根据2009年高考江苏卷数学科《考试说明》，平面向量的数量积为最高级（C级）要求，本文探讨以圆为背景的平面向量数量积问题，以供大家参考．
　　1 静态问题
　　1．1直接求解型
　　例1．在半径为1的圆上按顺序均匀分布着点A1，A2，A3，A4，A5，A6，则
　　．
　　解析：如图1， ，
　　同理可得其余五项均为 ，故所求结果等于3．
　　点评：本题用平面向量的数量积定义直接求解，要注意向量的夹角（共起点后形成的角）问题．
　　1．2间接求解型
　　例2．如图2， 是半圆 的直径， 是弧 的三等分点， 是线段 的三等分点．若 ，则 的值是．
　　解析：连结 ，则
　　
　　点评：用数量积定义直接求解不方便时，通常将其转化成有长度、有夹角的向量，注意圆的几何性质的运用．本题也可通过建立直角坐标系用坐标法求解．
　　2 动态问题
　　2．1 求范围问题
　　例3．如图3，半圆 的直径 ，点 是半圆上异与 两点的任意一点，若点 为半径 上的动点，则 的范围是．
　　解析：
　　又 ，由基本不等式得
　　故 （当且仅当点 为 的
　　中点时取等号成立）．
　　点评：利用圆心为 的中点，将 转化为 ，应当知道求范围问题通常通过构造不等关系来处理，注意基本不等式的运用．
　　2．2求值（运动定常）问题
　　例4．已知线段 是半径为 的圆 的弦，且 ，试探究 是否为定值（与 的大小无关）？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．
　　解析：可先从特殊情形下手，当弦 为直径时，
　　有 ；当 为正三角形时，有 ，
　　故猜想 为定值 ，证明如下：
　　如图4，过点 作 交 于点 ，则
　　．
　　点评：运动定常问题通常可先从特殊值或特殊位置入手，进而讨论一般情形，
　　注意向量的投影在圆中的运用，这种处理简洁明了．
　　例5．已知动直线 不全为 且 与圆 相交与 两点，求 的值．
　　解析：如图5， 圆心 到直线不全为 的距离
　　 ， 动直线 是单位圆
　　 的切线（切点为 ），易得 为
　　等腰直角三角形， ．
　　点评：注意弄清题中的动直线 的本质属性，
　　再运用数形结合思想，相信本题的结果不难获得，应当知道 取决于圆 的半径 的大小．
　　例6．如图6，已知圆 为 的外接圆，，点 在 轴上，点 为线段 的中点，若 是圆 中绕圆心 运动的一条直径，试探究 是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．
　　解析：设点 的坐标为 ，
　　 中， ，故 ，
　　即有 ，求得 ，
　　圆 中，易得 ，又点 为线段 的中
　　点，故 ．探究 是否为定值，可先从特殊位置入手，当 与 重合时， ；当 与 垂直时，有 ，故 ，此时 ，故猜想 为定值 ，证明如下：
　　法1（坐标法）
　　思路1（设而不求）设 ，当直线 的斜率存在时，不妨设其为 ，则直线 的方程为 ①，又圆 的方程为 ②，由①、②联立方程组消去 得 ，利用根与系数的关系有： ，所以
　　，而，
　　则 ，特别地，当直线 的斜率不存在时， ，故总有 ．
　　思路2：(整体思想) 设 则 ，此时 ， ，故 ．
　　法2（定义法）
　　思路3：（化归思想）
　　思路4：（利用向量的投影）如图7，延长
　　 交圆 于点 ，连结 ，则
　　 ．
　　点评： 思路１是多数学生在解该题时所想到的一种思路，但有一定的运算量（注意本解答中由①、②联立方程组消去 得到的式子已作简化处理），导致不少学生未能得到最终结果，特别是直线 的斜率是否存在的讨论容易忽略；思路2利用圆的对称性在思路1的基础上优化了设法，进而利用整体思想巧妙求解；思路3由于 、 的长度、夹角均在变化，直接用定义求解不方便，故利用圆的性质将其转化成有长度、有夹角的向量后再求解，这体现了化归的思想．然而，上述三种思路仅是从解题的角度来思考问题，但思路4则是从命题的角度揭示了本题中运动定常的内在原因．
　　解后反思：（将上述问题回归到纯几何中考虑）
　　给定半径为 的圆 ，直径 绕圆心 旋转，动点 沿给定的方向从圆心 向圆外运动，探究 的变化情况．
　　探究：如图8，设定方向为 的方向，下面分三种情形讨论．
　　（1）（点 在圆 内）特别地，当动点 与圆心重合时， ，当动点 在圆内且不是圆心时， ，由相交弦定理知 ；
　　（2）（点 在圆 上） ；
　　（3）（点 在圆 外） ，由切割线定理知 （ 为由点 引圆 的切线长）．
　　由此可见，例6是基于圆幂定理而提出的探究性问题，当点 从圆心沿定方向向圆外运动时， 变化情况为： ，并且，只要给定点 的位置， 就为定值．