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储冬生 江苏省特级教师，全国优课评比一等奖获得者，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人，南通市“226高层次人才培养工程”中青年科技领军人才，南通市优秀教育工作者，南通市名师培养对象，海安县十大杰出青年，海安县专业技术拔尖人才。现主持江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题《本原性问题驱动小学数学课堂教学的实践研究》，先后在《人民教育》《江苏教育》等报刊上发表文章100多篇，曾7次获得江苏省教育厅组织的“教海探航”“师陶杯”征文评比一等奖。
提问：我不报你也能接着往下画吗？
（生画）
提问：老师不说停，你准备就这样一直画下去吗？
指出：后面可以用“……”代替。
2.提问：在这组图形中照这样画下去，第13个图形是什么？
要求：请大家把自己的想法表示在作业本上。
（学生先独立思考，再将自己的想法和同桌交流）
3.展示、交流、汇报。
预设：
方法一：画图
学生依据自己发现的规律依次画出所有的图形，直至第13个。
方法二：推想
第1、3、5、7……是圆形；（单数）
第2、4、6、8……是三角形。（双数）
师：大家明白这种想法的意思吗？ （引导说出位置是单数的都是圆形，双数的都是三角形）
方法三：计算
13÷2=6（组）……1（个）
提问：从这个算式就能知道，第13个图形是什么吗？为什么？
（学生可以先在组内研讨，然后再交流）
追问：
（1）“2”是从哪里来的？（把2个图形看作一组）
（2）“6”是什么意思？（13个图形，一共有这样的6组，所以6表示有完整的6组）
（3）余数“1”呢？（是第7组的第1个，和每组的第1个相同）
（说明和分析的过程，可以和前面提到的画图的方法结合起来）
4.小结：同学们用画图、推想、计算这些不同的方法解决了问题。每人都有一个苹果交换后还是每人一个苹果，但是每人都有一种方法，交流后我们每个人就都拥有了几种不同的方法！
【设计说明】将找规律问题浓缩在简单的画图活动中，既简洁明了，又突出周期规律的本质。利用flash构建的操作环境，能够让学生自由呈现操作结果，较好地实现了课件随课堂动态生成。这个环节着重突出多种不同的解决问题的方法，同时沟通这些方法之间内在的、本质的一致性。
（三）算法优化
1.分步出示：○○△△（○○△△）……
提问：请看大屏幕，发现规律了吗？
指出：一般至少要出现2组，我们才能大致确定是按什么规律排列的。
课件出示：照上面那样排下去，从左边起第37个图形是什么？
■看单数、双数还行吗？为什么？（方法有局限性）
■还有人全部画出来吗？为什么不画了？（数量多了，画太麻烦了）
■怎么列算式？
37÷4=9（组）……1（个）
提问：能说说“4”是从哪里来的？“9”是什么意思？余数“1”呢？
追问：如果余数是“2”呢？
点评：我们不但能解决问题，而且能选择合适的方法来解决问题，会的水平又不一样了！
小结：解决周期规律问题一般用除法。
2.出示：○△□○△□……
提问：谁能描述一下这是按什么规律排列的？照这样排下去，从左边起第26个图形是什么？第27个图形呢？
（学生自己尝试解决问题）
指出：这一组中一共出现了三种不同的图形。
汇报：怎样列式？如何判断？
指出：看余数是关键。
提问：怎样根据余数来判断是什么图形呢？
揭示：余几，就是每组的第几个图形。
提问：如果其恰好整除，没有余数我们该怎样判断呢？
揭示：余数为0，即为每组的最后一个图形。
【设计说明】这里重点分析用除法解决周期问题的方法以及注意点，以除法作为重点是在与其他方法的比较当中逐步明晰出来的，对于除法算式中各部分所包含意义的分析，则是对规律本质的追问。两个问题看着和上面的问题相似，其实第一道是图形的数量变多了，第二道是图形的种类有所增加，体现一种内在的提升。教学方式上，以学生自己解决为主，学生自己尝试、交流、互评、反思，教师只相机做一些提示，真正让学生成为探索者、研究者和分享者。
（四）建模拓展
1.过渡：同学们刚才我们一直关注的都是三角形、圆形、正方形等基本图形，倘若不是这些图形，你们还能解决吗？
出示：
⑴※◎※◎※◎※◎※◎
⑵※※◎◎※※◎◎※※◎◎※※◎◎
⑶◎※★◎※★◎※★◎※★◎※★
指出：符号是什么并不重要，关键是它所揭示的规律。
提问：这些符号还可能表示些什么呢？
（学生讨论交流，发现与上面所揭示的规律是一致的）
2.过渡：这些符号有可能反映的就是我们生活中的具体事物的排列规律。
出示主题图：
（1）说一说，第32面旗帜是什么颜色的，你会吗？
（学生尝试解决，再小组交流）
预设：如果有学生一眼就看出这个问题和上一个问题的本质联系，则选择让这个学生来阐释理由。
追问：一样吗？
学生尝试解决这个主题图中的问题，并沟通与前面图形游戏的内在关联。
出示：○○△△○○△△……
（或者：※※◎◎※※◎◎※※◎◎※※◎◎……）
反问：不一样呀！原来是圆形和三角形，现在是彩旗，怎么会一样呢？
（排列的规律是一样的）
小结：只不过是把“○”换成了“红色旗帜”，把“△”换成了“黄色旗帜”，排列规律并没有变。
点评：同学们不但能找出规律，还能不受表象干扰，看到本质，真厉害！
（2）提问：现在再来看一看这些盆花和彩旗，你又有什么发现呢？
……
提问：现在你能提出几个类似的问题由大家来解决吗？
（学生提问，其他同学解决，老师即时点评）
【设计说明】从模型的角度帮助学生理解周期规律的本质，揭示符号背后的丰富与多元。不但关注学生分析和解决问题的能力，更要让学生学会发现问题和提出问题。
（五）综合应用
过渡：同学们今天的表现非常棒！一起响亮地说一声：“我非常棒！”
1.“我非常棒我非常棒……”第9个字是什么字？第12个字呢？第156个呢……
（学生抢答并说明理由）
2.一组笑脸的图标按照下面的顺序排列。
提问：余数是几时是黄颜色的笑脸？余数是几时是红颜色的笑脸？
……
3.上体育课，体育老师让全班46人站成一列，然后“一、二、三、四”报数。报“一”的人往前走四步，报“二”的人往前走两步，报“四”的人往后退两步。这样就得到四列。最后一个同学站在第几列？
（学生自主练习，及时交流）
【设计说明】这组练习重在帮助学生巩固前面学习的内容，问题呈现的形式注重童趣，三道练习从模型的角度看都是相似的，但是在关注点上又各有侧重，不但关注问题的解决，更关注学生解决问题的方法和策略。
（六）总结作业
1.反思拓展
结语：这节课，我们学习了什么？你有什么收获？还有什么问题？……其实，研究数学的一项重大使命就是去找寻规律，运用规律。
■
拓展：日出日落，月圆月缺，潮起潮落，冬去春来，我们就生活在这样有规律的世界中。如果我们能把发现的规律再应用到生活中，我们的生活就会变得更美好、更和谐。再想想，我们的生活中难道只有这些规律吗？课后请同学们带着一双发现的眼睛走进生活去继续你们的思考和发现吧！
2.分层作业。
（1）（★）圈一圈，算一算。
▲○○▲▲○○▲▲○○▲▲○……
排列在第19个的是（ ），第200个……是（ ）。
我们爱数学我们爱数学我们爱数学……第99个字是（ ）。
（2）（★★）议一议，填一填。
把一些数按下面的规律排列：
1，-1，2，-2，3，-3，……
第25个数是正数，还是负数？（ ）
第50个数是正数，还是负数？你知道它是多少吗？（ ）
（3）（★★★）补充提高题：1÷7=
观察计算结果，你发现了什么？
小数部分，第100位是几？
小数部分，前100位中有几个1？
小数部分，前100个数字的和是多少？
[学生分层作业，（1）（2）当堂完成，（3）机动，引导学有余力的学生课后思考]
【设计说明】通过回顾让学生学会梳理所学内容；通过欣赏让学生进一步感受规律的魅力；通过分层练习帮助学生查漏补缺、拓展提升，将学生的学习活动进一步向课后延伸、向生活拓展，力争既让学困生能“吃好”，又让优等生能“吃饱”。
四、反思与总结
本课教学中努力让学生站在课堂中央，关注学生“学什么”，更关注学生“怎么学”“学得怎样”，如何“学得更轻松、更愉悦、更有后劲”。着力追求用“生动的形式”（符合儿童认知规律）来诠释“深刻的内涵”（凸显数学本质），让学生在探索和发现规律的过程中，体会画图、列举、计算等多样化的解决问题的策略以及逐步优化的过程。培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，引导学生学会用数学的眼光去审视生活，用数学的思维方式去解决问题，用数学的语言去表达和交流。
第一，让学习过程真正成为学生生活常识的系统化过程。对于学生而言，有不少数学知识在一定程度上都是“旧知识”，在他们的生活中有许多与之相关的体验，每一个学生都从他们的现实世界出发，与教学内容发生交互作用，建构他们自己的数学知识体系。
第二，让学习过程真正成为学生自己的活动过程。数学学习是学生通过自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解的过程。数学教学中要创造尽可能多的机会让每个学生都有可能进行自主探索、合作交流、积极思考、操作体验等活动。
第三，让学习过程真正成为学生思维的历练过程。数学知识具有内在的逻辑体系和抽象性，数学学习的过程本质上是一个思考的过程。思考是学生学习数学认知过程的本质特点。小学生的数学学习是一个具体形象思维和抽象逻辑思维相结合的思考过程。
第四，让学习过程真正成为学生的“再创造”过程。虽然学生要学的数学知识都是前人已经发现的，但对学生而言却是全新的、未知的。教师不能简单地将知识直接灌输给学生，而是要引领学生经历数学史上那些“关键的步子”，尽可能再现类似的“再创造”过程。
总之，数学教学应以“经验”“活动”“思考”“创造”这四个核心要素为抓手，围绕“让学习真正发生”来充分展开，深度关注学生学习的行为方式、认知策略和情感体验，真正让学生成为学习活动的主体，成为探索知识的发现者、建构者和创造者，而不是简单的模仿者。
提问：我不报你也能接着往下画吗？
（生画）
提问：老师不说停，你准备就这样一直画下去吗？
指出：后面可以用“……”代替。
2.提问：在这组图形中照这样画下去，第13个图形是什么？
要求：请大家把自己的想法表示在作业本上。
（学生先独立思考，再将自己的想法和同桌交流）
3.展示、交流、汇报。
预设：
方法一：画图
学生依据自己发现的规律依次画出所有的图形，直至第13个。
方法二：推想
第1、3、5、7……是圆形；（单数）
第2、4、6、8……是三角形。（双数）
师：大家明白这种想法的意思吗？ （引导说出位置是单数的都是圆形，双数的都是三角形）
方法三：计算
13÷2=6（组）……1（个）
提问：从这个算式就能知道，第13个图形是什么吗？为什么？
（学生可以先在组内研讨，然后再交流）
追问：
（1）“2”是从哪里来的？（把2个图形看作一组）
（2）“6”是什么意思？（13个图形，一共有这样的6组，所以6表示有完整的6组）
（3）余数“1”呢？（是第7组的第1个，和每组的第1个相同）
（说明和分析的过程，可以和前面提到的画图的方法结合起来）
4.小结：同学们用画图、推想、计算这些不同的方法解决了问题。每人都有一个苹果交换后还是每人一个苹果，但是每人都有一种方法，交流后我们每个人就都拥有了几种不同的方法！
【设计说明】将找规律问题浓缩在简单的画图活动中，既简洁明了，又突出周期规律的本质。利用flash构建的操作环境，能够让学生自由呈现操作结果，较好地实现了课件随课堂动态生成。这个环节着重突出多种不同的解决问题的方法，同时沟通这些方法之间内在的、本质的一致性。
（三）算法优化
1.分步出示：○○△△（○○△△）……
提问：请看大屏幕，发现规律了吗？
指出：一般至少要出现2组，我们才能大致确定是按什么规律排列的。
课件出示：照上面那样排下去，从左边起第37个图形是什么？
■看单数、双数还行吗？为什么？（方法有局限性）
■还有人全部画出来吗？为什么不画了？（数量多了，画太麻烦了）
■怎么列算式？
37÷4=9（组）……1（个）
提问：能说说“4”是从哪里来的？“9”是什么意思？余数“1”呢？
追问：如果余数是“2”呢？
点评：我们不但能解决问题，而且能选择合适的方法来解决问题，会的水平又不一样了！
小结：解决周期规律问题一般用除法。
2.出示：○△□○△□……
提问：谁能描述一下这是按什么规律排列的？照这样排下去，从左边起第26个图形是什么？第27个图形呢？
（学生自己尝试解决问题）
指出：这一组中一共出现了三种不同的图形。
汇报：怎样列式？如何判断？
指出：看余数是关键。
提问：怎样根据余数来判断是什么图形呢？
揭示：余几，就是每组的第几个图形。
提问：如果其恰好整除，没有余数我们该怎样判断呢？
揭示：余数为0，即为每组的最后一个图形。
【设计说明】这里重点分析用除法解决周期问题的方法以及注意点，以除法作为重点是在与其他方法的比较当中逐步明晰出来的，对于除法算式中各部分所包含意义的分析，则是对规律本质的追问。两个问题看着和上面的问题相似，其实第一道是图形的数量变多了，第二道是图形的种类有所增加，体现一种内在的提升。教学方式上，以学生自己解决为主，学生自己尝试、交流、互评、反思，教师只相机做一些提示，真正让学生成为探索者、研究者和分享者。
（四）建模拓展
1.过渡：同学们刚才我们一直关注的都是三角形、圆形、正方形等基本图形，倘若不是这些图形，你们还能解决吗？
出示：
⑴※◎※◎※◎※◎※◎
⑵※※◎◎※※◎◎※※◎◎※※◎◎
⑶◎※★◎※★◎※★◎※★◎※★
指出：符号是什么并不重要，关键是它所揭示的规律。
提问：这些符号还可能表示些什么呢？
（学生讨论交流，发现与上面所揭示的规律是一致的）
2.过渡：这些符号有可能反映的就是我们生活中的具体事物的排列规律。
出示主题图：
（1）说一说，第32面旗帜是什么颜色的，你会吗？
（学生尝试解决，再小组交流）
预设：如果有学生一眼就看出这个问题和上一个问题的本质联系，则选择让这个学生来阐释理由。
追问：一样吗？
学生尝试解决这个主题图中的问题，并沟通与前面图形游戏的内在关联。
出示：○○△△○○△△……
（或者：※※◎◎※※◎◎※※◎◎※※◎◎……）
反问：不一样呀！原来是圆形和三角形，现在是彩旗，怎么会一样呢？
（排列的规律是一样的）
小结：只不过是把“○”换成了“红色旗帜”，把“△”换成了“黄色旗帜”，排列规律并没有变。
点评：同学们不但能找出规律，还能不受表象干扰，看到本质，真厉害！
（2）提问：现在再来看一看这些盆花和彩旗，你又有什么发现呢？
……
提问：现在你能提出几个类似的问题由大家来解决吗？
（学生提问，其他同学解决，老师即时点评）
【设计说明】从模型的角度帮助学生理解周期规律的本质，揭示符号背后的丰富与多元。不但关注学生分析和解决问题的能力，更要让学生学会发现问题和提出问题。
（五）综合应用
过渡：同学们今天的表现非常棒！一起响亮地说一声：“我非常棒！”
1.“我非常棒我非常棒……”第9个字是什么字？第12个字呢？第156个呢……
（学生抢答并说明理由）
2.一组笑脸的图标按照下面的顺序排列。
提问：余数是几时是黄颜色的笑脸？余数是几时是红颜色的笑脸？
……
3.上体育课，体育老师让全班46人站成一列，然后“一、二、三、四”报数。报“一”的人往前走四步，报“二”的人往前走两步，报“四”的人往后退两步。这样就得到四列。最后一个同学站在第几列？
（学生自主练习，及时交流）
【设计说明】这组练习重在帮助学生巩固前面学习的内容，问题呈现的形式注重童趣，三道练习从模型的角度看都是相似的，但是在关注点上又各有侧重，不但关注问题的解决，更关注学生解决问题的方法和策略。
（六）总结作业
1.反思拓展
结语：这节课，我们学习了什么？你有什么收获？还有什么问题？……其实，研究数学的一项重大使命就是去找寻规律，运用规律。
■
拓展：日出日落，月圆月缺，潮起潮落，冬去春来，我们就生活在这样有规律的世界中。如果我们能把发现的规律再应用到生活中，我们的生活就会变得更美好、更和谐。再想想，我们的生活中难道只有这些规律吗？课后请同学们带着一双发现的眼睛走进生活去继续你们的思考和发现吧！
2.分层作业。
（1）（★）圈一圈，算一算。
▲○○▲▲○○▲▲○○▲▲○……
排列在第19个的是（ ），第200个……是（ ）。
我们爱数学我们爱数学我们爱数学……第99个字是（ ）。
（2）（★★）议一议，填一填。
把一些数按下面的规律排列：
1，-1，2，-2，3，-3，……
第25个数是正数，还是负数？（ ）
第50个数是正数，还是负数？你知道它是多少吗？（ ）
（3）（★★★）补充提高题：1÷7=
观察计算结果，你发现了什么？
小数部分，第100位是几？
小数部分，前100位中有几个1？
小数部分，前100个数字的和是多少？
[学生分层作业，（1）（2）当堂完成，（3）机动，引导学有余力的学生课后思考]
【设计说明】通过回顾让学生学会梳理所学内容；通过欣赏让学生进一步感受规律的魅力；通过分层练习帮助学生查漏补缺、拓展提升，将学生的学习活动进一步向课后延伸、向生活拓展，力争既让学困生能“吃好”，又让优等生能“吃饱”。
四、反思与总结
本课教学中努力让学生站在课堂中央，关注学生“学什么”，更关注学生“怎么学”“学得怎样”，如何“学得更轻松、更愉悦、更有后劲”。着力追求用“生动的形式”（符合儿童认知规律）来诠释“深刻的内涵”（凸显数学本质），让学生在探索和发现规律的过程中，体会画图、列举、计算等多样化的解决问题的策略以及逐步优化的过程。培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，引导学生学会用数学的眼光去审视生活，用数学的思维方式去解决问题，用数学的语言去表达和交流。
第一，让学习过程真正成为学生生活常识的系统化过程。对于学生而言，有不少数学知识在一定程度上都是“旧知识”，在他们的生活中有许多与之相关的体验，每一个学生都从他们的现实世界出发，与教学内容发生交互作用，建构他们自己的数学知识体系。
第二，让学习过程真正成为学生自己的活动过程。数学学习是学生通过自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解的过程。数学教学中要创造尽可能多的机会让每个学生都有可能进行自主探索、合作交流、积极思考、操作体验等活动。
第三，让学习过程真正成为学生思维的历练过程。数学知识具有内在的逻辑体系和抽象性，数学学习的过程本质上是一个思考的过程。思考是学生学习数学认知过程的本质特点。小学生的数学学习是一个具体形象思维和抽象逻辑思维相结合的思考过程。
第四，让学习过程真正成为学生的“再创造”过程。虽然学生要学的数学知识都是前人已经发现的，但对学生而言却是全新的、未知的。教师不能简单地将知识直接灌输给学生，而是要引领学生经历数学史上那些“关键的步子”，尽可能再现类似的“再创造”过程。
总之，数学教学应以“经验”“活动”“思考”“创造”这四个核心要素为抓手，围绕“让学习真正发生”来充分展开，深度关注学生学习的行为方式、认知策略和情感体验，真正让学生成为学习活动的主体，成为探索知识的发现者、建构者和创造者，而不是简单的模仿者。