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摘要：通过三维机械设计软件Pro/E构建直齿圆柱齿轮实体模型，利用ANSYS软件对齿轮的网格划分、约束的施加以及最不利载荷位置的确定进行讨论，以得到精确的有限元分析模型。通过分析，说明了ANSYS在齿轮计算中的有效性，为齿轮的优化设计和可靠性设计及CAE奠定了基础。
关键词：建模、有限元、齿轮、ANSYS
【中图分类号】TH132.41
一、前言
齿轮传动是现代机器和仪器中最重要的一种传动。齿轮的承载能力主要受接触强度和弯曲强度的限制。若齿轮的参数不变而增加载荷，则弯曲应力的增加程度要比接触应力大得多。因此，要设计高承载能力的齿轮，就必须精确计算齿轮的弯曲应力。
二、渐开线直齿圆柱齿轮的参数化建模
1、建立渐开线齿廓线坐标方程
根据渐开线的形成原理可知渐开线的极坐标方程为：
式中：rk——渐开线任一点的向径，mm
αk——渐开线任一点k的压力角
invαk——以αk为自变量的渐开线函数
rb——基圆半径，mm
θk——展角或极角，rad。
为了便于计算转化，需要将上式转化为直角坐标方程，则渐开线上任一点k的直角坐标方程可转化为：
式中： 为滚动角
αk——压力角
θk——渐开线上任一点k的展角。
若以多项式表示则为：
根据以上关系，可以绘制渐开线曲线。考虑到齿廓的对称性，只需计算一侧的渐开线曲线即可通过镜像操作得到另一侧的齿槽渐开线曲线。然后可以根据齿轮的参数绘制出完整的端面渐开线齿槽轮廓曲线。
2、参数化造型系统的使用
首先调出设计的三维参数化齿轮模型，选择控制齿轮参数化的基本参数，依次输入所设计齿轮的各参数值：齿数=30，模数=4，压力角=22.5°，轮齿厚度=10，过渡圆角半径=0.2。参数输入完毕，系统自动按新的参数值驱动模型再生，生成相应的齿轮模型结果如图1示，经反复测试验证，本研究设计的齿轮模型对不同齿数的标准直齿轮都能正确生成。
图1参数化齿轮模型的再生
三、ANSYS有限元分析
1、轮齿模型的导入
用Pro/E打开已创建的齿轮模型，点击菜单ANSYS10.0->ANSYSGeom，系统自动打开ANSYS软件，并将齿轮模型导入到了ANSYS分析软件中。点击菜单Plot->Volumes。在ANSYS界面中，通过坐标系和创建的面切分齿轮三维实体，得到如图3所示的单齿模型。
2、选择材料及网格单元的划分
选择齿轮的材料为45钢进行分析，其力学性能为弹性模量
E=2.06×10^5MPa，泊松比η=0.3，考虑到齿轮结构较复杂以及对计算机性能的要求，采用Solid45对齿轮进行智能网格划分。
Solid45为体单元，用于仿真3D实体结构，元素由8节点组合而成，每个节点具有x、y、z位移方向的3个自由度。元素具有塑性、应力强化、大变形和大应变的特性。照通常情况，因为渐开线齿廓缘故，齿轮可以选用四面体单元Solid92来划分网格，比较好的拟合渐开线齿廓，但考虑到如下两个问题：（1）用Solid92划分网格后，因为是自由划分网格，所以加载点难以准确模拟；（2）计算量大幅度增加。而在ANSYS中，六面体矩形单元Solid45的计算精度通常比同单元长度的四面体三角形单元的计算精度等级高1～2个数量级，故在对齿轮实体进行网格划分时，使用Solid45，以便只须较少的计算节点及单元数量，就可以比较容易达到齿轮高精度的计算要求。
3、边界条件
齿轮通过键联接在轴上，通过外界输入转矩使齿轮与轴一起转动，对齿轮进行静力分析，将齿轮底面处固定，使其x、y、z方向均不产生位移，还约束其绕x、y和z轴的旋转。使用ANSYS软件中的相关命令，可以把这些节点约束加到有限元网格模型上。
4、最不利载荷线位置
加载线（即齿轮副的啮合接触线）的位置和长度随齿轮的转动而不断变化，因而，要得到齿根最大应力，需要确定最不利加载线位置，最不利加载线的位置取决于轮齿的啮合位置和接触线上的载荷分布，接触线上的载荷分布与齿轮的制造误差，装配误差及受载条件下的齿轮、轴、轴承、箱体的变形等诸多因素有关，而这些因素在齿轮设计之初往往是不易确定的。因此，将载荷分步简化为沿啮合线均布处理，最不利加载线位置取为齿顶，即载荷均匀分布于齿顶。
5、施加载荷
齿轮是靠外界输入转矩而转动的，齿轮在啮合时，沿啮合线作用在齿面上的法向载荷nF垂直于齿面，取Fn=2000N。为了加载方便，将法向载荷Fn在接触线上分解为2个垂直的分力，即圆周力Fr=Fntan?=1879N与径向力Fr=Fntan?=684N，对应于ANSYS加载到x和y方向。
6、计算求解及后处理
（1）齿轮的向量位移以x方向为主，最大值发生在齿顶及齿根的边缘，为 。
（2）轮齿的总体应力分布有梁的分布特征，中间应力小，齿廓表面应力大，且基本对称，轮齿齿根处应力较大，在齿轮圆角处有应力集中现象，危险应力达到最大值。
四、结束语
本研究基于Pro/E建立齿轮模型，较好的完成了齿轮强度有限元分析的前处理建模部分。
利用ANSYS软件求解运算，通过对直齿圆柱齿轮齿根应力的结果分析，说明传统齿轮应力计算方法比较保守，而用有限元分析计算可以在保证强度的前提下，现有齿轮可以减小尺寸，从而使齿轮结构更加紧凑，达到更加轻便的目的。它还能真实地反映轮齿的实际受力状态，说明了有限元模型建立的正确性。
通过轮齿应力可以看出，其应力集中主要发生在齿根圆处，在正常的齿轮啮合过程中此处最容易折断，这是齿轮的主要失效形式。
本文的设计思想和方法，不仅有效地提高了齿轮分析的精度和效率，而且为齿轮的优化设计，齿轮机构的设计研究工作提供了一种有效的理论方法和参考依据。在加工齿轮时尽量避免加工刀痕对齿轮使用的影响，改进加工工艺。在使用过程中尽量避免在齿廓上过载造成对齿轮的破坏。
参考文献：
[1] 郝文化.ANSYS7·0实例分析与应用[M].北京：清华大学出版社，2004.
[2] 周田鹏等.Ansys实例计算应用[M].中国铁道出版社，2005.
关键词：建模、有限元、齿轮、ANSYS
【中图分类号】TH132.41
一、前言
齿轮传动是现代机器和仪器中最重要的一种传动。齿轮的承载能力主要受接触强度和弯曲强度的限制。若齿轮的参数不变而增加载荷，则弯曲应力的增加程度要比接触应力大得多。因此，要设计高承载能力的齿轮，就必须精确计算齿轮的弯曲应力。
二、渐开线直齿圆柱齿轮的参数化建模
1、建立渐开线齿廓线坐标方程
根据渐开线的形成原理可知渐开线的极坐标方程为：
式中：rk——渐开线任一点的向径，mm
αk——渐开线任一点k的压力角
invαk——以αk为自变量的渐开线函数
rb——基圆半径，mm
θk——展角或极角，rad。
为了便于计算转化，需要将上式转化为直角坐标方程，则渐开线上任一点k的直角坐标方程可转化为：
式中： 为滚动角
αk——压力角
θk——渐开线上任一点k的展角。
若以多项式表示则为：
根据以上关系，可以绘制渐开线曲线。考虑到齿廓的对称性，只需计算一侧的渐开线曲线即可通过镜像操作得到另一侧的齿槽渐开线曲线。然后可以根据齿轮的参数绘制出完整的端面渐开线齿槽轮廓曲线。
2、参数化造型系统的使用
首先调出设计的三维参数化齿轮模型，选择控制齿轮参数化的基本参数，依次输入所设计齿轮的各参数值：齿数=30，模数=4，压力角=22.5°，轮齿厚度=10，过渡圆角半径=0.2。参数输入完毕，系统自动按新的参数值驱动模型再生，生成相应的齿轮模型结果如图1示，经反复测试验证，本研究设计的齿轮模型对不同齿数的标准直齿轮都能正确生成。
图1参数化齿轮模型的再生
三、ANSYS有限元分析
1、轮齿模型的导入
用Pro/E打开已创建的齿轮模型，点击菜单ANSYS10.0->ANSYSGeom，系统自动打开ANSYS软件，并将齿轮模型导入到了ANSYS分析软件中。点击菜单Plot->Volumes。在ANSYS界面中，通过坐标系和创建的面切分齿轮三维实体，得到如图3所示的单齿模型。
2、选择材料及网格单元的划分
选择齿轮的材料为45钢进行分析，其力学性能为弹性模量
E=2.06×10^5MPa，泊松比η=0.3，考虑到齿轮结构较复杂以及对计算机性能的要求，采用Solid45对齿轮进行智能网格划分。
Solid45为体单元，用于仿真3D实体结构，元素由8节点组合而成，每个节点具有x、y、z位移方向的3个自由度。元素具有塑性、应力强化、大变形和大应变的特性。照通常情况，因为渐开线齿廓缘故，齿轮可以选用四面体单元Solid92来划分网格，比较好的拟合渐开线齿廓，但考虑到如下两个问题：（1）用Solid92划分网格后，因为是自由划分网格，所以加载点难以准确模拟；（2）计算量大幅度增加。而在ANSYS中，六面体矩形单元Solid45的计算精度通常比同单元长度的四面体三角形单元的计算精度等级高1～2个数量级，故在对齿轮实体进行网格划分时，使用Solid45，以便只须较少的计算节点及单元数量，就可以比较容易达到齿轮高精度的计算要求。
3、边界条件
齿轮通过键联接在轴上，通过外界输入转矩使齿轮与轴一起转动，对齿轮进行静力分析，将齿轮底面处固定，使其x、y、z方向均不产生位移，还约束其绕x、y和z轴的旋转。使用ANSYS软件中的相关命令，可以把这些节点约束加到有限元网格模型上。
4、最不利载荷线位置
加载线（即齿轮副的啮合接触线）的位置和长度随齿轮的转动而不断变化，因而，要得到齿根最大应力，需要确定最不利加载线位置，最不利加载线的位置取决于轮齿的啮合位置和接触线上的载荷分布，接触线上的载荷分布与齿轮的制造误差，装配误差及受载条件下的齿轮、轴、轴承、箱体的变形等诸多因素有关，而这些因素在齿轮设计之初往往是不易确定的。因此，将载荷分步简化为沿啮合线均布处理，最不利加载线位置取为齿顶，即载荷均匀分布于齿顶。
5、施加载荷
齿轮是靠外界输入转矩而转动的，齿轮在啮合时，沿啮合线作用在齿面上的法向载荷nF垂直于齿面，取Fn=2000N。为了加载方便，将法向载荷Fn在接触线上分解为2个垂直的分力，即圆周力Fr=Fntan?=1879N与径向力Fr=Fntan?=684N，对应于ANSYS加载到x和y方向。
6、计算求解及后处理
（1）齿轮的向量位移以x方向为主，最大值发生在齿顶及齿根的边缘，为 。
（2）轮齿的总体应力分布有梁的分布特征，中间应力小，齿廓表面应力大，且基本对称，轮齿齿根处应力较大，在齿轮圆角处有应力集中现象，危险应力达到最大值。
四、结束语
本研究基于Pro/E建立齿轮模型，较好的完成了齿轮强度有限元分析的前处理建模部分。
利用ANSYS软件求解运算，通过对直齿圆柱齿轮齿根应力的结果分析，说明传统齿轮应力计算方法比较保守，而用有限元分析计算可以在保证强度的前提下，现有齿轮可以减小尺寸，从而使齿轮结构更加紧凑，达到更加轻便的目的。它还能真实地反映轮齿的实际受力状态，说明了有限元模型建立的正确性。
通过轮齿应力可以看出，其应力集中主要发生在齿根圆处，在正常的齿轮啮合过程中此处最容易折断，这是齿轮的主要失效形式。
本文的设计思想和方法，不仅有效地提高了齿轮分析的精度和效率，而且为齿轮的优化设计，齿轮机构的设计研究工作提供了一种有效的理论方法和参考依据。在加工齿轮时尽量避免加工刀痕对齿轮使用的影响，改进加工工艺。在使用过程中尽量避免在齿廓上过载造成对齿轮的破坏。
参考文献：
[1] 郝文化.ANSYS7·0实例分析与应用[M].北京：清华大学出版社，2004.
[2] 周田鹏等.Ansys实例计算应用[M].中国铁道出版社，2005.