《数学教学》2010•2期，数学问题788是：已知a、b、cR,且a+b+c=1,求证：aa+bc+bb+ca+cc+ab≤94。
　　aa+bc+bb+ca+cc+ab是否存在下界，下界为何值。笔者根据函数f(x)=11+x在区间[0，+∞]上是减函数的性质，分析探讨aa+bc+bb+ca+cc+ab的下界与上界以及它的最小值与最大值，发现aa+bc+bb+ca+cc+ab的下界为32，最大值为94。
　　即32＜aa+bc+bb+ca+cc+ab≤94。
　　证明：aa+bc+bb+ca+cc+ab=11+bca+11+cab+11+abc,等式右边的三项恰好是函数f(x)=11+x当x=bca,cab,abc时的三个函数值。不失一般性，设0＜a≤b≤c＜1,则0＜a≤13≤c＜1,bca≥c,abc≤a,bca≥cab≥abc。
　　因函数f(x)=11+x在[0，+∞]上是减函数，所以，
　　f(bca)≤f(cab)≤f(abc)。由此可得，
　　3f(bca)≤f(bca)+f(cab)+f(abc)≤3f(abc)①
　　同理，f(bca)≤f(c),12＜f(c)≤34,
　　∴f(bca)≤12,3f(bca)＜32②
　　f(abc)≥f(a),34≤f(a)＜1,∴f(abc)≥34,3f(abc)≥94③
　　由①、②、③可知，32＜f(bca)+f(cab)+f(abc)≤94
　　即32＜aa+bc+bb+ca+cc+ab≤94④
　　当且仅当a=b=c=13时，aa+bc+bb+ca+cc+ab取得最大值94。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文