论文部分内容阅读
【摘要】根据钩织毛衣加针的问题，将钩织毛衣的方向体现在数字正负中，构建一个新的序列，并与斐波那契序列作比较将新序列定义为类斐波那契序列，提出并证明其计算公式和若干性质.
【关键词】斐波那契；序列；类斐波那契序列
引言：近年考虑钩织毛衣时，一针加成所需针数的问题：将一针用下列原则织几行加成21针，这时织衣的方向如何？原则：（1）新加的针不能加针；（2）只要不是上一行新加的针，本行就加上一针且只加一针；（3）规定从左到右钩织的方向为正方向，这时针数记为正数；（4）为了不将毛衣面翻转，正方向我用左手钩织，负方向我用右手钩织.解此问题见图1.
图1 从1针加到21针，方向为负
图1中空白格表示与加针无关的地方，“X”表示可加一针的针，“o”表示刚加出的一针，“x”表示上一行新加的针，这一行已经变成可加一针的针.由表1可看出问题的答案为：再钩织7行，可将1针加成21针，方向为负，即由右到左，我应该用右手钩织.
此问题中新数列的前几项为0,1，-1,2，-3,5，-8，13，-21，34，-55，…，且满足递推关系rn+2=rn-rn+1和初始条件r0=0，r1=1.
1类斐波那契序列
引言中提到的数列偶数项为斐波那契序列偶数项的相反数，将其命名为类斐波那契序列.
定义1.1 满足递推关系和初始条件rn+2=rn-rn+1(n≥2)，r0=0，r1=1的数列r0,r1,r2,r3,…叫作类斐波那契序列，序列的项叫作类斐波那契数.
下面讨论类斐波那契序列的公式.
定理1.2 类斐波那契数满足公式
rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0).
证明 由递推公式rn+2=rn-rn+1(n≥2)，（1）
得rn+2+rn+1-rn=0，(n≥2).先忽略r0,r1的初始值，令rn=qn，其中q是一个非零数.因此，在第一项等于q0=1的几何序列中寻找一个解.rn=qn满足类斐波那契序列递推关系当且仅当qn+2-qn+qn+1=0，从而qn(q2+q-1)=0，解q2+q-1=0，得q1=-1-52，q2=-1+52.因此，rn=-1-52n，rn=-1+52n，两者皆为满足类斐波那契序列递推关系的解.由于类斐波那契序列递推关系是线性和齐次的，从而
rn=k1-1-52n+k2-1+52n.（2）
对于任意选择的常数k1,k2，（2）也是递推关系的解.将初始值r0=0,r1=1代入（2），得
k1+k2=0,k1-1-52+k2-1+52=1，
解得k1=-15，k2=15.
将其代入（2），得到
rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0).证毕.
2类斐波那契数列的性质
定理2.1 类斐波那契序列的项的部分和为
Sn=r0+r1+r2+r3+…+rn=1-rn-1.
证明 利用数学归纳法.
显然，S1=0+1=1-r0,S2=0+1-1=1-r1,
S3=0+1-1+2=1-(-1)=1-r2.
假设当n=k时成立，即Sk=r0+r1+r2+…+rk=1-rk-1.
则当n=k+1时，Sk+1=r0+r1+r2+…+rk+1=1-rk-1+rk+1=1-rk-1+rk-1-rk=1-rk.证毕.
定理2.2 r0+r2+r4+…+r2n=1-r2n+1.
证明 利用数学归纳法.
显然，当n=1时，r0+r2=0-1=1-r2+1；
当n=2时，r0+r2+r4=0-1-3=1-r4+1.
假设当n=k时成立，即r0+r2+r4+…+r2k=1-r2k+1.
则当n=k+1时，r0+r2+r4+…+r2k+r2k+2=1-r2k+1+r2k+2=1-(r2k+1-r2k+2)=1-r2(k+1)+1.证毕.
定理2.3 r1+r3+r5+…+r2n-1=-r2n.
证明 r1+r3+r5+…+r2n-1=S2n-(r0+r2+r4+…+r2n)=1-r2n-1-(1-r2n+1)=-(r2n-1-r2n+1)=-r2n.证毕.
定理2.4 g1=-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g其中g=5-12.
证明 先证明g1=-rn+rn-1grn+1-rng.
要使g1=-rn+rn-1grn+1-rng成立，
只要(rn+1-rng)g=-rn+rn-1g成立，
即rng2+(rn-1-rn+1)g=rn成立.
由定理知，rn=rn-2-rn-1(n≥2)，
再根据公式g2+g=1其中g=5-12，
可知rng2+(rn-1-rn+1)g=rn成立，
所以g1=-rn+rn-1grn+1-rng，同理，g1=rn+1-rng-rn+2+rn+1g.
因此g1=-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g.证毕.
定理2.5 r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1=(-1)n-1.
证明 由-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g，得
(-rn+rn-1g)(-rn+2+rn+1g)=(rn+1-rng)2,
整理，得g2+rn-1rn+2-rnrn+1r2n-rn-1rn+1g=rnrn+2-r2n+1r2n-rn-1rn+1，
从而r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1.
由于rn=-15-1-52n+15-1+52n,(n≥0)，
所以r2n-rn-1rn+1
=-15-1-52n+15-1+52n2-
-15-1-52n-1+15-1+52n-1•
-15-1-52n+1+15-1+52n+1
=15-1-522n+
15-1+522n-
25-1-52-1+52n-15-1-522n-1•
-1-522+
15(-1)n-1-1-522+
15(-1)n-1-1+522
-15-1+522n-1•
-1+522
=153+52n+
153-52n-
25(-1)n- 153+52n+
15(-1)n-13+52+
15(-1)n-13-52-
153-52n
=35(-1)n-1+25(-1)n-1=(-1)n-1.
因此r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1=(-1)n-1.证毕.
【参考文献】
Richard A.Brualdi. Introductory Combinatorics［M］.北京：机械工业出版社，2006：143-146.
【关键词】斐波那契；序列；类斐波那契序列
引言：近年考虑钩织毛衣时，一针加成所需针数的问题：将一针用下列原则织几行加成21针，这时织衣的方向如何？原则：（1）新加的针不能加针；（2）只要不是上一行新加的针，本行就加上一针且只加一针；（3）规定从左到右钩织的方向为正方向，这时针数记为正数；（4）为了不将毛衣面翻转，正方向我用左手钩织，负方向我用右手钩织.解此问题见图1.
图1 从1针加到21针，方向为负
图1中空白格表示与加针无关的地方，“X”表示可加一针的针，“o”表示刚加出的一针，“x”表示上一行新加的针，这一行已经变成可加一针的针.由表1可看出问题的答案为：再钩织7行，可将1针加成21针，方向为负，即由右到左，我应该用右手钩织.
此问题中新数列的前几项为0,1，-1,2，-3,5，-8，13，-21，34，-55，…，且满足递推关系rn+2=rn-rn+1和初始条件r0=0，r1=1.
1类斐波那契序列
引言中提到的数列偶数项为斐波那契序列偶数项的相反数，将其命名为类斐波那契序列.
定义1.1 满足递推关系和初始条件rn+2=rn-rn+1(n≥2)，r0=0，r1=1的数列r0,r1,r2,r3,…叫作类斐波那契序列，序列的项叫作类斐波那契数.
下面讨论类斐波那契序列的公式.
定理1.2 类斐波那契数满足公式
rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0).
证明 由递推公式rn+2=rn-rn+1(n≥2)，（1）
得rn+2+rn+1-rn=0，(n≥2).先忽略r0,r1的初始值，令rn=qn，其中q是一个非零数.因此，在第一项等于q0=1的几何序列中寻找一个解.rn=qn满足类斐波那契序列递推关系当且仅当qn+2-qn+qn+1=0，从而qn(q2+q-1)=0，解q2+q-1=0，得q1=-1-52，q2=-1+52.因此，rn=-1-52n，rn=-1+52n，两者皆为满足类斐波那契序列递推关系的解.由于类斐波那契序列递推关系是线性和齐次的，从而
rn=k1-1-52n+k2-1+52n.（2）
对于任意选择的常数k1,k2，（2）也是递推关系的解.将初始值r0=0,r1=1代入（2），得
k1+k2=0,k1-1-52+k2-1+52=1，
解得k1=-15，k2=15.
将其代入（2），得到
rn=-15-1-52n+15-1+52n，(n≥0).证毕.
2类斐波那契数列的性质
定理2.1 类斐波那契序列的项的部分和为
Sn=r0+r1+r2+r3+…+rn=1-rn-1.
证明 利用数学归纳法.
显然，S1=0+1=1-r0,S2=0+1-1=1-r1,
S3=0+1-1+2=1-(-1)=1-r2.
假设当n=k时成立，即Sk=r0+r1+r2+…+rk=1-rk-1.
则当n=k+1时，Sk+1=r0+r1+r2+…+rk+1=1-rk-1+rk+1=1-rk-1+rk-1-rk=1-rk.证毕.
定理2.2 r0+r2+r4+…+r2n=1-r2n+1.
证明 利用数学归纳法.
显然，当n=1时，r0+r2=0-1=1-r2+1；
当n=2时，r0+r2+r4=0-1-3=1-r4+1.
假设当n=k时成立，即r0+r2+r4+…+r2k=1-r2k+1.
则当n=k+1时，r0+r2+r4+…+r2k+r2k+2=1-r2k+1+r2k+2=1-(r2k+1-r2k+2)=1-r2(k+1)+1.证毕.
定理2.3 r1+r3+r5+…+r2n-1=-r2n.
证明 r1+r3+r5+…+r2n-1=S2n-(r0+r2+r4+…+r2n)=1-r2n-1-(1-r2n+1)=-(r2n-1-r2n+1)=-r2n.证毕.
定理2.4 g1=-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g其中g=5-12.
证明 先证明g1=-rn+rn-1grn+1-rng.
要使g1=-rn+rn-1grn+1-rng成立，
只要(rn+1-rng)g=-rn+rn-1g成立，
即rng2+(rn-1-rn+1)g=rn成立.
由定理知，rn=rn-2-rn-1(n≥2)，
再根据公式g2+g=1其中g=5-12，
可知rng2+(rn-1-rn+1)g=rn成立，
所以g1=-rn+rn-1grn+1-rng，同理，g1=rn+1-rng-rn+2+rn+1g.
因此g1=-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g.证毕.
定理2.5 r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1=(-1)n-1.
证明 由-rn+rn-1grn+1-rng=rn+1-rng-rn+2+rn+1g，得
(-rn+rn-1g)(-rn+2+rn+1g)=(rn+1-rng)2,
整理，得g2+rn-1rn+2-rnrn+1r2n-rn-1rn+1g=rnrn+2-r2n+1r2n-rn-1rn+1，
从而r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1.
由于rn=-15-1-52n+15-1+52n,(n≥0)，
所以r2n-rn-1rn+1
=-15-1-52n+15-1+52n2-
-15-1-52n-1+15-1+52n-1•
-15-1-52n+1+15-1+52n+1
=15-1-522n+
15-1+522n-
25-1-52-1+52n-15-1-522n-1•
-1-522+
15(-1)n-1-1-522+
15(-1)n-1-1+522
-15-1+522n-1•
-1+522
=153+52n+
153-52n-
25(-1)n- 153+52n+
15(-1)n-13+52+
15(-1)n-13-52-
153-52n
=35(-1)n-1+25(-1)n-1=(-1)n-1.
因此r2n-rn-1rn+1=rn-1rn+2-rnrn+1=rnrn+2-r2n+1=(-1)n-1.证毕.
【参考文献】
Richard A.Brualdi. Introductory Combinatorics［M］.北京：机械工业出版社，2006：143-146.