论文部分内容阅读
一 、序言
射影几何博大精深、魅力无穷,题目让人耳目一新、流连忘返。可惜它的内容深奥、图形复杂,学生很难在短时间里面入门该课程,这是一种遗憾。而从前苏联教育家维果茨基提出的最近发展区理论来看,圆是高中学生学习椭圆的最近发展区,是学习解析几何思维的起点,如果能把圆的性质类比到椭圆,将会让学生感受到几何的震撼,也可以极大地提高学生学习数学的兴趣。因此本文想尝试用高中生能理解的少部分射影几何概念,去解释2018年全国卷(1)理科数学解析几何题的原理。
二 、预备知识
1.调和点列的概念:如图所示,设A,B,C,D是一条直线上的四点,若满足,则称为A,B,C,D是调和点列。
2.调和点列性质:(1)设A,B,C,D是一条直线上的四点,O是直线外一点,若 A,B,C,D成调和点列(即的意思),则有(如下图)。
证明:由于 (三角形面积公式)
。
又因为(把边 看成三角形的底),
所以……
①同理;。
②又因为;所以……
③又因为……
由①,②,③式可得
,性质证毕。
3.调和点列性质:(2)设A,B,C,D是一条直线上的四点,O是直线外一点,若 A,B,C,D成调和点列,且OA⊥OB,则有OB 平分∠COD,OA平分∠COD的外角 (如下图)
证明:由性质(1)得
因为∠AOD=90° ∠BOD ,
所以sin∠AOD=sin(90° ∠BOD)同理:∠AOC=90°-∠BOC,所以sin∠AOC=sin(90°-∠BOC)。
所以,推出sin(∠BOD-∠BOC)=0,
所以OB平分∠COD;OA平分∠COD的外角(证明过程略)
为了应用上面的性质,同时也为了给后面的高考题做个铺垫,特设计了这道关于圆的纯几何证明的例题。
例题:如下图所示,已知圆O的一条直径为CD,弦AB过点F,且。
证明:
(1)AD平分∠FAM,且CA平分∠KAB
(2)
(3)∠KMC=∠BMC
证明:为了方便书写,记∠4=∠KAD, ∠3=∠FAD,∠2=∠CAB, ∠1=∠KAC
(1)由,可得C,D,F,M为调和点列,且DA⊥DC(圆周角直角),
由性质2立即得出AD平分∠FAM,AC平分∠BAK,所以∠1=∠2
(2)因为∠1=∠2,所以(圆周角所对的弧相等)
(3) 由对称性,所以∠KMC=∠BMC
4.调和点列性质:(3)设直线AB的斜率为k,若直线上的点横坐标扩大a倍 ,纵坐标扩大b倍,则直线AB的斜率变为 。
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2)没变化之前 ,变化后。
三、真题分析
2018年全国卷(1)理科数学第19题
设椭圆C:的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0)
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB
解释:(1)略
(2)点F的坐标为(1,0),如果把上面那个例题中的圆O设为标准圆x2 y2=1。根据的关系,可设点C,F,D,M的坐标分别为(-1,0),,(1,0),(,0)。把该圆O的横坐标扩大倍,纵坐标不变,则圆O恰好变成椭圆。而点F,M的坐标恰好變为(1,0),(2,0)。由性质(3)可得直线BM,KM的斜率在拉伸变化过程中,始终有 KBM=KKM,所以∠OMA=∠OMB的结论成立。从而可以看出这道高考题的背景能用调和点列的性质来解释。
四、课堂实践
在2016年,本人曾经在一个理科普通班(该班全国高考数学平均分90分左右)实践过这三条性质的讲解,学生普遍能接受,效果不错。但是对调和点列这个概念,特别是那个比值的书写容易混乱,这一点需要加强突破。
射影几何博大精深、魅力无穷,题目让人耳目一新、流连忘返。可惜它的内容深奥、图形复杂,学生很难在短时间里面入门该课程,这是一种遗憾。而从前苏联教育家维果茨基提出的最近发展区理论来看,圆是高中学生学习椭圆的最近发展区,是学习解析几何思维的起点,如果能把圆的性质类比到椭圆,将会让学生感受到几何的震撼,也可以极大地提高学生学习数学的兴趣。因此本文想尝试用高中生能理解的少部分射影几何概念,去解释2018年全国卷(1)理科数学解析几何题的原理。
二 、预备知识
1.调和点列的概念:如图所示,设A,B,C,D是一条直线上的四点,若满足,则称为A,B,C,D是调和点列。
2.调和点列性质:(1)设A,B,C,D是一条直线上的四点,O是直线外一点,若 A,B,C,D成调和点列(即的意思),则有(如下图)。
证明:由于 (三角形面积公式)
。
又因为(把边 看成三角形的底),
所以……
①同理;。
②又因为;所以……
③又因为……
由①,②,③式可得
,性质证毕。
3.调和点列性质:(2)设A,B,C,D是一条直线上的四点,O是直线外一点,若 A,B,C,D成调和点列,且OA⊥OB,则有OB 平分∠COD,OA平分∠COD的外角 (如下图)
证明:由性质(1)得
因为∠AOD=90° ∠BOD ,
所以sin∠AOD=sin(90° ∠BOD)同理:∠AOC=90°-∠BOC,所以sin∠AOC=sin(90°-∠BOC)。
所以,推出sin(∠BOD-∠BOC)=0,
所以OB平分∠COD;OA平分∠COD的外角(证明过程略)
为了应用上面的性质,同时也为了给后面的高考题做个铺垫,特设计了这道关于圆的纯几何证明的例题。
例题:如下图所示,已知圆O的一条直径为CD,弦AB过点F,且。
证明:
(1)AD平分∠FAM,且CA平分∠KAB
(2)
(3)∠KMC=∠BMC
证明:为了方便书写,记∠4=∠KAD, ∠3=∠FAD,∠2=∠CAB, ∠1=∠KAC
(1)由,可得C,D,F,M为调和点列,且DA⊥DC(圆周角直角),
由性质2立即得出AD平分∠FAM,AC平分∠BAK,所以∠1=∠2
(2)因为∠1=∠2,所以(圆周角所对的弧相等)
(3) 由对称性,所以∠KMC=∠BMC
4.调和点列性质:(3)设直线AB的斜率为k,若直线上的点横坐标扩大a倍 ,纵坐标扩大b倍,则直线AB的斜率变为 。
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2)没变化之前 ,变化后。
三、真题分析
2018年全国卷(1)理科数学第19题
设椭圆C:的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0)
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB
解释:(1)略
(2)点F的坐标为(1,0),如果把上面那个例题中的圆O设为标准圆x2 y2=1。根据的关系,可设点C,F,D,M的坐标分别为(-1,0),,(1,0),(,0)。把该圆O的横坐标扩大倍,纵坐标不变,则圆O恰好变成椭圆。而点F,M的坐标恰好變为(1,0),(2,0)。由性质(3)可得直线BM,KM的斜率在拉伸变化过程中,始终有 KBM=KKM,所以∠OMA=∠OMB的结论成立。从而可以看出这道高考题的背景能用调和点列的性质来解释。
四、课堂实践
在2016年,本人曾经在一个理科普通班(该班全国高考数学平均分90分左右)实践过这三条性质的讲解,学生普遍能接受,效果不错。但是对调和点列这个概念,特别是那个比值的书写容易混乱,这一点需要加强突破。