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摘要： 数学教学中，概念教学既是一个重点也是一个难点，它是搞好数学教学的基础。本文就新课程标准下的数学概念教学，提出了概念教学中渗透探究思想的策略。
关键词： 数学概念 探究 策略
数学概念的获得有两种基本形式：概念形成和概念同化。概念形成是从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性；概念同化是指利用学生已有的知识经验，以定义的方式揭示概念的本质属性。概念形成主要依靠对具体事物的抽象概括；概念同化则主要依靠学生对新旧知识的联系。开始对数学概念的学习较多的是按概念形成的方式进行，而随着学生知识的增多和认知结构的不断发展，概念同化便逐渐成为学生获得数学概念的主要方式。基于课改的诸多理念，在学习概念的方式上，是否可深入研究概念获得的两种基本形式，改为在教师创设的情景中、问题中去“想数学”、“做数学”，经历一遍探究、创新的过程，把探究作为一种教学方式、一种理念贯穿在数学概念教学过程的始终，让它成为学生的学习活动，以及教师制定教学策略及实施教学过程的指导思想，应该说是符合数学教学改革的需要，也是改变传统教学的有效方式。
1.概念引入阶段的探究
1.1概念引入阶段探究的重要性。
引入概念是教学的第一步，也是形成概念的基础。学生在学习某一数学概念之前，在日常学习生活中对一些数学现象和问题所形成的看法和认识，如已有经验或题组，以及所得出的一些与科学概念不尽一致甚至错误的观念及其特殊的思维模式，这些形形色色的已有概念，指导或决定着学生的感知过程，并对学生解决问题的行为和思维产生重要影响。如果执教者不对此问题进行认真考虑和分析，则很容易由于师生之间不能有效突破已有概念的误区，使学生在学习中产生疑虑、排斥或机械接受等现象，在面临具体问题的分析和计算时仍沿用原来错误的认知，无法有效地将正确概念建构在自己的知识体系中。
1.2概念引入阶段探究的策略。
概念的学习有一个准备的过程，这就是概念的引入。
概念引入阶段探究的策略1——从实际出发（教材的实际、学生的知识水平及年龄实际、生活和实践经验实际等）。例如，引入“平形线”概念，可以给出学生所熟悉的实例，如铁路上两条笔直的铁轨，桌子的两个对边等，给学生以平行线的形象，然后引导学生探究、分析这些事物的共同属性，形成科学认知，从而揭示新概念的内涵。
概念引入阶段探究的策略2——以问题法的方式。我们的很多概念，它的产生是有很历史背景的，但经过抽象之后写在课本上，学生学起来就不知为什么需要这些概念，只是被动学习，有很多学生到最后也只知道一个一个的知识点，只见树木，不见森林，没有对课程整体地把握。因此弄清学习此概念的必要性和重要性何在，挖掘一个概念形成过程中的诸问题，应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使问题成为学生思考的对象，使概念学习变为学生的内在需求。如引入导数的概念时，可用这样的一系列问题进行统帅：
如何求瞬时速度？（瞬时速度是原始概念，是用平均速度去逼近，是导数概念的力学解释。）
为什么要研究增量？（如一个销售经理虽关心函数?覼（x ），但更关心在x 的基础上调整价格时，市场的反应如何？分析△x与相应的△y=?覼（x +△x）-?覼（x ）的关系，而这是微积分的灵魂。）
如何用局部性质的?覼′（x）来获得有关整体的?覼（b）-?覼（a）呢？我们可用拉格朗日中值定理来解决这个问题，微积分的真谛也正是在于这类本原问题的思考。
概念引入阶段探究的策略3——可采取讨论法。以小组为单位，针对某一问题，通过大家“说数学”的方式，让每个人都有机会在群体中表达各自的观点和想法，并通过相互间的讨论促使其对自身原有认识进行审视、反思，然后将有争论的问题提交。
2.概念领会阶段的探究
2.1探究新旧概念间的关系，确定相应教学策略。
现代认知学习理论有一个基本观点，主张发展学生的认知结构，培养学生的迁移能力，学生原有的数学认知结构总是学习新数学知识的基础。教师在制定教学策略时，首先应通过分析、比较、辨别一类事物的具体例子，确定新概念与原认知结构中有关概念间的关系，扩大或改组原认知结构，然后在此种类属概念的教学中采用相应策略对学生进行有针对性的科学思维训练，引导学生进行探究。可通过辨别概念的正反例证，突出有关特征，排除无关特征的干扰，或者考虑如何引导学生找出原认知结构中的有关概念，研究它的分类及其标准，探究新概念与原认知结构中有关概念的关系。
如“相似三角形”，是在全等三角形基础上的一种相关的下位学习，这种情况下教师如何引导学生探究概念的本质特征？教师先给出两个全等三角形，并提出问题：全等三角形的对应边、对应角之间有什么关系？再拿出两幅大小不同的中国地图，并提出问题：它们之间有什么关系？接着向学生展示两对大小不同的全等三角形，让学生观察、分析它们之间有什么关系。最后，教师展示两对相似三角形的硬纸片，让学生观察它们的形状，并动手测量对应元素（边与角），分别说明它们的关系。这样学生从上面的问题中自己总结出概念的特征，然后得出相似三角形的定义。
2.2探究概念本质，完善学生认知结构。
从根本上说，数学的教学是教师引导学生探究现实世界的数量关系及空间形式，并不断地揭示其内在规律的过程，在这一过程中，教师可根据教学实际，设计有针对性的问题，以问题为线索，同时利用概念之间的关系构建概念体系，从而使学生对这部分的概念有一个全面的认识。如“距离”概念可得到概念体系：两点间的距离→点到直线的距离→两条平行线的距离→异面直线的距离→点到平面的距离→直线到平面的距离→两平行平面的距离，引导学生探究这些距离有什么特点，发现共同特点是最短与垂直，可使学生认识到“距离”这个概念的本质属性。
有些数学概念是伴随认知不断发展的，不可能一次讲透，教学中只要不妨碍概念的科学性和逻辑性，能突出其本质即可。例如“导数”概念的学习：先从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数；再研究导数?覼′（x ）在x 附近的局部性质，明确导数的几何意义；并由导数再引入导函数；用发展、变化的观点进行导数概念的教学，把概念教活，使学生获取的知识成为有机的整体，全面完成导数概念的教学。同时这样从高层次上对函数作整体描述，对函数的研究经历了从整体到局部又回到整体的螺旋式上升过程，导数成为进一步研究函数的有力工具。
3.概念应用阶段的探究
让学生亲自实践，通过对概念的应用即对概念外延的研究，来检验是否掌握概念。特别是可通过概念的无关特征，变式地提出问题，让学生辨析，进而检验是否真正获得概念的意义。
例如对周期函数概念的教学，首先可让学生尝试用定义求（证明）周期函数的周期，看是否掌握概念；另需注意学生是在掌握了正、余弦函数图像的基础上学习周期函数概念的，会把正、余弦函数图像重复出现的偶有属性迁移到周期函数概念上来，易把函数值的重复出现与函数图像的重复出现混同起来。为了澄清概念，可提出这样的问题供学生探究：问题1：图像重复出现的函数一定是周期函数吗？问题2：周期函数的图像一定是重复出现的吗？经过探究、讨论，他们认识到函数图像的重复出现是某些周期函数的偶有属性，它是周期函数的无关特征，并可举反例说明。如函数y=x-［x］（x∈［-2，2］）的图像重复出现，但此函数不是周期函数，回答了问题1；有如函数?覼（x）= ，x∈X，X= -n，-n+ ?摇U（n-1），（n-1）+ ?摇对于任意x∈X，总有?覼（x+1）=?覼（x）= ，所以该函数是周期T=1的周期函数且它的函数值按照一定规律重复出现，但它的图像并不重复出现，回答了问题2。
由此可知，函数值重复出现与函数图像重复出现不能等同，图像重复出现对周期函数来说，既非充分又非必要条件，只有函数值为非常数值的周期函数，它的图像具有这样的特征；而函数值重复出现是周期函数的必要条件但不是充分的条件。可见概念教学还应在巩固阶段通过采取一定的探究方式和措施，发现学生在学习过程中产生的问题和存在的误区，在清楚了解学生的问题之后，通过正反例对比等方式深刻理解概念。
综上所述，在数学概念教学中，教师应根据教学内容，尽可能用探究的方式教学生学习概念、理解概念，使学生学会用探究的方式进行学习，养成主动探究学习，善于积极思考的思维习惯。
参考文献：
［1］马忠林主编.数学学习论.广西教育出版社，1999.
［2］郭立昌.加强数学教学中“学法”的研究.数学通报，1998，（2）.
［3］叶朝晖.应揭示概念发生过程.数学教师，1997，（10）.
［4］童赞荣.数学概念教学中运用变式教学初探.
［5］张大均主编.教育心理学.人民教育出版社，1999.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 数学概念 探究 策略
数学概念的获得有两种基本形式：概念形成和概念同化。概念形成是从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性；概念同化是指利用学生已有的知识经验，以定义的方式揭示概念的本质属性。概念形成主要依靠对具体事物的抽象概括；概念同化则主要依靠学生对新旧知识的联系。开始对数学概念的学习较多的是按概念形成的方式进行，而随着学生知识的增多和认知结构的不断发展，概念同化便逐渐成为学生获得数学概念的主要方式。基于课改的诸多理念，在学习概念的方式上，是否可深入研究概念获得的两种基本形式，改为在教师创设的情景中、问题中去“想数学”、“做数学”，经历一遍探究、创新的过程，把探究作为一种教学方式、一种理念贯穿在数学概念教学过程的始终，让它成为学生的学习活动，以及教师制定教学策略及实施教学过程的指导思想，应该说是符合数学教学改革的需要，也是改变传统教学的有效方式。
1.概念引入阶段的探究
1.1概念引入阶段探究的重要性。
引入概念是教学的第一步，也是形成概念的基础。学生在学习某一数学概念之前，在日常学习生活中对一些数学现象和问题所形成的看法和认识，如已有经验或题组，以及所得出的一些与科学概念不尽一致甚至错误的观念及其特殊的思维模式，这些形形色色的已有概念，指导或决定着学生的感知过程，并对学生解决问题的行为和思维产生重要影响。如果执教者不对此问题进行认真考虑和分析，则很容易由于师生之间不能有效突破已有概念的误区，使学生在学习中产生疑虑、排斥或机械接受等现象，在面临具体问题的分析和计算时仍沿用原来错误的认知，无法有效地将正确概念建构在自己的知识体系中。
1.2概念引入阶段探究的策略。
概念的学习有一个准备的过程，这就是概念的引入。
概念引入阶段探究的策略1——从实际出发（教材的实际、学生的知识水平及年龄实际、生活和实践经验实际等）。例如，引入“平形线”概念，可以给出学生所熟悉的实例，如铁路上两条笔直的铁轨，桌子的两个对边等，给学生以平行线的形象，然后引导学生探究、分析这些事物的共同属性，形成科学认知，从而揭示新概念的内涵。
概念引入阶段探究的策略2——以问题法的方式。我们的很多概念，它的产生是有很历史背景的，但经过抽象之后写在课本上，学生学起来就不知为什么需要这些概念，只是被动学习，有很多学生到最后也只知道一个一个的知识点，只见树木，不见森林，没有对课程整体地把握。因此弄清学习此概念的必要性和重要性何在，挖掘一个概念形成过程中的诸问题，应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使问题成为学生思考的对象，使概念学习变为学生的内在需求。如引入导数的概念时，可用这样的一系列问题进行统帅：
如何求瞬时速度？（瞬时速度是原始概念，是用平均速度去逼近，是导数概念的力学解释。）
为什么要研究增量？（如一个销售经理虽关心函数?覼（x ），但更关心在x 的基础上调整价格时，市场的反应如何？分析△x与相应的△y=?覼（x +△x）-?覼（x ）的关系，而这是微积分的灵魂。）
如何用局部性质的?覼′（x）来获得有关整体的?覼（b）-?覼（a）呢？我们可用拉格朗日中值定理来解决这个问题，微积分的真谛也正是在于这类本原问题的思考。
概念引入阶段探究的策略3——可采取讨论法。以小组为单位，针对某一问题，通过大家“说数学”的方式，让每个人都有机会在群体中表达各自的观点和想法，并通过相互间的讨论促使其对自身原有认识进行审视、反思，然后将有争论的问题提交。
2.概念领会阶段的探究
2.1探究新旧概念间的关系，确定相应教学策略。
现代认知学习理论有一个基本观点，主张发展学生的认知结构，培养学生的迁移能力，学生原有的数学认知结构总是学习新数学知识的基础。教师在制定教学策略时，首先应通过分析、比较、辨别一类事物的具体例子，确定新概念与原认知结构中有关概念间的关系，扩大或改组原认知结构，然后在此种类属概念的教学中采用相应策略对学生进行有针对性的科学思维训练，引导学生进行探究。可通过辨别概念的正反例证，突出有关特征，排除无关特征的干扰，或者考虑如何引导学生找出原认知结构中的有关概念，研究它的分类及其标准，探究新概念与原认知结构中有关概念的关系。
如“相似三角形”，是在全等三角形基础上的一种相关的下位学习，这种情况下教师如何引导学生探究概念的本质特征？教师先给出两个全等三角形，并提出问题：全等三角形的对应边、对应角之间有什么关系？再拿出两幅大小不同的中国地图，并提出问题：它们之间有什么关系？接着向学生展示两对大小不同的全等三角形，让学生观察、分析它们之间有什么关系。最后，教师展示两对相似三角形的硬纸片，让学生观察它们的形状，并动手测量对应元素（边与角），分别说明它们的关系。这样学生从上面的问题中自己总结出概念的特征，然后得出相似三角形的定义。
2.2探究概念本质，完善学生认知结构。
从根本上说，数学的教学是教师引导学生探究现实世界的数量关系及空间形式，并不断地揭示其内在规律的过程，在这一过程中，教师可根据教学实际，设计有针对性的问题，以问题为线索，同时利用概念之间的关系构建概念体系，从而使学生对这部分的概念有一个全面的认识。如“距离”概念可得到概念体系：两点间的距离→点到直线的距离→两条平行线的距离→异面直线的距离→点到平面的距离→直线到平面的距离→两平行平面的距离，引导学生探究这些距离有什么特点，发现共同特点是最短与垂直，可使学生认识到“距离”这个概念的本质属性。
有些数学概念是伴随认知不断发展的，不可能一次讲透，教学中只要不妨碍概念的科学性和逻辑性，能突出其本质即可。例如“导数”概念的学习：先从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数；再研究导数?覼′（x ）在x 附近的局部性质，明确导数的几何意义；并由导数再引入导函数；用发展、变化的观点进行导数概念的教学，把概念教活，使学生获取的知识成为有机的整体，全面完成导数概念的教学。同时这样从高层次上对函数作整体描述，对函数的研究经历了从整体到局部又回到整体的螺旋式上升过程，导数成为进一步研究函数的有力工具。
3.概念应用阶段的探究
让学生亲自实践，通过对概念的应用即对概念外延的研究，来检验是否掌握概念。特别是可通过概念的无关特征，变式地提出问题，让学生辨析，进而检验是否真正获得概念的意义。
例如对周期函数概念的教学，首先可让学生尝试用定义求（证明）周期函数的周期，看是否掌握概念；另需注意学生是在掌握了正、余弦函数图像的基础上学习周期函数概念的，会把正、余弦函数图像重复出现的偶有属性迁移到周期函数概念上来，易把函数值的重复出现与函数图像的重复出现混同起来。为了澄清概念，可提出这样的问题供学生探究：问题1：图像重复出现的函数一定是周期函数吗？问题2：周期函数的图像一定是重复出现的吗？经过探究、讨论，他们认识到函数图像的重复出现是某些周期函数的偶有属性，它是周期函数的无关特征，并可举反例说明。如函数y=x-［x］（x∈［-2，2］）的图像重复出现，但此函数不是周期函数，回答了问题1；有如函数?覼（x）= ，x∈X，X= -n，-n+ ?摇U（n-1），（n-1）+ ?摇对于任意x∈X，总有?覼（x+1）=?覼（x）= ，所以该函数是周期T=1的周期函数且它的函数值按照一定规律重复出现，但它的图像并不重复出现，回答了问题2。
由此可知，函数值重复出现与函数图像重复出现不能等同，图像重复出现对周期函数来说，既非充分又非必要条件，只有函数值为非常数值的周期函数，它的图像具有这样的特征；而函数值重复出现是周期函数的必要条件但不是充分的条件。可见概念教学还应在巩固阶段通过采取一定的探究方式和措施，发现学生在学习过程中产生的问题和存在的误区，在清楚了解学生的问题之后，通过正反例对比等方式深刻理解概念。
综上所述，在数学概念教学中，教师应根据教学内容，尽可能用探究的方式教学生学习概念、理解概念，使学生学会用探究的方式进行学习，养成主动探究学习，善于积极思考的思维习惯。
参考文献：
［1］马忠林主编.数学学习论.广西教育出版社，1999.
［2］郭立昌.加强数学教学中“学法”的研究.数学通报，1998，（2）.
［3］叶朝晖.应揭示概念发生过程.数学教师，1997，（10）.
［4］童赞荣.数学概念教学中运用变式教学初探.
［5］张大均主编.教育心理学.人民教育出版社，1999.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”