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摘 要:对于考试中的压轴题,学生总是很畏惧。初中的教学非常注重学生的逻辑思维能力和解决问题能力的培养。平时的考试试题也考查学生分析问题的能力。特别是压轴题综合性强,需要学生去根据题干条件分析问题、解决问题。笔者所在年级段,有每周一次压题训练,目的是提升学生的解题能力,培养学生的思维能力。现以2018年福建省中考题最后一道压轴题为例,探索解法自然生成过程,希望能给学生们有所启示。
关键词:依存关系;分析能力;自然解法
一、 题目呈现
(2018·福建)已知抛物线y=ax2 bx c过点A(0,2)。
(1)若点(-2,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x10;当0 ①求抛物线解析式;
②若点P与点O关于点A对称,且O、M、N三点共线,求证:PA平分∠MPN。
此题看似很复杂,其实只要读懂题干条件,顺着题干条件的意思顺藤摸瓜,思路就可以打开了。
二、 解法探究
(一) 靠拢高中 无独有偶
先对第(1)、(2)①这两问进行分析:(1)由抛物线经过点A可求出c=2,再代入(-2,0)即可得出2a-2b 2=0(a≠0);
(2)①根据x10,有x1-x2<0,y1-y2<0,当x<0时,y随x的增大而增大;同理:当x>0时,y随x的增大而减小,由二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴且开口向下,进而可得出b=0,由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形,结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形,设线段BC与y轴交于点D,根据等边三角形的性质可得出点C的坐标,再利用待定系数法可求出a值,即c=2,b=0,a=-1,抛物线的解析式为y=-x2 2;
(二) 过程繁琐 体现能力
②由①的结论可得出点M的坐标为(x1,-x21 2),点N的坐标为(x2,-x22 2),由O、M、N三点共线可得出
x2=-2x1,进而可得出点N及点N′的坐标,由点A、M的坐标利用待定系數法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上,进而即可证出PA平分∠MPN。
②证明:由①可知,M的坐标为(x1,-x21 2),点N的坐标为(x2,-x22 2)。
直线OM的解析式为y=k1x(k1≠0)。
∵O、M、N三点共线,
∴x1≠0,x2≠0,且-x21 2x1=-x22 2x2,
∴x1x2=-2,即x2=-2x1,
∴点N的坐标为-2x1,-4x21 2。
设点N关于y轴的对称点为点N′,则点N′的坐标为2x1,-4x21 2。
∵点P是点O关于点A的对称点,
∴OP=2OA=4,即点P的坐标为(0,4)。
设直线PM的解析式为y=k2x 4,
∵点M的坐标为(x1,-x21 2),
∴-x21 2=k2x1 4,即有k2=-x21 2x1,
∴直线PM的解析式为y=-x21 2x1x 4。
∵-x21 2x1·2x1 4=-2(x21 2) 4x21x21=-4x21 2,
∴点N′在直线PM上,即PA平分∠MPN。
(三) 借用三角函数 解决几何问题
②设直线MN:y=kx,则kx=-x2 2,
x1 x2=-k,x1x2=-2,x2=-k-x1
∵O、M、N三点共线,故不妨令M左,N右
作ME⊥y轴于E,NF⊥y轴于F,则P(0,4)
tan∠1=MEPE=-x14-y1=-x14-kx1=-x14-kx1·x2x2=x1x2kx1x2-4x2=1k 2x2
tan∠2=NFPF=-x24-y2=-x24-kx2=-x24-kx2·x1x1=x1x24x1-kx1x2=12x2 2
∴∠1=∠2,即PA平分∠MPN。
三、 解后反思
《立足学科本质 关注理性思维》提出数学学科的命题坚持“立足本质、着眼素养、合理综合、关注应用、适度创新”的原则,注重“四基”,突出能力,关注理性思维,明晰教学导向。
命题立足初中数学各板块知识所承载的教育价值,关注数学学科的育人功能,突出考查理性思维,“图形与几何”关注演绎推理,着重考查推理的逻辑性与条理性,关注论据的充分性,强调“言必有据”。
任何一种自然解法都是基于学生已有基础知识和解题经验,具有一定的思维含量。有的易想难算,有的易算难想。读懂题目,顺着题目的意思,根据自己所学知识摸出一条路线解决问题。改进我们的教学,引导学生分析挖掘好题中的奥妙,让压轴题回归到双基,这样数学学习才不再成为困难。
参考文献:
[1]叶先玖.顺知顺时自然解 回归回味顺势得[J].中学数学教学参考,2017(4).
作者简介:周明珠,福建省泉州市,福建省泉州第一中学。
关键词:依存关系;分析能力;自然解法
一、 题目呈现
(2018·福建)已知抛物线y=ax2 bx c过点A(0,2)。
(1)若点(-2,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1
②若点P与点O关于点A对称,且O、M、N三点共线,求证:PA平分∠MPN。
此题看似很复杂,其实只要读懂题干条件,顺着题干条件的意思顺藤摸瓜,思路就可以打开了。
二、 解法探究
(一) 靠拢高中 无独有偶
先对第(1)、(2)①这两问进行分析:(1)由抛物线经过点A可求出c=2,再代入(-2,0)即可得出2a-2b 2=0(a≠0);
(2)①根据x1
(二) 过程繁琐 体现能力
②由①的结论可得出点M的坐标为(x1,-x21 2),点N的坐标为(x2,-x22 2),由O、M、N三点共线可得出
x2=-2x1,进而可得出点N及点N′的坐标,由点A、M的坐标利用待定系數法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上,进而即可证出PA平分∠MPN。
②证明:由①可知,M的坐标为(x1,-x21 2),点N的坐标为(x2,-x22 2)。
直线OM的解析式为y=k1x(k1≠0)。
∵O、M、N三点共线,
∴x1≠0,x2≠0,且-x21 2x1=-x22 2x2,
∴x1x2=-2,即x2=-2x1,
∴点N的坐标为-2x1,-4x21 2。
设点N关于y轴的对称点为点N′,则点N′的坐标为2x1,-4x21 2。
∵点P是点O关于点A的对称点,
∴OP=2OA=4,即点P的坐标为(0,4)。
设直线PM的解析式为y=k2x 4,
∵点M的坐标为(x1,-x21 2),
∴-x21 2=k2x1 4,即有k2=-x21 2x1,
∴直线PM的解析式为y=-x21 2x1x 4。
∵-x21 2x1·2x1 4=-2(x21 2) 4x21x21=-4x21 2,
∴点N′在直线PM上,即PA平分∠MPN。
(三) 借用三角函数 解决几何问题
②设直线MN:y=kx,则kx=-x2 2,
x1 x2=-k,x1x2=-2,x2=-k-x1
∵O、M、N三点共线,故不妨令M左,N右
作ME⊥y轴于E,NF⊥y轴于F,则P(0,4)
tan∠1=MEPE=-x14-y1=-x14-kx1=-x14-kx1·x2x2=x1x2kx1x2-4x2=1k 2x2
tan∠2=NFPF=-x24-y2=-x24-kx2=-x24-kx2·x1x1=x1x24x1-kx1x2=12x2 2
∴∠1=∠2,即PA平分∠MPN。
三、 解后反思
《立足学科本质 关注理性思维》提出数学学科的命题坚持“立足本质、着眼素养、合理综合、关注应用、适度创新”的原则,注重“四基”,突出能力,关注理性思维,明晰教学导向。
命题立足初中数学各板块知识所承载的教育价值,关注数学学科的育人功能,突出考查理性思维,“图形与几何”关注演绎推理,着重考查推理的逻辑性与条理性,关注论据的充分性,强调“言必有据”。
任何一种自然解法都是基于学生已有基础知识和解题经验,具有一定的思维含量。有的易想难算,有的易算难想。读懂题目,顺着题目的意思,根据自己所学知识摸出一条路线解决问题。改进我们的教学,引导学生分析挖掘好题中的奥妙,让压轴题回归到双基,这样数学学习才不再成为困难。
参考文献:
[1]叶先玖.顺知顺时自然解 回归回味顺势得[J].中学数学教学参考,2017(4).
作者简介:周明珠,福建省泉州市,福建省泉州第一中学。