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推理是数学的基本思维过程,高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力. 由于解答高考试题的过程就是推理的过程,因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中. 在复习时,应注意理解常用的推理的方法,了解其含义,掌握其过程.
例1 设函数[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，则[f(5)=]（ ）
A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]
解析 法一：利用类比推理.
本题为抽象函数，只给出了性质，没有给出具体函数及特征，未给出解析式. 根据给出性质，与正比例函数相似，故可用正比例函数[y=kx]进行类比，由于[f(1)=12]，则[f(x)=12x]，该函数是奇函数，且满足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即该函数符合题设条件，则[f(5)=52]，选C.
法二：利用演绎推理.
∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，
则[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，
∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，
而[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，
则[f(-1)=-f(1)=-12]，
∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，
再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，
∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，选C.
点拨 本题的两种解题途径，其一是类比推理，其二是演绎推理；如果作为解答题，类比推理的结论是不可靠的，作为选择题，由于四个选项中只有一个是正确的，暗示着符合题目的条件任何函数[f(x)]，则[f(5)]的值不会改变，既然如此，可选取一个特殊函数即可. 对于抽象函数的问题可以通过类比方法得出结论. 几种常见的抽象函数的类比函数可见下表：
[函数[f(x)]满足的条件&可类比函数&[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]&正比例函数 [y=kx]&[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]&指数函数[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）&[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]&对数函数[y=logax]（[x>0)]&[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]&幂函数[y=xn]&[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]&余弦函数[y=cosx]&]
例2 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第[2,3,4,⋯]，[n]堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第[n]堆第[n]层就放一个乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球总数，则[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.
[…]
分析 要求出[f(3)]的值不难，但要求出[f(n)]的表达式，则必需寻找规律，能否从特殊到一般，探索其一般规律；如果[f(n)]的规律难找，可先求第[n]堆乒乓球的每一层的乒乓球的数量规律，然后再求这[n]层的乒乓球数量之和即为所求的[f(n)].
解 法一：利用归纳推理.
设第[n]堆底层的乒乓球的数量为[an],
则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，
[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2]，
根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即
[f(n)=a1+a2+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]
故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]
[=n(n+1)(n+2)6].
法二：利用递推关系.
由于第[n]堆底层的乒乓球的数量为
[1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n),]
而第2堆乒乓球比第1堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(2)-f(1)=12(22+2)]，
第3堆乒乓球比第2堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(3)-f(2)=12(32+3)]，
…
第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一层，即多了第[n]堆的底层，则[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]
以上[n]个不等式相加得
[f(n)-f(1)=12[(22+32+⋯+n2)+(2+3+⋯+n)],]
而[f(1)=1]，
故[f(n)=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]
[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]
[=n(n+1)(n+2)6].
法三：利用组合数的性质.
设第[n]堆乒乓球底层的的数量为[an],
则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…
[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=C2n+1]，
根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即
[f(n)=a1+a2+⋯+an=C22+C23+C24+⋯+C2n+1，]
而[C22=C33]，
则[f(n)=C33+C23+C24+⋯+C2n+1]
[=C24+⋯+C2n+1=⋯=C3n+2,]
因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].
法四：归纳—猜想—证明.
由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，
[f(3)=10=3×4×56,]…
猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].
下面用数学归纳法证明该结论.
（1）显然[n=1]时，猜想成立；
（2）假设[n=k]时猜想成立，
即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，
当[n=k+1]时，由法二知：
[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]
∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]
[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]
故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]
[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2],]
所以[n=k+1]时，猜想也成立.
综上，对任意正整数[n]猜想均成立，
因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].
点拨 本题是一道既考查合情推理能力又考查演绎推理能力的题. 寻找第[n]堆乒乓球每一层的数量规律，需要观察、归纳、猜想的思想，再求和时需要严密的逻辑推理. 法三中求和大胆联想到组合数，法四则利用归纳猜想，需要较强的数学领悟能力. 法三、法四供大家参考.
例3 已知[a、b、c∈(0,1)]，求证：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同时大于[14].
证 法一：假设三式同时大于[14]，
即[(1-a)b>14,][(1-b)c>14,][(1-c)a>14.]
[∵ a、b、c∈(0,1)]，
[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，
又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]
同理[(1-b)b≤14,][(1-c)c≤14.]
[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，
这与假设矛盾，故原命题得证.
法二：假设三式同时大于[14]，
[∵ 00]，
[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,]
同理[(1-b)+c2>12,][(1-c)+a2>12,]
三式相加得[32>32]，这是矛盾的，
故假设错误，所以原命题正确.
点拨 “不能同时大于[14]”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明，即正难则反.
当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法.
用反证法的步骤是：
①否定结论[⇒A⇒B⇒C]；
②而[C]不合理[与公理矛盾,与题设矛盾,与假设自相矛盾;]
③因此结论不能否定，结论成立.
例4 用数学归纳法证明等式 ：
[1-12+13-14+⋯+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+⋯+12n]对所以[n∈N]均成立.
证明 （1）当[n=1]时，
左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，
∴左式=右式，等式成立.
（2）假设当[n=k(k∈N)]时等式成立，
即[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k]
[=1k+1+1k+2+⋯+12k]，
则当[n=k+1]时，
[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k+12k+1-12k+2]
[=(1-12+13-14+⋯+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]
[=(1k+1+1k+2+⋯+12k)+12k+1-12k+2]
[=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+(1k+1-12k+2)]
[=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+1+12k+2]
[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+⋯]
[+1(k+1)+k+12(k+1).]
即[n=k+1]时，等式也成立，
由（1）（2）可知，等式对[n∈N]均成立.
点拨 在利用归纳假设论证[n=k+1]等式成立时，注意分析[n=k]与[n=k+1]的两个等式的差别. [n=k+1]时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由[1k+1]变为[1k+2]. 因此在证明中，右式中的[1k+1]应与-[12k+2]合并，才能得到所证式. 因而，在论证之前，把[n=k+1]时等式的左右两边的结构先作分析常常是有效的.
由本例可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是[f(n)]与[n]的关系；二是[f(k)]与[f(k+1)]的关系.
例5 用数学归纳法证明：
[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+1][(n≥2,n∈N)].
证明 （1）当[n=2]时，
左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，
∵ [649>5]， ∴[649>5]，
即[n=2]时，原不等式成立.
（2）假设[n=k(k≥2, k∈Z)]时，不等式成立，
即[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+1],
则[n=k+1]时，
左边=[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)(1+12k+1)]
[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]
右边=[2k+3]，要证左边>右边，
只要证[2k+22k+1>2k+3]，
只要证[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，
只要证[4k2+8k+4>4k2+8k+3,]
只要证4>3.
而上式显然成立，所以原不等式成立，
即[n=k+1]时，左式>右式.
由（1）（2）可知，原不等式对[n≥2，n∈N]均成立.
点拨 运用数学归纳法证明问题时，关键是[n＝k＋1]时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 在分析[f(k)]与[f(k+1)]的两个不等式，应找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法. 本题关键是证明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决.
例6 已知[f(n)=1+12+13+14+⋯+1n(n∈N),]求证：[n>1]时，[f(2n)>n+22].
证明 （1）[n=2]时，
左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512],
右式=[2+22=2]，
∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.
[n=3]时，
左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+⋯+18],
右式=[3+22=52]，
左式-右式=[15+17-18>0]，
左式>右式，不等式成立.
（2）假设[n=k(k∈N, k≥3)]时不等式成立，
即[f(2k)=1+12+13+14+⋯+12k>k+22]，
当[n=k+1]时，
[f(2k+1)=1+12+13+14+⋯+12k+12k+1]
[+12k+2+⋯+12k+1]
[=f(2k)+12k+1+12k+2+⋯+12k+12k项]
[>k+22+12k+1+12k+1+⋯+12k+12k项]
[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22,]
即[n=k+1]时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，[n>1, n∈N]时，
都有[f(2n)>n+22].
点拨 注意[f(n)]的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为[1n]. 可以通过第一步验证中加强对[f(n)]的理解，本题中验证了[n=]2、3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）. [f(2n)]的表达式应为[f(2n)=]1[+12+13+14+15+⋯+12n-1+12n]. 因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法.
【专题训练九】
1. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果[∠A]和[∠B]是两条平行直线的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]
B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C. 某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人
D. 在数列[{an}]中，[a1=1,an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通项公式
2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）
A. 使用了归纳推理
B. 使用了类比推理
C. 使用了“三段论”，但大前提错误
D. 使用了“三段论”，但小前提错误
3. 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].
4. 已知[a、b、c]都为正数，那么对任意正数[a、b]、[c]，三个数[a+1b、b+1c、c+1a] （ ）
A. 都不大于2 B. 都不小于2
C. 至少有一个不大于2
D. 至少有一个不小于2
5. 定义在[R]上的函数[f(x)]，满足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1 )=2]，那么在下面的四个式子：
①[f(1 )+2f(1 )+⋯+nf(1 )]；
②[fn(n+1)2]；
③[n(n+1 )]；
④[n(n+1)f(1 )].
其中与[f(1 )+f(2)+⋯+f(n)]相等的是（ ）
A. ①③ B. ①②
C. ①②③④ D. ①②③
6. 比较大小[7+6] [8+5]，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式： ；请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，则该不等式可以是 .
7. 如果命题[P(n)]对[n=k]成立，则它对[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]对[n=2]成立，则下列结论正确的是（ ）
A. [P(n)]对所有自然数都成立
B. [P(n)]对所有正偶数都成立
C. [P(n)]对所有正奇数都成立
D. [P(n)]对所有大于1的自然数都成立
8. 设[an＝1×2]＋[2×3]＋…＋[n(n+1)][(n∈N)],证明：[12][n(n＋1)
例1 设函数[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，则[f(5)=]（ ）
A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]
解析 法一：利用类比推理.
本题为抽象函数，只给出了性质，没有给出具体函数及特征，未给出解析式. 根据给出性质，与正比例函数相似，故可用正比例函数[y=kx]进行类比，由于[f(1)=12]，则[f(x)=12x]，该函数是奇函数，且满足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即该函数符合题设条件，则[f(5)=52]，选C.
法二：利用演绎推理.
∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，
则[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，
∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，
而[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，
则[f(-1)=-f(1)=-12]，
∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，
再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，
∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，选C.
点拨 本题的两种解题途径，其一是类比推理，其二是演绎推理；如果作为解答题，类比推理的结论是不可靠的，作为选择题，由于四个选项中只有一个是正确的，暗示着符合题目的条件任何函数[f(x)]，则[f(5)]的值不会改变，既然如此，可选取一个特殊函数即可. 对于抽象函数的问题可以通过类比方法得出结论. 几种常见的抽象函数的类比函数可见下表：
[函数[f(x)]满足的条件&可类比函数&[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]&正比例函数 [y=kx]&[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]&指数函数[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）&[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]&对数函数[y=logax]（[x>0)]&[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]&幂函数[y=xn]&[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]&余弦函数[y=cosx]&]
例2 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第[2,3,4,⋯]，[n]堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第[n]堆第[n]层就放一个乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球总数，则[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.
[…]
分析 要求出[f(3)]的值不难，但要求出[f(n)]的表达式，则必需寻找规律，能否从特殊到一般，探索其一般规律；如果[f(n)]的规律难找，可先求第[n]堆乒乓球的每一层的乒乓球的数量规律，然后再求这[n]层的乒乓球数量之和即为所求的[f(n)].
解 法一：利用归纳推理.
设第[n]堆底层的乒乓球的数量为[an],
则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，
[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2]，
根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即
[f(n)=a1+a2+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]
故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]
[=n(n+1)(n+2)6].
法二：利用递推关系.
由于第[n]堆底层的乒乓球的数量为
[1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n),]
而第2堆乒乓球比第1堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(2)-f(1)=12(22+2)]，
第3堆乒乓球比第2堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(3)-f(2)=12(32+3)]，
…
第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一层，即多了第[n]堆的底层，则[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]
以上[n]个不等式相加得
[f(n)-f(1)=12[(22+32+⋯+n2)+(2+3+⋯+n)],]
而[f(1)=1]，
故[f(n)=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]
[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]
[=n(n+1)(n+2)6].
法三：利用组合数的性质.
设第[n]堆乒乓球底层的的数量为[an],
则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…
[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=C2n+1]，
根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即
[f(n)=a1+a2+⋯+an=C22+C23+C24+⋯+C2n+1，]
而[C22=C33]，
则[f(n)=C33+C23+C24+⋯+C2n+1]
[=C24+⋯+C2n+1=⋯=C3n+2,]
因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].
法四：归纳—猜想—证明.
由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，
[f(3)=10=3×4×56,]…
猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].
下面用数学归纳法证明该结论.
（1）显然[n=1]时，猜想成立；
（2）假设[n=k]时猜想成立，
即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，
当[n=k+1]时，由法二知：
[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]
∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]
[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]
故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]
[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2],]
所以[n=k+1]时，猜想也成立.
综上，对任意正整数[n]猜想均成立，
因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].
点拨 本题是一道既考查合情推理能力又考查演绎推理能力的题. 寻找第[n]堆乒乓球每一层的数量规律，需要观察、归纳、猜想的思想，再求和时需要严密的逻辑推理. 法三中求和大胆联想到组合数，法四则利用归纳猜想，需要较强的数学领悟能力. 法三、法四供大家参考.
例3 已知[a、b、c∈(0,1)]，求证：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同时大于[14].
证 法一：假设三式同时大于[14]，
即[(1-a)b>14,][(1-b)c>14,][(1-c)a>14.]
[∵ a、b、c∈(0,1)]，
[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，
又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]
同理[(1-b)b≤14,][(1-c)c≤14.]
[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，
这与假设矛盾，故原命题得证.
法二：假设三式同时大于[14]，
[∵ 0
[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,]
同理[(1-b)+c2>12,][(1-c)+a2>12,]
三式相加得[32>32]，这是矛盾的，
故假设错误，所以原命题正确.
点拨 “不能同时大于[14]”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明，即正难则反.
当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法.
用反证法的步骤是：
①否定结论[⇒A⇒B⇒C]；
②而[C]不合理[与公理矛盾,与题设矛盾,与假设自相矛盾;]
③因此结论不能否定，结论成立.
例4 用数学归纳法证明等式 ：
[1-12+13-14+⋯+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+⋯+12n]对所以[n∈N]均成立.
证明 （1）当[n=1]时，
左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，
∴左式=右式，等式成立.
（2）假设当[n=k(k∈N)]时等式成立，
即[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k]
[=1k+1+1k+2+⋯+12k]，
则当[n=k+1]时，
[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k+12k+1-12k+2]
[=(1-12+13-14+⋯+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]
[=(1k+1+1k+2+⋯+12k)+12k+1-12k+2]
[=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+(1k+1-12k+2)]
[=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+1+12k+2]
[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+⋯]
[+1(k+1)+k+12(k+1).]
即[n=k+1]时，等式也成立，
由（1）（2）可知，等式对[n∈N]均成立.
点拨 在利用归纳假设论证[n=k+1]等式成立时，注意分析[n=k]与[n=k+1]的两个等式的差别. [n=k+1]时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由[1k+1]变为[1k+2]. 因此在证明中，右式中的[1k+1]应与-[12k+2]合并，才能得到所证式. 因而，在论证之前，把[n=k+1]时等式的左右两边的结构先作分析常常是有效的.
由本例可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是[f(n)]与[n]的关系；二是[f(k)]与[f(k+1)]的关系.
例5 用数学归纳法证明：
[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+1][(n≥2,n∈N)].
证明 （1）当[n=2]时，
左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，
∵ [649>5]， ∴[649>5]，
即[n=2]时，原不等式成立.
（2）假设[n=k(k≥2, k∈Z)]时，不等式成立，
即[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+1],
则[n=k+1]时，
左边=[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)(1+12k+1)]
[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]
右边=[2k+3]，要证左边>右边，
只要证[2k+22k+1>2k+3]，
只要证[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，
只要证[4k2+8k+4>4k2+8k+3,]
只要证4>3.
而上式显然成立，所以原不等式成立，
即[n=k+1]时，左式>右式.
由（1）（2）可知，原不等式对[n≥2，n∈N]均成立.
点拨 运用数学归纳法证明问题时，关键是[n＝k＋1]时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 在分析[f(k)]与[f(k+1)]的两个不等式，应找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法. 本题关键是证明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决.
例6 已知[f(n)=1+12+13+14+⋯+1n(n∈N),]求证：[n>1]时，[f(2n)>n+22].
证明 （1）[n=2]时，
左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512],
右式=[2+22=2]，
∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.
[n=3]时，
左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+⋯+18],
右式=[3+22=52]，
左式-右式=[15+17-18>0]，
左式>右式，不等式成立.
（2）假设[n=k(k∈N, k≥3)]时不等式成立，
即[f(2k)=1+12+13+14+⋯+12k>k+22]，
当[n=k+1]时，
[f(2k+1)=1+12+13+14+⋯+12k+12k+1]
[+12k+2+⋯+12k+1]
[=f(2k)+12k+1+12k+2+⋯+12k+12k项]
[>k+22+12k+1+12k+1+⋯+12k+12k项]
[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22,]
即[n=k+1]时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，[n>1, n∈N]时，
都有[f(2n)>n+22].
点拨 注意[f(n)]的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为[1n]. 可以通过第一步验证中加强对[f(n)]的理解，本题中验证了[n=]2、3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）. [f(2n)]的表达式应为[f(2n)=]1[+12+13+14+15+⋯+12n-1+12n]. 因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法.
【专题训练九】
1. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果[∠A]和[∠B]是两条平行直线的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]
B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C. 某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人
D. 在数列[{an}]中，[a1=1,an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通项公式
2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）
A. 使用了归纳推理
B. 使用了类比推理
C. 使用了“三段论”，但大前提错误
D. 使用了“三段论”，但小前提错误
3. 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].
4. 已知[a、b、c]都为正数，那么对任意正数[a、b]、[c]，三个数[a+1b、b+1c、c+1a] （ ）
A. 都不大于2 B. 都不小于2
C. 至少有一个不大于2
D. 至少有一个不小于2
5. 定义在[R]上的函数[f(x)]，满足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1 )=2]，那么在下面的四个式子：
①[f(1 )+2f(1 )+⋯+nf(1 )]；
②[fn(n+1)2]；
③[n(n+1 )]；
④[n(n+1)f(1 )].
其中与[f(1 )+f(2)+⋯+f(n)]相等的是（ ）
A. ①③ B. ①②
C. ①②③④ D. ①②③
6. 比较大小[7+6] [8+5]，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式： ；请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，则该不等式可以是 .
7. 如果命题[P(n)]对[n=k]成立，则它对[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]对[n=2]成立，则下列结论正确的是（ ）
A. [P(n)]对所有自然数都成立
B. [P(n)]对所有正偶数都成立
C. [P(n)]对所有正奇数都成立
D. [P(n)]对所有大于1的自然数都成立
8. 设[an＝1×2]＋[2×3]＋…＋[n(n+1)][(n∈N)],证明：[12][n(n＋1)