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【摘 要】“角的度量”是图形的认识与测量的重要内容，它由五个教学板块组成。合理安排好这几个板块的学习顺序，可以更好地顺应学生的学习心理与角的认识逻辑。以人教版教材“角的度量”一课为例，教师可以进行单元整体重构，分成三个课时，分别为学生设计预备性学习，从而设计了解学生独立学习水平的预学作业。
【关键词】角的度量 整体重构 预学作业
“角的度量”是人教版小学数学四上年级的内容，这一个单元有“线段、直线、射线”“角”“用量角器量角”“角的分类”和“画角”这样五个教学板块。这一个单元中，“用量角器量角”是教学的难点，因为量角器特殊的结构、复杂的量角方法、多变的角的位置等都成为学生难以逾越的一道道鸿沟，在短短的40分钟时间内，要让学生认识量角器，并正确地量各种位置与形状的角，是一个很难实现的目标。因此，虽然关于如何量角，各类公开课给我们提供了许多的学习策略，但是，真正到自己的班级中进行实践，还是暴露出很多的问题。所以，除了努力改进本课的教学之外，能否从单元整体设计的角度，适当调整这五个板块的教学顺序，拉长教学难点的学习时间，由易到难、由表及里地编排“角的度量”的相关内容呢？笔者进行了实践研究。
一、“角的度量”的教材分析
一般地，大多数教材是按照人教版的流程来组织“角的度量”这一个单元的，认为“角的度量”是对角的定量刻画的过程，是“角的分类”的基础，“画角”则是对量角器的再应用。这样的编排，用“量角器”作为测量工具，逐步展开对“角”的定量刻画。但是，由于“量角器的认识”与“量角器的测量”在一节课中同时学习，难点多，任务重。同时，“量角器”的构造是建立在“角”的发生性定义之上的，即表示的是“一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形”，因为只有这样，才可以说明量角器中的两条方向相反的“0刻度线”，才可以体会“内圈刻度”“外圈刻度”的应用价值。
那么，什么时候引入“角”的发生定义更有意义？答案是对于“周角”的理解时。因为从各个角的定义来讲，“周角”是唯一一个只能够用角的发生定义来解释的角。所以，“角的分类”是否可以在“角的度量”之前进行教学？是否可以让“量角器”的构造成为角的分类的工具？
二、“角的度量”的单元重构
基于以上的分析，笔者对“角的度量”的单元教学进行了整体重构，新课教学分成了三个课时，分别是第一课时为“线段、直线、射线与角”，第二课时“角的再分类”，第三课时“角的度量与画角”。即把原来的“角的分类”与“角的定量刻画”放到“角的度量”之前，具体构思如下：
这三节课中，“角的再分类”是重点。第一节课是在认识了射线的基础上，对“角的含义的再认识”；第二课时，在原来已经学习了“锐角”“直角”和“钝角”的基础上，对角进一步进行拓展（平角、周角），并尝试用定量刻画角的大小。
同时，在教学构想时，对这三节课均采用了“预学后教”的形式，依据学习内容与学习目标，选择合理的学习材料，设计可以促进学生自主学习的预学作业，让学生在课前进行自主预学，教师根据学生的预学情况，再组织课堂教学。
三、预学作业的单元整体设计
预学作业的单元整体设计，要求教师既要关注每一个课时的教学内容与目标，同时，也要关注课时内容与目标之间的联系。让学生通过预学作业，先自主尝试，观察分析，解决问题。“角的度量”重构后的三节新课，以对“角”的不断认识为线索，让学生经历“角”概念的不断完善与刻画。依据每一节课的内容特点与学生的认识基础，我们分别确定了预学作业设计的基本策略，第一课时由生活现象抽象数学概念；第二课时由已有知识基础进行“角的再分类”；第三课时由简单模仿尝试测量作图。
（一）由生活现象抽象概念
射线是定义角的一个从属概念，而射线又是对“直的线”进行分类时的一种情况。诚然，直线与射线在现实世界中是不可能找到的，但可以找到相应的原型，把它们作为认识与想象的载体。
首先，可以出示各种生活中的线（如下图），从图中你看到了哪一些线？日常生活中分别叫什么？它們有什么相同点与不同点？
从生活中的三类线的原型出发，通过观察比较、抽象概括，直观地感知各类线的基本特征，并尝试用图示、语言等方式概括出它们各自的特征。不可否认，在纸上画出的线段、射线与直线只是表示这三种线的直观符号，线中的端点，表示线的起点或终点。因此，如果没有端点，则说明它还可以向这个方向无限延长。这就是图形的抽象性与直观性的统一。
同样地，按定义所得到的角，在现实生活中也无法找到。但是，可以用从一点出发的两束激光作为原型，尝试让学生来进行概括角的定义（如下图）。
角在之前学生已经初步认识，这里由射线作为基础，概括出“角”的定义。
基于以上的考虑，笔者设计了如下的预学作业。
预学作业
同学们，在我们的生活中可以看到各种各样直直的线。下面让我们一起来观察一组这样直直的线，说一说它们有什么不一样的地方，你又有什么发现？
一、我观察
在下面三幅图中有三种不同的线，请依据图示，分别画一条线来描述。再说一说这些线的特点，最后给这三条线分别取一个名称。
二、我分析
上面的三种线有什么相同点与不同点？
三、我描述
把下图中的激光所组成的图形在图的右边画一画，再说一说你是怎样画的。
这份预学作业中，没有出现“线段”“直线”“射线”和“角”这些名称，是想让学生自己经历一个抽象过程，了解学生能否依据生活经验，做出概括。
（二）由已有认识基础进行角分类
这一个课时的标题称为“角的再分类”。因为之前依据角的大小，学生已经认识了“锐角”“直角”与钝角，均是从角的外形特点概括的。本节课，在此基础上学习“平角”“周角”。同时，这一节课中，还要学习“角”的发生定义，即角是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另外一个位置的图形。这个定义如何引出，笔者认为对于“周角”的研究应该是一个重要的切入点。 而“角的测量”更是基于角的发生定义来完成的。同时，我们也预设，有一部分学生在日常生活与学习中对用“度”作单位刻画角的大小，已经有了一定的认识。所以，如何通过设计预学作业，让学生自己经历一个从已有的学习基础出发，自主地认识与建构知识的过程。
角的再分类
同学们，我们已经对角的概念以及角的名称有了一定的认识，今天我们对学过的知识做一次回顾，并进一步来学习角的另一个知识——分类。让我们一起来试一试。
一、观察下面的角，依据你的理解，给下面的每一个角取上名称
二、我比较
上面的五个角，分别是一类角的一个代表，再在下面试着各画每类角的一个角。然后回答下面的三个问题。
1.哪几类角的大小是固定的？它们之间有怎样的关系？
2.哪几类角的大小是不固定的？它们各在什么范围？
3.第一题中的五个角各有多大呢？可以分别用一个数量来描述它们的大小吗？ 能够说出几个就写几个。
这一份预学作业，从给不同的角取名称为切入点，了解学生在对角的分类过程中，对于新知的掌握情况，教师可以依据学生的学情，组织课堂教学。
（三）由简单模仿尝试测量作图
在角的再分类时，学生对于角的发生性定义与在圆周上定量刻画角已经有了充分的认识。因此，本节课中可以尝试利用量角器量角与画角，并在量角与画角的过程中，依据上一节课中的经验，逐步总结出用量角器量角与画角的步骤。为了了解学生的自主学习情况，并以此为基础组织教学，设计了如下的预学作业。
量角与画角
同学们，上一节课中，我们学习了对角的再分类，并且能够在圆周上读出角的度数。下面我们试着用量角器量一量已知的角，再用量角器画一画指定大小的角。让我们试着做一做，并归纳一下量法与画法。
一、我测量
1.根据下面量角器的放法，先标出这个角旋转的过程，然后试着测量。
2.依据上一题量角的经验，请量出下面的三个角的度数。
二、我歸纳前面量角的经验，想一想量角可以分成哪几步？
三、我根据画角用量角的经验，用下面的射线作为一条边，分别画一个60度和125度的角。
四、我归纳前面画角的过程，想一想画角可以分成哪几步？
五、回音壁
认识量角器，会从量角器中看出大小不同的角，是量角与画角的基础，这一份预学作业的第一题，带有量角器模型的半圆，可以给学生一个量角器放法的提示。
三份预学作业依据学生学习内容的不断推进，给学生的自主学习提供了一个支架与思路，更为教师了解学情、组织教学、实现有依据的教学提供了可能。
总之，在对“角的度量”的单元整体分析与教材重构的过程，是学生的学习更加顺应数学的产生与形成的过程，是教师进一步理顺数学学习序列的过程，并以“预学作业”作为教材重构的载体，淡化了教材“教”的成分，突出了学习材料促进学生自主学习的功能。
（浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学 311200）
【关键词】角的度量 整体重构 预学作业
“角的度量”是人教版小学数学四上年级的内容，这一个单元有“线段、直线、射线”“角”“用量角器量角”“角的分类”和“画角”这样五个教学板块。这一个单元中，“用量角器量角”是教学的难点，因为量角器特殊的结构、复杂的量角方法、多变的角的位置等都成为学生难以逾越的一道道鸿沟，在短短的40分钟时间内，要让学生认识量角器，并正确地量各种位置与形状的角，是一个很难实现的目标。因此，虽然关于如何量角，各类公开课给我们提供了许多的学习策略，但是，真正到自己的班级中进行实践，还是暴露出很多的问题。所以，除了努力改进本课的教学之外，能否从单元整体设计的角度，适当调整这五个板块的教学顺序，拉长教学难点的学习时间，由易到难、由表及里地编排“角的度量”的相关内容呢？笔者进行了实践研究。
一、“角的度量”的教材分析
一般地，大多数教材是按照人教版的流程来组织“角的度量”这一个单元的，认为“角的度量”是对角的定量刻画的过程，是“角的分类”的基础，“画角”则是对量角器的再应用。这样的编排，用“量角器”作为测量工具，逐步展开对“角”的定量刻画。但是，由于“量角器的认识”与“量角器的测量”在一节课中同时学习，难点多，任务重。同时，“量角器”的构造是建立在“角”的发生性定义之上的，即表示的是“一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形”，因为只有这样，才可以说明量角器中的两条方向相反的“0刻度线”，才可以体会“内圈刻度”“外圈刻度”的应用价值。
那么，什么时候引入“角”的发生定义更有意义？答案是对于“周角”的理解时。因为从各个角的定义来讲，“周角”是唯一一个只能够用角的发生定义来解释的角。所以，“角的分类”是否可以在“角的度量”之前进行教学？是否可以让“量角器”的构造成为角的分类的工具？
二、“角的度量”的单元重构
基于以上的分析，笔者对“角的度量”的单元教学进行了整体重构，新课教学分成了三个课时，分别是第一课时为“线段、直线、射线与角”，第二课时“角的再分类”，第三课时“角的度量与画角”。即把原来的“角的分类”与“角的定量刻画”放到“角的度量”之前，具体构思如下：
这三节课中，“角的再分类”是重点。第一节课是在认识了射线的基础上，对“角的含义的再认识”；第二课时，在原来已经学习了“锐角”“直角”和“钝角”的基础上，对角进一步进行拓展（平角、周角），并尝试用定量刻画角的大小。
同时，在教学构想时，对这三节课均采用了“预学后教”的形式，依据学习内容与学习目标，选择合理的学习材料，设计可以促进学生自主学习的预学作业，让学生在课前进行自主预学，教师根据学生的预学情况，再组织课堂教学。
三、预学作业的单元整体设计
预学作业的单元整体设计，要求教师既要关注每一个课时的教学内容与目标，同时，也要关注课时内容与目标之间的联系。让学生通过预学作业，先自主尝试，观察分析，解决问题。“角的度量”重构后的三节新课，以对“角”的不断认识为线索，让学生经历“角”概念的不断完善与刻画。依据每一节课的内容特点与学生的认识基础，我们分别确定了预学作业设计的基本策略，第一课时由生活现象抽象数学概念；第二课时由已有知识基础进行“角的再分类”；第三课时由简单模仿尝试测量作图。
（一）由生活现象抽象概念
射线是定义角的一个从属概念，而射线又是对“直的线”进行分类时的一种情况。诚然，直线与射线在现实世界中是不可能找到的，但可以找到相应的原型，把它们作为认识与想象的载体。
首先，可以出示各种生活中的线（如下图），从图中你看到了哪一些线？日常生活中分别叫什么？它們有什么相同点与不同点？
从生活中的三类线的原型出发，通过观察比较、抽象概括，直观地感知各类线的基本特征，并尝试用图示、语言等方式概括出它们各自的特征。不可否认，在纸上画出的线段、射线与直线只是表示这三种线的直观符号，线中的端点，表示线的起点或终点。因此，如果没有端点，则说明它还可以向这个方向无限延长。这就是图形的抽象性与直观性的统一。
同样地，按定义所得到的角，在现实生活中也无法找到。但是，可以用从一点出发的两束激光作为原型，尝试让学生来进行概括角的定义（如下图）。
角在之前学生已经初步认识，这里由射线作为基础，概括出“角”的定义。
基于以上的考虑，笔者设计了如下的预学作业。
预学作业
同学们，在我们的生活中可以看到各种各样直直的线。下面让我们一起来观察一组这样直直的线，说一说它们有什么不一样的地方，你又有什么发现？
一、我观察
在下面三幅图中有三种不同的线，请依据图示，分别画一条线来描述。再说一说这些线的特点，最后给这三条线分别取一个名称。
二、我分析
上面的三种线有什么相同点与不同点？
三、我描述
把下图中的激光所组成的图形在图的右边画一画，再说一说你是怎样画的。
这份预学作业中，没有出现“线段”“直线”“射线”和“角”这些名称，是想让学生自己经历一个抽象过程，了解学生能否依据生活经验，做出概括。
（二）由已有认识基础进行角分类
这一个课时的标题称为“角的再分类”。因为之前依据角的大小，学生已经认识了“锐角”“直角”与钝角，均是从角的外形特点概括的。本节课，在此基础上学习“平角”“周角”。同时，这一节课中，还要学习“角”的发生定义，即角是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另外一个位置的图形。这个定义如何引出，笔者认为对于“周角”的研究应该是一个重要的切入点。 而“角的测量”更是基于角的发生定义来完成的。同时，我们也预设，有一部分学生在日常生活与学习中对用“度”作单位刻画角的大小，已经有了一定的认识。所以，如何通过设计预学作业，让学生自己经历一个从已有的学习基础出发，自主地认识与建构知识的过程。
角的再分类
同学们，我们已经对角的概念以及角的名称有了一定的认识，今天我们对学过的知识做一次回顾，并进一步来学习角的另一个知识——分类。让我们一起来试一试。
一、观察下面的角，依据你的理解，给下面的每一个角取上名称
二、我比较
上面的五个角，分别是一类角的一个代表，再在下面试着各画每类角的一个角。然后回答下面的三个问题。
1.哪几类角的大小是固定的？它们之间有怎样的关系？
2.哪几类角的大小是不固定的？它们各在什么范围？
3.第一题中的五个角各有多大呢？可以分别用一个数量来描述它们的大小吗？ 能够说出几个就写几个。
这一份预学作业，从给不同的角取名称为切入点，了解学生在对角的分类过程中，对于新知的掌握情况，教师可以依据学生的学情，组织课堂教学。
（三）由简单模仿尝试测量作图
在角的再分类时，学生对于角的发生性定义与在圆周上定量刻画角已经有了充分的认识。因此，本节课中可以尝试利用量角器量角与画角，并在量角与画角的过程中，依据上一节课中的经验，逐步总结出用量角器量角与画角的步骤。为了了解学生的自主学习情况，并以此为基础组织教学，设计了如下的预学作业。
量角与画角
同学们，上一节课中，我们学习了对角的再分类，并且能够在圆周上读出角的度数。下面我们试着用量角器量一量已知的角，再用量角器画一画指定大小的角。让我们试着做一做，并归纳一下量法与画法。
一、我测量
1.根据下面量角器的放法，先标出这个角旋转的过程，然后试着测量。
2.依据上一题量角的经验，请量出下面的三个角的度数。
二、我歸纳前面量角的经验，想一想量角可以分成哪几步？
三、我根据画角用量角的经验，用下面的射线作为一条边，分别画一个60度和125度的角。
四、我归纳前面画角的过程，想一想画角可以分成哪几步？
五、回音壁
认识量角器，会从量角器中看出大小不同的角，是量角与画角的基础，这一份预学作业的第一题，带有量角器模型的半圆，可以给学生一个量角器放法的提示。
三份预学作业依据学生学习内容的不断推进，给学生的自主学习提供了一个支架与思路，更为教师了解学情、组织教学、实现有依据的教学提供了可能。
总之，在对“角的度量”的单元整体分析与教材重构的过程，是学生的学习更加顺应数学的产生与形成的过程，是教师进一步理顺数学学习序列的过程，并以“预学作业”作为教材重构的载体，淡化了教材“教”的成分，突出了学习材料促进学生自主学习的功能。
（浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学 311200）