论文部分内容阅读
一、模型思想
从七年级学习数学以来，我们已掌握了许多刻画现实世界的数学模型，如一元一次方程模型、不等式模型、函数模型等，通过本章的学习我们认识到一元二次方程是又一个重要的数学模型. 数学来源于生活，服务于生活，当一个问题情景中蕴含未知量和数量关系时，方程就自然而然出现了，所以当我们用数学的眼光去看实际问题时，最关键的是确定用数学的方法解决和解释实际问题，至于何时会出现一元二次方程，不能刻意而为，而是顺应背景、水到渠成的，并且它和一元一次方程模型一样，都属于方程模型.
二、 抽象思想
1. 把现实生活中的具体问题抽象到数学中来
如：长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m. 问：梯子底端向右滑动的距离会是梯子顶端向下滑动的距离的2倍吗？
在这样的生活情境中，我们可以抽象出一个三边长分别是3 m、4 m、5 m的直角三角形，梯子底端向右滑行的距离和顶端向下滑动的距离是两个未知量（实际上只有一个未知量，设为x），本题的目标是要找到一个梯子顶端向下滑动的距离x的值，使得（4-x）、（3+2x）和5构成一个斜边长为5的直角三角形，因此就得到了等量关系（4-x）2+（3+2x）2=52，整理得到一个含有未知数x的方程：5x2+4x=0. 这个实际问题中，关键是抽象出几何图形，题中的等量关系则是建立方程模型的条件.
2. 从数量到数量的抽象
解一元二次方程的源头是直接开平方法，如果一个一元二次方程能够变形为（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常数），当k≥0时就可以用直接开平方法求解. 同学们都知道这种解一元二次方程的方法叫配方法，但关键是如何“配方”得到（x+h）2的形式.
我们不妨从熟悉的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行抽象：将a看作x，将b看作h，则上面的等式就可以表示为x2+2hx+h2=（x+h）2，其中2h相当于x的一次项系数，则h相当于x的一次项系数的一半. 由此我们不难抽象出配方法的一般步骤：对于任何一个一元二次方程，我们首先将二次项系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可以得到（x+h）2的形式.
抽象的思想无处不在，我们从乘法公式中抽象出了数学中重要的配方法. 你能不能在今后的数学学习中用抽象的思想得到某个结论或方法呢？去尝试一下吧！
三、 化归思想
“化归”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题. 一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法这几种解法，都是用“化归”的数学思想方法求解.下面就四种方法分别加以说明.
直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程.我们可以利用平方根的定义“化归”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±■，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根.
配方法：适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0，a≠0也可用，但不一定是最合适的方法）.这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“化归”为上述形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程，然后再用直接开平方法求解.
因式分解法：这种方法平时用得较多，适用于等式左边能分解成几个一次因式的积，而右边必须为零形式的一元二次方程.这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如（a1x+c1）（a2x+c2）=0的方程，从而“化归”为a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解.
公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单.但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小数值的情况下才考虑使用该方法.
化归思想就是把新问题转换成熟悉的旧方法去解决，在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程化归为一元一次方程，分式方程化归为整式方程，二元二次方程组化归为二元一次方程组或代入消元化归为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线化归为三角形问题等. 由此可见熟练掌握化归数学思想，对增强解题能力、改善知识结构、提高数学素养大有裨益.
四、 数学方法
回顾解一元二次方程的各种解法，从中我们能感受到不少常见的数学方法.
1. 学习知识的路径：从简单到复杂
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），先学习ax2=0（a≠0）的解法，再学习ax2+bx=0（a≠0）的解法，最后学习ax2+bx+c=0（a≠0）的解法.
2. 解决问题的办法：“降次”转化
无论是直接开平方法、配方法或因式分解法，都实现了从一元二次方程向一元一次方程的转化，这也告诉了我们，当遇到新问题时，应该尝试用已有的知识或方法去解决未知的问题，将不熟悉的转化为熟悉的，将未知的转化为已知的，将高次的转化为低次的，将多元的转化为少元的.
3. 从特殊到一般
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过配方，得到x+■2=■，当b2-4ac≥0时，可以得到方程的求根公式x=■. 因此，只要一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式非负，就可以直接由公式计算得到方程的根，具有一般性.
4. 对立和统一
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有没有根，首先看b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时方程有实数根，当b2-4ac<0时方程没有实数根，这两种情形既是对立的，但同时它们又统一到了对b2-4ac的符号的判别上来.
同学们，数学的思想方法从来都不是空洞的，和它一路同行吧，我们会站得更高，行得更远！
从七年级学习数学以来，我们已掌握了许多刻画现实世界的数学模型，如一元一次方程模型、不等式模型、函数模型等，通过本章的学习我们认识到一元二次方程是又一个重要的数学模型. 数学来源于生活，服务于生活，当一个问题情景中蕴含未知量和数量关系时，方程就自然而然出现了，所以当我们用数学的眼光去看实际问题时，最关键的是确定用数学的方法解决和解释实际问题，至于何时会出现一元二次方程，不能刻意而为，而是顺应背景、水到渠成的，并且它和一元一次方程模型一样，都属于方程模型.
二、 抽象思想
1. 把现实生活中的具体问题抽象到数学中来
如：长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m. 问：梯子底端向右滑动的距离会是梯子顶端向下滑动的距离的2倍吗？
在这样的生活情境中，我们可以抽象出一个三边长分别是3 m、4 m、5 m的直角三角形，梯子底端向右滑行的距离和顶端向下滑动的距离是两个未知量（实际上只有一个未知量，设为x），本题的目标是要找到一个梯子顶端向下滑动的距离x的值，使得（4-x）、（3+2x）和5构成一个斜边长为5的直角三角形，因此就得到了等量关系（4-x）2+（3+2x）2=52，整理得到一个含有未知数x的方程：5x2+4x=0. 这个实际问题中，关键是抽象出几何图形，题中的等量关系则是建立方程模型的条件.
2. 从数量到数量的抽象
解一元二次方程的源头是直接开平方法，如果一个一元二次方程能够变形为（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常数），当k≥0时就可以用直接开平方法求解. 同学们都知道这种解一元二次方程的方法叫配方法，但关键是如何“配方”得到（x+h）2的形式.
我们不妨从熟悉的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行抽象：将a看作x，将b看作h，则上面的等式就可以表示为x2+2hx+h2=（x+h）2，其中2h相当于x的一次项系数，则h相当于x的一次项系数的一半. 由此我们不难抽象出配方法的一般步骤：对于任何一个一元二次方程，我们首先将二次项系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可以得到（x+h）2的形式.
抽象的思想无处不在，我们从乘法公式中抽象出了数学中重要的配方法. 你能不能在今后的数学学习中用抽象的思想得到某个结论或方法呢？去尝试一下吧！
三、 化归思想
“化归”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题. 一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法这几种解法，都是用“化归”的数学思想方法求解.下面就四种方法分别加以说明.
直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程.我们可以利用平方根的定义“化归”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±■，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根.
配方法：适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0，a≠0也可用，但不一定是最合适的方法）.这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“化归”为上述形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程，然后再用直接开平方法求解.
因式分解法：这种方法平时用得较多，适用于等式左边能分解成几个一次因式的积，而右边必须为零形式的一元二次方程.这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如（a1x+c1）（a2x+c2）=0的方程，从而“化归”为a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解.
公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单.但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小数值的情况下才考虑使用该方法.
化归思想就是把新问题转换成熟悉的旧方法去解决，在初中数学中还有许多运用：如解二元一次方程化归为一元一次方程，分式方程化归为整式方程，二元二次方程组化归为二元一次方程组或代入消元化归为一元二次方程，平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线化归为三角形问题等. 由此可见熟练掌握化归数学思想，对增强解题能力、改善知识结构、提高数学素养大有裨益.
四、 数学方法
回顾解一元二次方程的各种解法，从中我们能感受到不少常见的数学方法.
1. 学习知识的路径：从简单到复杂
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），先学习ax2=0（a≠0）的解法，再学习ax2+bx=0（a≠0）的解法，最后学习ax2+bx+c=0（a≠0）的解法.
2. 解决问题的办法：“降次”转化
无论是直接开平方法、配方法或因式分解法，都实现了从一元二次方程向一元一次方程的转化，这也告诉了我们，当遇到新问题时，应该尝试用已有的知识或方法去解决未知的问题，将不熟悉的转化为熟悉的，将未知的转化为已知的，将高次的转化为低次的，将多元的转化为少元的.
3. 从特殊到一般
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过配方，得到x+■2=■，当b2-4ac≥0时，可以得到方程的求根公式x=■. 因此，只要一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式非负，就可以直接由公式计算得到方程的根，具有一般性.
4. 对立和统一
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有没有根，首先看b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时方程有实数根，当b2-4ac<0时方程没有实数根，这两种情形既是对立的，但同时它们又统一到了对b2-4ac的符号的判别上来.
同学们，数学的思想方法从来都不是空洞的，和它一路同行吧，我们会站得更高，行得更远！