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摘要：本文以《高等代数》中的多项式为例，探讨突出数学思维方式，特别是代数学思维方式的教学设计。以中学知识为出发点，以多项式分解为目标将相关知识点体系化。
关键词：高等代数；数学思维；多项式
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）49-0067-02
一、引言
《高等代数》是大学数学专业在一年级开设的核心基础学位课之一，与《数学分析》一起构成了整个大学数学专业知识体系的基石。然而这两门课具有知识点多、难度大、要求高等特点，从我们的实际教学效果来看，很多同学都是从这两门课开始恐惧数学的。为提高教学质量，当前数学教学的一个趋势就是以中学知识点和实际例子出发，用数学思维循序渐进地推进知识点，最终形成知识点的网络体系。这样便于学生在初学时有熟悉感和自信心，在知识点的推进过程中又有利于培养学生的数学思维和数学能力。
“代数学是研究代数对象的结构理论与表示理论的一门学科”[1]。这里结构理论我们理解为以分类与分解两种方式呈现出来，而表示理论更倾向于工具，即用一些简单的、熟悉的代数对象反映出复杂代数对象的某些性质。本文以多项式为例说明我们是如何突出数学思维来设计教学方案的。
二、针对多项式的教学设计
1.知识点的引入。中学数学的一个重点是二次多项式的根的分布（称为韦达公式），等价的描述就是将一个二次多项式分解成两个一次因式的乘积。因此教学中明确告诉学生我们的目标就设定为如何把一个n次多项式的根全部找到，或者说如何将它分解成一次因式的乘积。由于实二次多项式可能有一对共轭的复根，因此这个问题的解答必定涉及到具体的数域。
2.建立运算。数域F上的多项式全体F[x]是我们现在需要研究的代数对象，由于“代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统”[1]，所以多项式作为研究的目标对象，我们首先要考虑其上的运算规则。多项式集合F[x]关于加法和数乘构成一个线性空间，然后引入乘法构成一个F-代数；这样就自然的引出一个问题：除法如何推广？
结合中学数学的具体例子，这个问题有两条解决途径。一是直接定义除法为乘法的逆运算，即设f（x），g（x）∈F[x]如果f（x）g（x）=1，那么f（x）称为g（x）的逆。容易计算得到f（x），g（x）都是非零常数，所以为了运算的封闭性，我们以整数集合为模板做适当调整，这样就引入了第二种途径：称f（x）除以g（x），或g（x）整除f（x），如果存在h（x）∈F[x]使得f（x）=h（x）g（x）。到这里我们就可以详细介绍带余除法了，根据学生能力情况，如需为后续《近世代数》的学习做一些铺垫时，强调带余除法与数域的扩大无关，把带余除法抽象成公理可以定义欧式整环。
3.不可约多项式的出现与应用。我们已经知道求多项式的根或者说多项式的因式分解依赖于具体的数域，当固定一个数域F时，自然需要考虑这样的多项式，它或者在F中没有根，或者在F[x]中不可分解为两个次数更小的多项式的乘积（不妨称为不可分解）。通过介绍余数定理可得a∈F是f（x）的根当且仅当（x-a）整除f（x），所以我们可以发现f（x）在F中没有根与在F[x]中不可分解不是等价的。对次数大于等于1的多项式f（x）在F[x]中如果不可分解为两个次数更小的多项式的乘积，那么定义f（x）为不可约多项式。
对次数做简单的数学归纳法可以证明任何一个次数大于等于1的多项式都可以分解为不可约多项式的乘积。一个数学的自然思维就是：问这样的分解是否唯一？假如有两个分解表达式，这时就需要了解不可约多项式作为因子是如何出现在这两个表达式中的，这时最大公因式和互素的相关知识就自然出现了。
4.唯一分解定理与重因式。经过上述研究工具的准备之后，我们可以证明唯一分解定理了，这时回答了我们最初关心的多项式分解的问题，尽管我们并不能在任意数域上达到分解成一次因式的乘积这样的理想目标（这里根据学生能力情况可以介绍唯一分解整环的基本思想）。将唯一分解定理写成如下的标准分解式：
f（x）=cp■■（x）p■■（x）…P■■（x）
其中c是f（x）的首项系数，p■（x）是首一的两两互素的不可约多项式，r■是正整数。从这个标准分解式可以知道我们需要确定全部不可约多项式，并且给出计算不可约多项式重数的算法。先从较容易的问题入手，可以证明：不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式当且仅当p（x）是（f（x），f′（x））的k-1重因式。从而利用辗转相除法我们就可以给出一个封闭的算法来确定不可约多项式的重数。
5.唯一分解定理在复数域、实数域、有理数域中的具体形式。接下来我们来解决困难的问题——确定某个数域上的全部不可约多项式，即不可约多项式的分类。遗憾的是这个问题到目前为止没有办法解决[2]。我们转而研究三个熟悉的数域，即在复数域、实数域、有理数域上确定全部不可约多项式，通过例子积累研究经验。
复数域上我们介绍代数基本定理：每个复数域上次数大于零的多项式在复数域中至少有一个根。从而我们可以得到复数域上的全部不可约多项式，只能是一次多项式；进而理论上找到复多项式的全部根，解决了最初提出的求根问题。实数域上可以证明不可约多项式要么是一次的，要么是判别式小于零的二次多项式。从而理论上解决了实数域上多项式的求根问题。
有理数域上的情况就变得异常复杂起来，这里将出现一个有跳跃度的知识点：本原多项式，证明整系数多项式关于本原多项式的唯一分解定理。既然我们无法给出全部的不可约本原多项式，或者说无法给出全部的不可约整系数多项式，那么退而求其次，尋找一些方法来判断整系数多项式的不可约性就变得有意义起来。这时介绍Eisenstein（艾森斯坦）判别法作为研究公开问题的一种数学思维来引入是合适的。
三、彩蛋
第二部分我们用数学思维循序渐进的完成了多项式这一章的知识体系的建立。在不同的教材中，处理多项式时会安排一些有趣或者有历史渊源的彩蛋，以提升学生的兴趣或应用能力等。例如，介绍Lagrange（拉格朗日）插值公式和中国剩余定理（如文献[1]），介绍代数基本定理的复变函数论证明方法（如文献[2]）。这些彩蛋是学生可以理解的，同时在体现多项式的应用时反映出数学的美感。
参考文献：
[1]林亚南.高等代数[M].高等教育出版社，2013.
[2]丘维声.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社，2003.
[3]林亚南，陈健敏.突出数学思想观点下的教学方法——以线性空间的同构为例[C].“第四届大学数学课程报告论坛”论文集，2013：48-53.
关键词：高等代数；数学思维；多项式
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）49-0067-02
一、引言
《高等代数》是大学数学专业在一年级开设的核心基础学位课之一，与《数学分析》一起构成了整个大学数学专业知识体系的基石。然而这两门课具有知识点多、难度大、要求高等特点，从我们的实际教学效果来看，很多同学都是从这两门课开始恐惧数学的。为提高教学质量，当前数学教学的一个趋势就是以中学知识点和实际例子出发，用数学思维循序渐进地推进知识点，最终形成知识点的网络体系。这样便于学生在初学时有熟悉感和自信心，在知识点的推进过程中又有利于培养学生的数学思维和数学能力。
“代数学是研究代数对象的结构理论与表示理论的一门学科”[1]。这里结构理论我们理解为以分类与分解两种方式呈现出来，而表示理论更倾向于工具，即用一些简单的、熟悉的代数对象反映出复杂代数对象的某些性质。本文以多项式为例说明我们是如何突出数学思维来设计教学方案的。
二、针对多项式的教学设计
1.知识点的引入。中学数学的一个重点是二次多项式的根的分布（称为韦达公式），等价的描述就是将一个二次多项式分解成两个一次因式的乘积。因此教学中明确告诉学生我们的目标就设定为如何把一个n次多项式的根全部找到，或者说如何将它分解成一次因式的乘积。由于实二次多项式可能有一对共轭的复根，因此这个问题的解答必定涉及到具体的数域。
2.建立运算。数域F上的多项式全体F[x]是我们现在需要研究的代数对象，由于“代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统”[1]，所以多项式作为研究的目标对象，我们首先要考虑其上的运算规则。多项式集合F[x]关于加法和数乘构成一个线性空间，然后引入乘法构成一个F-代数；这样就自然的引出一个问题：除法如何推广？
结合中学数学的具体例子，这个问题有两条解决途径。一是直接定义除法为乘法的逆运算，即设f（x），g（x）∈F[x]如果f（x）g（x）=1，那么f（x）称为g（x）的逆。容易计算得到f（x），g（x）都是非零常数，所以为了运算的封闭性，我们以整数集合为模板做适当调整，这样就引入了第二种途径：称f（x）除以g（x），或g（x）整除f（x），如果存在h（x）∈F[x]使得f（x）=h（x）g（x）。到这里我们就可以详细介绍带余除法了，根据学生能力情况，如需为后续《近世代数》的学习做一些铺垫时，强调带余除法与数域的扩大无关，把带余除法抽象成公理可以定义欧式整环。
3.不可约多项式的出现与应用。我们已经知道求多项式的根或者说多项式的因式分解依赖于具体的数域，当固定一个数域F时，自然需要考虑这样的多项式，它或者在F中没有根，或者在F[x]中不可分解为两个次数更小的多项式的乘积（不妨称为不可分解）。通过介绍余数定理可得a∈F是f（x）的根当且仅当（x-a）整除f（x），所以我们可以发现f（x）在F中没有根与在F[x]中不可分解不是等价的。对次数大于等于1的多项式f（x）在F[x]中如果不可分解为两个次数更小的多项式的乘积，那么定义f（x）为不可约多项式。
对次数做简单的数学归纳法可以证明任何一个次数大于等于1的多项式都可以分解为不可约多项式的乘积。一个数学的自然思维就是：问这样的分解是否唯一？假如有两个分解表达式，这时就需要了解不可约多项式作为因子是如何出现在这两个表达式中的，这时最大公因式和互素的相关知识就自然出现了。
4.唯一分解定理与重因式。经过上述研究工具的准备之后，我们可以证明唯一分解定理了，这时回答了我们最初关心的多项式分解的问题，尽管我们并不能在任意数域上达到分解成一次因式的乘积这样的理想目标（这里根据学生能力情况可以介绍唯一分解整环的基本思想）。将唯一分解定理写成如下的标准分解式：
f（x）=cp■■（x）p■■（x）…P■■（x）
其中c是f（x）的首项系数，p■（x）是首一的两两互素的不可约多项式，r■是正整数。从这个标准分解式可以知道我们需要确定全部不可约多项式，并且给出计算不可约多项式重数的算法。先从较容易的问题入手，可以证明：不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式当且仅当p（x）是（f（x），f′（x））的k-1重因式。从而利用辗转相除法我们就可以给出一个封闭的算法来确定不可约多项式的重数。
5.唯一分解定理在复数域、实数域、有理数域中的具体形式。接下来我们来解决困难的问题——确定某个数域上的全部不可约多项式，即不可约多项式的分类。遗憾的是这个问题到目前为止没有办法解决[2]。我们转而研究三个熟悉的数域，即在复数域、实数域、有理数域上确定全部不可约多项式，通过例子积累研究经验。
复数域上我们介绍代数基本定理：每个复数域上次数大于零的多项式在复数域中至少有一个根。从而我们可以得到复数域上的全部不可约多项式，只能是一次多项式；进而理论上找到复多项式的全部根，解决了最初提出的求根问题。实数域上可以证明不可约多项式要么是一次的，要么是判别式小于零的二次多项式。从而理论上解决了实数域上多项式的求根问题。
有理数域上的情况就变得异常复杂起来，这里将出现一个有跳跃度的知识点：本原多项式，证明整系数多项式关于本原多项式的唯一分解定理。既然我们无法给出全部的不可约本原多项式，或者说无法给出全部的不可约整系数多项式，那么退而求其次，尋找一些方法来判断整系数多项式的不可约性就变得有意义起来。这时介绍Eisenstein（艾森斯坦）判别法作为研究公开问题的一种数学思维来引入是合适的。
三、彩蛋
第二部分我们用数学思维循序渐进的完成了多项式这一章的知识体系的建立。在不同的教材中，处理多项式时会安排一些有趣或者有历史渊源的彩蛋，以提升学生的兴趣或应用能力等。例如，介绍Lagrange（拉格朗日）插值公式和中国剩余定理（如文献[1]），介绍代数基本定理的复变函数论证明方法（如文献[2]）。这些彩蛋是学生可以理解的，同时在体现多项式的应用时反映出数学的美感。
参考文献：
[1]林亚南.高等代数[M].高等教育出版社，2013.
[2]丘维声.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社，2003.
[3]林亚南，陈健敏.突出数学思想观点下的教学方法——以线性空间的同构为例[C].“第四届大学数学课程报告论坛”论文集，2013：48-53.