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摘要：“温故而知新”是我国教育传统中的一条学习古训.通过《三角函数诱导公式》教学实践与反思，期望能对笔者以后的课堂教学有所指引与帮助.真正做到在反思中成长，在成长中反思.
关键词：诱导公式;活的课堂;教学反思
一、问题的提出
课改十多年以来，教師们普遍能接受新课程理念，也在积极探索改变自己的教学方式.但是我们的数学课堂教学中依然存在教师满堂灌，学生抄笔记，教师讲得不亦乐乎，学生忙得不亦乐乎的教与学的现象.那么如何避免枯燥呆板的教学，丰富学生的观察、培养学生的表达、激活学生的思考，让数学课堂不再冰冷，让数学课堂活起来呢？笔者于2020年12月8日参加了本校举行的《三角函数的诱导公式》优质课大赛后，若有所思，似有所得.
二、教材背景分析
本节课教学内容是三角函数诱导公式的第一课时，诱导公式学习既是三角函数定义的深化理解与运用，也是研究三角函数图像、三角恒等变换的基础。三角函数的诱导公式是从终边具有特殊对称关系的角的三角函数值之间的关系这一角度体现三角函数周期性的，其研究结果会在后面的三角函数图像与性质中反映出来.笔者在研究教材内容时对比2014年与2019年人教A版教材发现：2014版教材中研究主线是从具有特殊关系的两个角出发探索角终边的对称性，得到终边与单位圆交点之间的数量关系，再根据三角函数的定义得出诱导公式;2019版教材中研究主线是从单位圆上具有对称关系的点、出发，得到点、之间的数量关系、以及以为终边的角与以为终边的角之间的数量关系，再根据三角函数的定义得出诱导公式.笔者经过再三思考认为三角函数是借助单位圆来定义的，并且圆的对称性是学生已有的认知，从圆上具有对称性的两点出发开始教学比突然给出两个有特殊数量关系的角为出发点教学上显得更自然流畅.所以最终决定以“诱导公式一：终边相同的角同一三角函数值相等”为生长点，按2019版教材从单位圆上点的对称性出发展开三角函数诱导公式教学.
三、教学过程
师：前面我们已经学习了三角函数的定义，那么三角函数的定义是什么？
师：对刚才的回答还有什么要补充的吗？
生2：中，即.
师：可以哦，细节都注意到了.（教师演示几何画板动画，右图是截取的图片）强调随着点运动，角跟着改变，而对于任意角的三角函数值始终是其坐标表示.
设计意图：三角函数的定义是推导诱导公式必备的基本知识，很有复习的必要.几何画板动画演示的目的是让学生能更直观感受到三角函数定义中角的任意性，以及加深角三角函数值的坐标表示的印象.也是想从课堂一开始就抓住学生的注意力，提高学生学习这节课的兴趣.
师：诱导公式一的内容是什么？诱导公式一的作用是什么？
师：诱导公式一文字表述为：终边相同的角的同一三角函数值相等，同学们能梳理、归纳其推导过程吗？
生4：因为角的终边相同，所以终边与单位圆交点相同，所以交点的坐标相同，所以两角的同一三角函数值相等.
师：竖起大拇指，真棒！我把你刚才回答的理由调整为这样的语句：若终边与单位圆交点的相同，所以角的终边相同，所以交点的坐标相同，所以两角的同一三角函数值相等.你看对吗？
生4：略为思索，答到：对的.
师：三角函数定义的关键在于终边与单位圆的交点坐标，又因为圆具有对称性，我们也可以从单位圆上的点出发来梳理、归纳其推导过程，接着投影（如右图）.
设计意图：从终边与单位圆交点重合的位置关系出发，这更容易引起学生的思考：“两点具有特殊的对称关系时，终边对应的角同一三角函数值又有什么关系呢？”另外归纳出诱导公式一生成过程的框图是为了给出诱导公式二、三、四研究方向以及研究步骤，降低学生思考的难度，为学生搭梯子.
师：圆上的两点除了重合还有其它一些特殊的位置关系吗？
生5：关于原点对称，关于坐标轴对称，关于过原点的直线对称.
师：说得很全面，那我们首先来研究角与角的终边与单位圆的交点关于原点对称时， 角与角同一三角函数值的关系是什么？
师：这位同学回答得真漂亮！（教师演示几何画板动画中，下图1为截图）我们可以直观的观察到、的坐标关系，终边与终边的对称关系以及对应角角与角的关系，那么其三角函数值的关系呼之欲出.接着投影如下图2.
设计意图：通过对诱导公式一的回顾以及诱导公式二的学习，借助几何画板动态演示，进一步加深学生对知识生成过程的理解，以便学生接下来能独立研究诱导公式三、四.
并回答导公式二的作用是什么？
设计意图：题目简单，强化公式的理解与应用，对公式二的作用更加清晰.
师：角与角的终边与单位圆的交点关于轴（轴）对称时， 角与角同一三角函数值的关系是什么？
师：是哪里没想清楚？
生7：没找到角与角的数量关系？
师：角与角关于轴对称，角与角关于轴对称，你能得出角与角之间的关系吗？
生7：哦，明白了（有的同学也显示出恍然大悟的样子），角与角的终边关于原点对称，所以，则，，.
师：完全正确，（教师演示几何画板动画，右图为截图）点运动时角与角的终边与始终关于原点对称）.这便是诱导公式三、和四，其推导过程与诱导公式二如出一辙.这里老师不再一一解释，投影如下图.
设计意图：诱导公式三、四推导方法上与诱导公式二一致，但诱导公式四的推导过程中，有的学生对角与角的数量关系不易发现，这在意料之中，所以教师做了适当的提示，并用几何画板演示辅助学生理解.
并回答诱导公式三、四的作用是什么？
设计意图：学生可从不同的公式为运算起点，把角化到锐角为运算的终点，强化公式的理解与应用，对公式二、三的作用更加清晰. 师：根据每一组诱导公式的作用，你能归纳任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
生8：不在的角化到，然后再化到锐角.
師：你能把每次化角的时候各自用的是什么公式补充完整吗？
生8：不在的角化到时可以用公式一或三，再化到锐角时可用公式二或四.
师：说得非常准确，大家对诱导公式化角要有整体的意识（并展示如下图）.
设计意图：培养学生归纳的意识，帮助学生理清公式运用的行动思路.
例3、化简.
设计意图：进一步熟悉公式，强化公式的理解与应用.
师：学习了本节课，我们是如何得到诱导公式二、三、四的？你能画个框图加以说明吗？
生9：点对称终边对称角的关系诱导公式.
师：大致是这样，大家请看我给的框图（如右图）.
设计意图：在课堂的结尾，让学生复盘反思，对整个课堂有一个整体的认识.
四、教学反思
1、大开说话之门，培养学生用数学语言表达世界，是课堂活的开始
数学教学课堂，一定要成为学生的课堂，要让学生表达出他对知识的理解，尤其是困惑的地方.正是因为学生把想法的表达出来教师才能更好的抓住问题所在，才是学生知识的增长点.盲目施教、满堂灌，只会打击学生学习的乐趣与主动性.本节课是借班上课，老师和学生都没有见过面，开始的时候学生并不主动，通过问题的低开高走，以及教师的真诚鼓励，学生慢慢的胆子大了，积极参与，主动思考，敢于表达，真正的在落实数学核心素养，课堂才会真正的成为学生的课堂.
2、运用动画辅助，培养学生用数学眼光观察世界，是课堂活的延续
《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中对数学学科核心素养的直观想象有这样的阐述：直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.本节课通过几何画板动画演示，学生能更直观的看到圆上点的运动、点的对称、点坐标的变化、终边的运动、角终边的对称性.时代在发展、革新，我们的数学教学技术也要与时俱进，这样才能培养出符合时代发展的人.
3、抓住数学本质，培养学生用数学的思维思考世界，是课堂活的关键
本节课从教师提出的第一个问题开始，循序渐进的的问题链层层深入，把知识的传授改为学生根据问题链的积极思考，给了学生足够的思维维空间.本节课由圆的对称性，圆上点的对称性到点之间的数量关系，再由角终边对称到角之间的数量关系，抓住了诱导公式的本质.在教学中没有生搬硬套诱导公式解决问题，而是始终抓住角终边对称时三角函数值的关系来进行教学.只有本质的，才是长远的.
参考文献
[1]高中数学核心内容教学设计案例集（上册）.三角函数的诱导公式[M].北京：人民教育出版社，2014.
[2]普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.
关键词：诱导公式;活的课堂;教学反思
一、问题的提出
课改十多年以来，教師们普遍能接受新课程理念，也在积极探索改变自己的教学方式.但是我们的数学课堂教学中依然存在教师满堂灌，学生抄笔记，教师讲得不亦乐乎，学生忙得不亦乐乎的教与学的现象.那么如何避免枯燥呆板的教学，丰富学生的观察、培养学生的表达、激活学生的思考，让数学课堂不再冰冷，让数学课堂活起来呢？笔者于2020年12月8日参加了本校举行的《三角函数的诱导公式》优质课大赛后，若有所思，似有所得.
二、教材背景分析
本节课教学内容是三角函数诱导公式的第一课时，诱导公式学习既是三角函数定义的深化理解与运用，也是研究三角函数图像、三角恒等变换的基础。三角函数的诱导公式是从终边具有特殊对称关系的角的三角函数值之间的关系这一角度体现三角函数周期性的，其研究结果会在后面的三角函数图像与性质中反映出来.笔者在研究教材内容时对比2014年与2019年人教A版教材发现：2014版教材中研究主线是从具有特殊关系的两个角出发探索角终边的对称性，得到终边与单位圆交点之间的数量关系，再根据三角函数的定义得出诱导公式;2019版教材中研究主线是从单位圆上具有对称关系的点、出发，得到点、之间的数量关系、以及以为终边的角与以为终边的角之间的数量关系，再根据三角函数的定义得出诱导公式.笔者经过再三思考认为三角函数是借助单位圆来定义的，并且圆的对称性是学生已有的认知，从圆上具有对称性的两点出发开始教学比突然给出两个有特殊数量关系的角为出发点教学上显得更自然流畅.所以最终决定以“诱导公式一：终边相同的角同一三角函数值相等”为生长点，按2019版教材从单位圆上点的对称性出发展开三角函数诱导公式教学.
三、教学过程
师：前面我们已经学习了三角函数的定义，那么三角函数的定义是什么？
师：对刚才的回答还有什么要补充的吗？
生2：中，即.
师：可以哦，细节都注意到了.（教师演示几何画板动画，右图是截取的图片）强调随着点运动，角跟着改变，而对于任意角的三角函数值始终是其坐标表示.
设计意图：三角函数的定义是推导诱导公式必备的基本知识，很有复习的必要.几何画板动画演示的目的是让学生能更直观感受到三角函数定义中角的任意性，以及加深角三角函数值的坐标表示的印象.也是想从课堂一开始就抓住学生的注意力，提高学生学习这节课的兴趣.
师：诱导公式一的内容是什么？诱导公式一的作用是什么？
师：诱导公式一文字表述为：终边相同的角的同一三角函数值相等，同学们能梳理、归纳其推导过程吗？
生4：因为角的终边相同，所以终边与单位圆交点相同，所以交点的坐标相同，所以两角的同一三角函数值相等.
师：竖起大拇指，真棒！我把你刚才回答的理由调整为这样的语句：若终边与单位圆交点的相同，所以角的终边相同，所以交点的坐标相同，所以两角的同一三角函数值相等.你看对吗？
生4：略为思索，答到：对的.
师：三角函数定义的关键在于终边与单位圆的交点坐标，又因为圆具有对称性，我们也可以从单位圆上的点出发来梳理、归纳其推导过程，接着投影（如右图）.
设计意图：从终边与单位圆交点重合的位置关系出发，这更容易引起学生的思考：“两点具有特殊的对称关系时，终边对应的角同一三角函数值又有什么关系呢？”另外归纳出诱导公式一生成过程的框图是为了给出诱导公式二、三、四研究方向以及研究步骤，降低学生思考的难度，为学生搭梯子.
师：圆上的两点除了重合还有其它一些特殊的位置关系吗？
生5：关于原点对称，关于坐标轴对称，关于过原点的直线对称.
师：说得很全面，那我们首先来研究角与角的终边与单位圆的交点关于原点对称时， 角与角同一三角函数值的关系是什么？
师：这位同学回答得真漂亮！（教师演示几何画板动画中，下图1为截图）我们可以直观的观察到、的坐标关系，终边与终边的对称关系以及对应角角与角的关系，那么其三角函数值的关系呼之欲出.接着投影如下图2.
设计意图：通过对诱导公式一的回顾以及诱导公式二的学习，借助几何画板动态演示，进一步加深学生对知识生成过程的理解，以便学生接下来能独立研究诱导公式三、四.
并回答导公式二的作用是什么？
设计意图：题目简单，强化公式的理解与应用，对公式二的作用更加清晰.
师：角与角的终边与单位圆的交点关于轴（轴）对称时， 角与角同一三角函数值的关系是什么？
师：是哪里没想清楚？
生7：没找到角与角的数量关系？
师：角与角关于轴对称，角与角关于轴对称，你能得出角与角之间的关系吗？
生7：哦，明白了（有的同学也显示出恍然大悟的样子），角与角的终边关于原点对称，所以，则，，.
师：完全正确，（教师演示几何画板动画，右图为截图）点运动时角与角的终边与始终关于原点对称）.这便是诱导公式三、和四，其推导过程与诱导公式二如出一辙.这里老师不再一一解释，投影如下图.
设计意图：诱导公式三、四推导方法上与诱导公式二一致，但诱导公式四的推导过程中，有的学生对角与角的数量关系不易发现，这在意料之中，所以教师做了适当的提示，并用几何画板演示辅助学生理解.
并回答诱导公式三、四的作用是什么？
设计意图：学生可从不同的公式为运算起点，把角化到锐角为运算的终点，强化公式的理解与应用，对公式二、三的作用更加清晰. 师：根据每一组诱导公式的作用，你能归纳任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
生8：不在的角化到，然后再化到锐角.
師：你能把每次化角的时候各自用的是什么公式补充完整吗？
生8：不在的角化到时可以用公式一或三，再化到锐角时可用公式二或四.
师：说得非常准确，大家对诱导公式化角要有整体的意识（并展示如下图）.
设计意图：培养学生归纳的意识，帮助学生理清公式运用的行动思路.
例3、化简.
设计意图：进一步熟悉公式，强化公式的理解与应用.
师：学习了本节课，我们是如何得到诱导公式二、三、四的？你能画个框图加以说明吗？
生9：点对称终边对称角的关系诱导公式.
师：大致是这样，大家请看我给的框图（如右图）.
设计意图：在课堂的结尾，让学生复盘反思，对整个课堂有一个整体的认识.
四、教学反思
1、大开说话之门，培养学生用数学语言表达世界，是课堂活的开始
数学教学课堂，一定要成为学生的课堂，要让学生表达出他对知识的理解，尤其是困惑的地方.正是因为学生把想法的表达出来教师才能更好的抓住问题所在，才是学生知识的增长点.盲目施教、满堂灌，只会打击学生学习的乐趣与主动性.本节课是借班上课，老师和学生都没有见过面，开始的时候学生并不主动，通过问题的低开高走，以及教师的真诚鼓励，学生慢慢的胆子大了，积极参与，主动思考，敢于表达，真正的在落实数学核心素养，课堂才会真正的成为学生的课堂.
2、运用动画辅助，培养学生用数学眼光观察世界，是课堂活的延续
《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中对数学学科核心素养的直观想象有这样的阐述：直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.本节课通过几何画板动画演示，学生能更直观的看到圆上点的运动、点的对称、点坐标的变化、终边的运动、角终边的对称性.时代在发展、革新，我们的数学教学技术也要与时俱进，这样才能培养出符合时代发展的人.
3、抓住数学本质，培养学生用数学的思维思考世界，是课堂活的关键
本节课从教师提出的第一个问题开始，循序渐进的的问题链层层深入，把知识的传授改为学生根据问题链的积极思考，给了学生足够的思维维空间.本节课由圆的对称性，圆上点的对称性到点之间的数量关系，再由角终边对称到角之间的数量关系，抓住了诱导公式的本质.在教学中没有生搬硬套诱导公式解决问题，而是始终抓住角终边对称时三角函数值的关系来进行教学.只有本质的，才是长远的.
参考文献
[1]高中数学核心内容教学设计案例集（上册）.三角函数的诱导公式[M].北京：人民教育出版社，2014.
[2]普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.