析型草稿”，我们在做填空题、选择题、判断题时也可能需要借助它来分析问题。比如下面一道选择题：
小明看小强在北偏东35°的方向上，小强看小明在（ ）的方向上。
A. 北偏东35°
B. 南偏西35°
C. 北偏东55°
D. 南偏西55°
这题得分率为75%。比较典型的错误选择是“D”，究其原因，我发现学生在参照物发生变化的情况下，描述物体的位置关系没问题，但是对于角度的转换不够清晰，如果能主动画图，就非常直观了。
再如有这样一道填空题：
张强买一个铅笔盒用去所带钱数的一半，买一本笔记本又用去4元，这时还剩16元，张强原来带了（ ）元钱。
学生往往会列出（16-4）×2这样的错误算式。我则要求学生先在草稿本上画出线段图，帮助思考。结果学生利用线段图很快发现了正确的数量关系。
3. 感受不同课型需要利用“分析型草稿”打开思路
分析型草稿的作用不仅仅在新授课中体现，在数学复习课、练习课、实践活动课等课型中也得到充分体现。在《可能性》总复习一课上，我结合教材中的“整理与反思”，设计了让学生根据素材在草稿上整理知识并交流展示的环节，如下。 谈话：同学们今天让我们一起来复习小学阶段有关可能性的知识。老师给同学们一些素材（5个布袋，袋中球颜色分别是4红、1红3黄、2红2黄、3红1黄、4黄），根据所给素材你们能整理出哪些可能性的知识和内容？
学生把想法写在草稿上，再在小组里交流，由组长汇总后在全班汇报。（课件出示5个布袋，编上号）
教师参与到各组的交流中，了解学生整理知识的情况。
全班交流时，请A、B、C三个不同层次的学生展示整理的内容。
教师在相机指导过程中现场板书，与学生共同完善“小学阶段可能性知识结构”。
这一课例让学生深深感受到“分析型草稿”的再利用价值，我们可以利用已有的草稿去解决类似的实际问题。
（三） 行为强化中成为行家里手
行为强化需要一定的强化机制与评价机制，为了让学生们能更快更有效地形成主动借助“分析型草稿”解题的习惯，我采用了以下措施。
1. 制定书写规则
在几次深刻的亲身体验后，全班学生均感受到“分析型草稿”的重要价值，在与学生的共同探讨中，我们制定了“六（3）班学生分析型草稿书写规则”。如下：
①将草稿本一页纸一折四份，即四竖行。按从左往右，从上往下的顺序书写。分析型草稿可以两竖行合用。
②写分析型草稿要保持草稿本的整洁，不要乱涂乱画。
③注意分析型草稿书写的条理性。草稿上必须注明题号或顺序号，然后再解答。这样复查时可方便查找、核对。
④需要通过画图解决的，一般也要在草稿上考虑好图形的大小、位置、形状等，尽量合理安排空间。线段图要用尺画。
2. 关注细节指导
①草稿指导重平时。“分析型草稿”很重要，但是，如何写？何时写？大部分学生很茫然。于是，在教学中只要遇到需要画线段图、示意图、几何图形等分析型草稿的题目时，我均让学生先说说如何解决，然后放手让他们去写去画，并适时指导。
②作业订正带草稿。在教学中对于订正一遍又错的情况，我班规定第二次再错必须将草稿同时拿给老师看过程，并主动分析出错因。因此，即使想看别人现成答案的同学，也趁早打消了这个念头。
③考试结束收草稿。每次测试结束，我班就随即将草稿本收上来。此举首先是给学生“请认真写草稿”的暗示，其次也便于评讲试卷时，学生可以对照草稿找出错因，再者教师也可以从学生草稿中发现共性的问题。
④試卷订正要过程。试卷上经常有填空、判断、选择等只需写出一个结果的题型。在订正时有些学生就会自己不动脑筋，看别人一个正确答案后抄到试卷上。因此，我班的试卷，只要有错题均要在草稿上写出分析过程。这样既让老师了解了学生的解题思路，也敦促了学生要认真分析错因，培养严谨的学习态度。
⑤带着草稿上展台。在数学复习课、练习课、实践活动课等不同课型的课中，只要有机会让学生来讲解的，我都把权力交给学生，让他们带着草稿上展台来当小老师。从前面《可能性》总复习的课例中可见一斑。
3. 开展定期评价
有要求，就要有跟进评价，我采取了定期评价的措施。
①每天一评。根据每一天的作业，开展分析型草稿应用监控。主要采用教师监督指导，学生自评为主。部分学困生与优生结对互评，由于一开始活动时，习惯都还没有养成，他们需要在同伴的指导下边扶边放的来完成，当能力初步形成时我们还采用了四人小组评比。
②每周一结。每一周上交学生的草稿本，教师根据每个学生的情况有的放矢进行小结、评价。我主要通过投影展示草稿，家长会发表扬信等形式进行表扬鼓励，同时与较欠缺的学生谈心交流，激励他们迎头赶上。
③每月一展。每一个月根据学生四个星期的表现，进行分析型草稿的展览，在教室里建立起展览的小天地。通过草稿本展览，学生们展示和学习的机会多了，积极性和兴趣也不断提高。
④学期一奖。将学生一学期的草稿本全部发到个人手中，通过同学之间的横向比较比，评选“分析型草稿小能手”。通过自己现在与过去的纵向比较，评选“分析型草稿进步星”。
通过各种措施的不断强化及亲身实践，学生们逐步体会到分析型草稿的重要意义和价值。
三、 依托实践，反思提升
一学期下来，学生的草稿发生了巨大变化，作业质量显著提高，期末成绩也取得较大进步。那么此项研究对学生有哪些影响，我认为至少有以下三方面。
（一） 提升数学素养
分析型草稿的有效应用实际上就是引导学生学会用数学语言进行分析，它为学生提供了展示思维的平台。在教学中，只要有机会我就指导学生借助分析型草稿解决问题，特别是几何图形的题目，学生从草稿演示中，能较好的建立组合形体的表象，找出其内在的规律和解题方法。
（二） 增强合作意识
学生间的交往、合作是否顺利、融洽，取决于学生是否掌握一定的技巧。“分析型草稿”更好地为学生合作交流提供平台。教师可以借助平台，引导学生学会将他山之石变为自己的美玉。
（三） 习得学习方法
应用分析型草稿的过程，就是在习得解题方法。并且草稿每天要写，又在不断巩固。从课堂上和作业中的分析型草稿中你可以学到非常多的思路和想法，通过定期的交流展示，能够更好地促进他们的思维发展。
一路走来，虽苦犹甜。作为一名小班数学教师，我将结合个案研究继续深入下去，真正去关注每一位学生分析型草稿的应用，让他们的数学学习能力得到进一步提升。
作者简介：
杨有慧，江苏省南京市，南京市海英小学。
关键词：高年级学生;分析型草稿;有效应用
在高年级数学教学中，我发现学生的草稿本上密密麻麻各种计算的草稿很多，而很少有分析的关系式、线段图、示意图等分析思考的草稿，存在“重计算、轻分析”的现象，说明草稿的用途没有得到充分体现。那么，学生的分析型草稿状况究竟如何？需要如何改变？带着这些疑问开始了我的研究。
一、 现状调查，深层分析
2018年9月开始我对任教六（3）班进行了为期一个月的数学草稿本规范使用的指导，9月30日我将全班共27名学生的草稿本收上来，进行了分析型草稿的调查与分析。
（一） 分析型草稿的意识和学生的认知及习惯相关。学生草稿本上大多是计算型的草稿，而经常写分析型草稿的只有10%左右。不少学生对分析型草稿的价值缺乏认识，不知道什么是分析型草稿，什么时候要写分析型草稿。
（二） 分析型草稿的数量和学习内容高度相关。我发现例题教学时教师一般会要求学生根据题意画出线段图，弄清题中数量关系。在做练习时不作要求，学生的分析型草稿数量就很少。有些纯计算的教学单元，分析型草稿自然就比较少，而解决复杂的应用题、几何图形、解决问题的策略等单元，分析型草稿自然就比较多。
（三） 分析型草稿的质量和教师指导密切相关。教学时教师只提出基本要求，而不进行具体指导和跟进评价是不行的，教师在关注学生分析型草稿的同时必须进行细致规范的指导，才能提高草稿的质量。
现状分析让我陷入深深的思考，写草稿是学生每天都要经历的学习过程，在这个过程中我们可以发现许多思维的火花，智慧的启迪，而我们却熟视无睹。
二、 基于思考，展开实践
在调查分析、深入思考之后，我想通过“认识价值——注重体验——强化行为”的三步曲来改变现状，引导学生会写分析型草稿，爱用分析型草稿。
（一） 交流讨论中认识应用价值
不了解它的价值，是“分析型草稿”被忽视的重要原因。于是，我在10月初上了一节数学综合实践课“分析型草稿，你是谁？”，引導学生围绕“什么是‘数学分析型草稿’？它的价值何在？”展开讨论。课上展示了学生使用了一个月的草稿本，大家都发现了分析型草稿较少的现象。在讨论中，学生们明确了数学分析型草稿是指在数学学习中，应用假设、列表、列举、画图、转化等数学方法解决实际问题时写的分析思考的草稿，还了解到很多数学家收集并珍藏自己草稿的故事。同学们各抒己见，在思想的碰撞与热烈的交流中，共同认识了分析型草稿的价值。
（二） 亲身体验中感受重要作用
我们真的很需要“分析型草稿”吗？我们真的离不开它？只有亲身感受它的重要作用，它的不可取代，才能真正接纳它。
1. 感受新课学习需要借助“分析型草稿”弄清题意
《长方体和正方体》《解决问题的策略》等单元在教学例题时就有引导学生通过画线段图、示意图分析题意的环节。在新课教学中我特别关注学生的分析草稿，结合所学知识进行指导，让学生切实感受到有些题目不画图，不在草稿本上写出思路，是很难空想出来的，应该让学生通过具体的实例感受“分析型草稿”的重要作用。
如苏教版第十一册数学教科书中有一道思考题：
一个长方形，如果高增加2厘米，就变成一个正方形。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
这题已画好现成的直观图，学生只需看图分析就可以了。但是课后练习中有一题与之相类似，却没有图示，如下：
一个正方体，增高4厘米，变成了一个长方体，这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？
全班三分之二的学生因没有画图而觉得十分困难。我趁热打铁分别让画图解决了问题和没画图做错的学生谈了各自的感受，让学生在体验中深深感受到“分析型草稿”的重要作用。
2. 感受各类题型需要依托“分析型草稿”明确思路
不仅仅是应用题和几何图形题需要“分析型草稿”，我们在做填空题、选择题、判断题时也可能需要借助它来分析问题。比如下面一道选择题：
小明看小强在北偏东35°的方向上，小强看小明在（ ）的方向上。
A. 北偏东35°
B. 南偏西35°
C. 北偏东55°
D. 南偏西55°
这题得分率为75%。比较典型的错误选择是“D”，究其原因，我发现学生在参照物发生变化的情况下，描述物体的位置关系没问题，但是对于角度的转换不够清晰，如果能主动画图，就非常直观了。
再如有这样一道填空题：
张强买一个铅笔盒用去所带钱数的一半，买一本笔记本又用去4元，这时还剩16元，张强原来带了（ ）元钱。
学生往往会列出（16-4）×2这样的错误算式。我则要求学生先在草稿本上画出线段图，帮助思考。结果学生利用线段图很快发现了正确的数量关系。
3. 感受不同课型需要利用“分析型草稿”打开思路
分析型草稿的作用不仅仅在新授课中体现，在数学复习课、练习课、实践活动课等课型中也得到充分体现。在《可能性》总复习一课上，我结合教材中的“整理与反思”，设计了让学生根据素材在草稿上整理知识并交流展示的环节，如下。 谈话：同学们今天让我们一起来复习小学阶段有关可能性的知识。老师给同学们一些素材（5个布袋，袋中球颜色分别是4红、1红3黄、2红2黄、3红1黄、4黄），根据所给素材你们能整理出哪些可能性的知识和内容？
学生把想法写在草稿上，再在小组里交流，由组长汇总后在全班汇报。（课件出示5个布袋，编上号）
教师参与到各组的交流中，了解学生整理知识的情况。
全班交流时，请A、B、C三个不同层次的学生展示整理的内容。
教师在相机指导过程中现场板书，与学生共同完善“小学阶段可能性知识结构”。
这一课例让学生深深感受到“分析型草稿”的再利用价值，我们可以利用已有的草稿去解决类似的实际问题。
（三） 行为强化中成为行家里手
行为强化需要一定的强化机制与评价机制，为了让学生们能更快更有效地形成主动借助“分析型草稿”解题的习惯，我采用了以下措施。
1. 制定书写规则
在几次深刻的亲身体验后，全班学生均感受到“分析型草稿”的重要价值，在与学生的共同探讨中，我们制定了“六（3）班学生分析型草稿书写规则”。如下：
①将草稿本一页纸一折四份，即四竖行。按从左往右，从上往下的顺序书写。分析型草稿可以两竖行合用。
②写分析型草稿要保持草稿本的整洁，不要乱涂乱画。
③注意分析型草稿书写的条理性。草稿上必须注明题号或顺序号，然后再解答。这样复查时可方便查找、核对。
④需要通过画图解决的，一般也要在草稿上考虑好图形的大小、位置、形状等，尽量合理安排空间。线段图要用尺画。
2. 关注细节指导
①草稿指导重平时。“分析型草稿”很重要，但是，如何写？何时写？大部分学生很茫然。于是，在教学中只要遇到需要画线段图、示意图、几何图形等分析型草稿的题目时，我均让学生先说说如何解决，然后放手让他们去写去画，并适时指导。
②作业订正带草稿。在教学中对于订正一遍又错的情况，我班规定第二次再错必须将草稿同时拿给老师看过程，并主动分析出错因。因此，即使想看别人现成答案的同学，也趁早打消了这个念头。
③考试结束收草稿。每次测试结束，我班就随即将草稿本收上来。此举首先是给学生“请认真写草稿”的暗示，其次也便于评讲试卷时，学生可以对照草稿找出错因，再者教师也可以从学生草稿中发现共性的问题。
④試卷订正要过程。试卷上经常有填空、判断、选择等只需写出一个结果的题型。在订正时有些学生就会自己不动脑筋，看别人一个正确答案后抄到试卷上。因此，我班的试卷，只要有错题均要在草稿上写出分析过程。这样既让老师了解了学生的解题思路，也敦促了学生要认真分析错因，培养严谨的学习态度。
⑤带着草稿上展台。在数学复习课、练习课、实践活动课等不同课型的课中，只要有机会让学生来讲解的，我都把权力交给学生，让他们带着草稿上展台来当小老师。从前面《可能性》总复习的课例中可见一斑。
3. 开展定期评价
有要求，就要有跟进评价，我采取了定期评价的措施。
①每天一评。根据每一天的作业，开展分析型草稿应用监控。主要采用教师监督指导，学生自评为主。部分学困生与优生结对互评，由于一开始活动时，习惯都还没有养成，他们需要在同伴的指导下边扶边放的来完成，当能力初步形成时我们还采用了四人小组评比。
②每周一结。每一周上交学生的草稿本，教师根据每个学生的情况有的放矢进行小结、评价。我主要通过投影展示草稿，家长会发表扬信等形式进行表扬鼓励，同时与较欠缺的学生谈心交流，激励他们迎头赶上。
③每月一展。每一个月根据学生四个星期的表现，进行分析型草稿的展览，在教室里建立起展览的小天地。通过草稿本展览，学生们展示和学习的机会多了，积极性和兴趣也不断提高。
④学期一奖。将学生一学期的草稿本全部发到个人手中，通过同学之间的横向比较比，评选“分析型草稿小能手”。通过自己现在与过去的纵向比较，评选“分析型草稿进步星”。
通过各种措施的不断强化及亲身实践，学生们逐步体会到分析型草稿的重要意义和价值。
三、 依托实践，反思提升
一学期下来，学生的草稿发生了巨大变化，作业质量显著提高，期末成绩也取得较大进步。那么此项研究对学生有哪些影响，我认为至少有以下三方面。
（一） 提升数学素养
分析型草稿的有效应用实际上就是引导学生学会用数学语言进行分析，它为学生提供了展示思维的平台。在教学中，只要有机会我就指导学生借助分析型草稿解决问题，特别是几何图形的题目，学生从草稿演示中，能较好的建立组合形体的表象，找出其内在的规律和解题方法。
（二） 增强合作意识
学生间的交往、合作是否顺利、融洽，取决于学生是否掌握一定的技巧。“分析型草稿”更好地为学生合作交流提供平台。教师可以借助平台，引导学生学会将他山之石变为自己的美玉。
（三） 习得学习方法
应用分析型草稿的过程，就是在习得解题方法。并且草稿每天要写，又在不断巩固。从课堂上和作业中的分析型草稿中你可以学到非常多的思路和想法，通过定期的交流展示，能够更好地促进他们的思维发展。
一路走来，虽苦犹甜。作为一名小班数学教师，我将结合个案研究继续深入下去，真正去关注每一位学生分析型草稿的应用，让他们的数学学习能力得到进一步提升。
作者简介：
杨有慧，江苏省南京市，南京市海英小学。