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一、填空题（共70分）
1.已知-π2<α<β<π2，则α-β2的取值范围是.
2.当x>0时，则f（x）=2xx2 1的最大值为.
3.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“”，这个类比命题的真假性是.
4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件.
5.设a，b为正实数.现有下列命题：
①若a2-b2=1，则a-b<1；
②若1b-1a=1，则a-b<1；
③若|a-b|=1，则|a-b|<1；
④若|a3-b3|=1，则|a-b|<1.
其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）
6.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k（k∈N*），已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实事中提炼出一个不等式组是.
7.已知a∈R ，函数f（x）=ax2 2ax 1，若f（m）<0，比较大小：f（m 2）1.（用“<”或“=”或“>”连接）.
8.观察下列等式：
1-12=12
1-12 13-14=13 14
1-12 13-14 15-16=14 15 16
……
据此规律，第n个等式可为.
9.设关于x，y的不等式组2x-y 1>0，x m<0，y-m>0表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是.
10.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3·a5=64，则数列{an}的前8项和为.
11.已知函数y=ax b的图象如图所示，则1a-1 2b的最小值=.
12.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示n条直线交点的个数，当n>4时，f（n）=.
13.已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则x2 y2 2x-2y 2xy-x y-1的最大值为.
14.数列{an}满足（sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），其中sn为数列{an}的前n项和，甲、乙、丙、丁四名同学各写了该数列的前四项：甲：1，3，5，7；乙：1，4，8，7；丙：1，4，4，7；丁：1，3，8，4.请你确定这四人中所有书写正确的学生.
二、解答题（共90分）
15.已知不等式mx2-nx-n2<0，
（1）若此不等式的解集为{x|-1 （2）若m=2，求此不等式的解集.
16.已知等比数列{an}的前n项和是Sn，满足an 1=（q-1）Sn 1（q≠0）.
（1）求首项a1的值；
（2）若S4，S10，S7成等差数列，求证：a3，a9，a6成等差数列.
17.已知集合A={x|x2-（3a 3）x 2（3a 1）<0，x∈R）}，B={x|x-ax-（a2 1）<0，x∈R}.
（1）求4B时，求实数a的取值范围；
（2）求使BA的实数a的取值范围.
18.设向量a=（x，2），b=（x n，2x-1）（n∈N*），函数y=a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1 （n-1）b2 … bn=（910）n-1 （910）n-2 … 910 1.
（1）求证：an=n 1；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=-anbn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论.
19.如图，某生态园欲把一块四边形地BCED辟为水果园，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=3，CE=DE=1.若经过DB上一点P和EC上一点Q铺设一条道路PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y.
（1）求x，y的关系式；
（2）如果PQ是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ的长的最小值；
（3）如果PQ是参观路线，希望它最长，那么P、Q的位置在哪里？
20.设正整数a，b，c满足：对任意的正整数n，an bn=cn 1.
（1）求证：a b≥c；
（2）求出所有满足题设的a，b，c的值.
参考答案
一、填空题
1.（-π2，0）
2.1
3.如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.（答案不唯一）假命题
4.80
5.①④
6.47 47k<147 47k 47k2≥1
7.>
8.1-12 13-14 … 12n-1-12n=1n 1 1n 2 … 12n
9.（-∞，-23）
10.85或255
11.3 22
12.12（n-2）（n 1）
13.103 14.甲、丙、丁
二、解答题
15.（1）因为mx2-nx-n2<0的解集为{x|-1 所以-1，2是方程mx2-nx-n2=0的两个根.
根据根与系数的关系，有nm=-1 2=1，-n2m=（-1）×2=-2，
解得m=n=2.
（2）m=2，不等式mx2-nx-n2<0即2x2-nx-n2<0，
2x2-nx-n2<0（2x n）（x-n）<0.
（1）若n=0，则原不等式为2x2<0，解集为.
（2）若n>0，则n-（-n2）=3n2>0，即-n2 （3）若n<0，则n-（-n2）=3n2<0，即-n2>n，原不等式的解集为（n，-n2）.
故当n=0时，不等式的解集为；
当n>0时，解集为（-n2，n）；
当n<0时，解集为（n，-n2）.
16.（1）由an 1=（q-1）Sn 1可得an=（q-1）Sn-1 1（n≥2），
两式相减得an 1-an=（q-1）an，所以an 1=qan（n≥2）.
欲使数列{an}等比数列，只需a2=qa1即可，
因为a2=（q-1）S1 1=（q-1）a1 1，所以（q-1）a1 1=qa1，所以a1=1.
若由a22=a1·a3，求出a1=1再验证数列{an}是等比数列，参照上述解法给分.
（2）方法一：若q=1，2S10≠S4 S7，与已知矛盾，故q≠1.
由2S10=S4 S7，得
2a1（1-q10）1-q=a1（1-q4）1-q a1（1-q7）1-q，
即2a1q8=a1q2 a1q5，即2a9=a3 a6，所以a3，a9，a6成等差数列.
方法二：由S4，S10，S7成等差数列，可得2S10=S4 S7，
因为S7=S4 q4S3，S10=S4 q4S3 q7S3，可得q4S3 2q7S3=0，
因为S3≠0，所以q3=-12，
又2a9-（a3 a6）=a1q2（2q6-q3-1）=0，所以a3，a9，a6成等差数列.
17.（1）若4∈B，则4-a3-a2<0a<-3或3 ∴当4B时，实数a的取值范围为[-3，3]∪[4， ∞）.
（2）∵A={x|（x-2）（x-3a-1）<0}，B={x|a ①当a<13时，A=（3a 1，2）.
要使BA，必须a≥3a 1a2 1≤2，此时-1≤a≤-12；
②当a=13时，A=，使BA的a不存在；
③当a>13时，A=（2，3a 1），
要使BA，必须a≥2a2 1≤3a 1，此时2≤a≤3.
综上可知，使BA的实数a的取值范围是[2，3]∪[-1，-12].
18.解：（1）∵y=x（x n） 4x-2=x2 （4 n）x-2在[0，1]上为增函数，
∴an=-2 1 4 n-2=n 1﹒
（2）∵nb1 （n-1）b2 … bn=（910）n-1 （910）n-2 … 910 1=10[1-（910）n]，
∴（n-1）b1 （n-2）b2 … bn-1 0=10[1-（910）n-1]（n≥2）﹒
两式相减得b1 b2 … bn=（910）n-1（n≥2），
∴b1 b2 … bn-1=（910）n-2（n≥3）.
两式相减得bn=-110·（910）n-2（n≥3）.
又b1=1，b2=-110，
∴bn=1，（n=1）-110·（910）n-2，（n≥2，n∈N*）.
（3）由cn=-2，（n=1）n 110·（910）n-2，（n≥2，n∈N*）及当k≥3时ckck-1≥1，ckck 1≥1，得k=9或8﹒
又n=1，2也满足，∴存在k=8，9使得cn≤ck对所有的n∈N*成立.
19.（1）延长BD、CE交于点A，则AD=3，AE=2，则S△ADE=S△BDE=
S△BCE=32.
∵S△APQ=3，
∴14（x 3）（y 2）=3，
∴（x 3）（y 2）=43.
（2）PQ2=AP2 AQ2-2AP·AQcos30°
=（x 3）2 （43x 3）2-2×43×32
≥2×43-12=83-12，
当（x 3）2=（43x 3）2，即x=243-3时，
PQmin=83-12=223-3.
（3）令t=（x 3）2，∵x∈[33，3]，∴t∈[163，12]，（x的范围由极限位置定）
则PQ2=f（t）=t 48t-12，
∵f′（t）=1-48t2，令f′（t）=1-48t2=0，得t=43，
∴f（t）在（0，43）上是减函数，在（43， ∞）上是增函数，
∴f（t）max=max（f（163），f（12）}=f（12）=4，PQmax=2，
此时t=（x 3）2=12，x=3，y=0，P点在B处，Q点在E处.
20.证明：（1）依题意，当n=1时，a b=c2，
则a b-c=c2-c=c（c-1），
因为c∈N*，所以c（c-1）≥0，
从而a b-c≥0，故a b≥c；
（2）an bn=cn 1即（ac）n （bc）n=c，（*）
若a>c，即ac>1，则当n≥logacc时，
（ac）n≥c，而（bc）n>0，于是（ac）n （bc）n>c，与（*）矛盾；
从而a≤c，同理b≤c.
若a≤c，则0 又c∈N*，故c=1或2，
当c=1时，an bn=1，而an bn≥2，故矛盾，舍去；
当c=2时，（ac）n （bc）n=2，从而ac=bc=1，故a=b=2，
综上，所有满足题意的a，b，c依次为2，2，2.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）
1.已知-π2<α<β<π2，则α-β2的取值范围是.
2.当x>0时，则f（x）=2xx2 1的最大值为.
3.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“”，这个类比命题的真假性是.
4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件.
5.设a，b为正实数.现有下列命题：
①若a2-b2=1，则a-b<1；
②若1b-1a=1，则a-b<1；
③若|a-b|=1，则|a-b|<1；
④若|a3-b3|=1，则|a-b|<1.
其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）
6.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k（k∈N*），已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实事中提炼出一个不等式组是.
7.已知a∈R ，函数f（x）=ax2 2ax 1，若f（m）<0，比较大小：f（m 2）1.（用“<”或“=”或“>”连接）.
8.观察下列等式：
1-12=12
1-12 13-14=13 14
1-12 13-14 15-16=14 15 16
……
据此规律，第n个等式可为.
9.设关于x，y的不等式组2x-y 1>0，x m<0，y-m>0表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是.
10.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3·a5=64，则数列{an}的前8项和为.
11.已知函数y=ax b的图象如图所示，则1a-1 2b的最小值=.
12.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示n条直线交点的个数，当n>4时，f（n）=.
13.已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则x2 y2 2x-2y 2xy-x y-1的最大值为.
14.数列{an}满足（sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），其中sn为数列{an}的前n项和，甲、乙、丙、丁四名同学各写了该数列的前四项：甲：1，3，5，7；乙：1，4，8，7；丙：1，4，4，7；丁：1，3，8，4.请你确定这四人中所有书写正确的学生.
二、解答题（共90分）
15.已知不等式mx2-nx-n2<0，
（1）若此不等式的解集为{x|-1
16.已知等比数列{an}的前n项和是Sn，满足an 1=（q-1）Sn 1（q≠0）.
（1）求首项a1的值；
（2）若S4，S10，S7成等差数列，求证：a3，a9，a6成等差数列.
17.已知集合A={x|x2-（3a 3）x 2（3a 1）<0，x∈R）}，B={x|x-ax-（a2 1）<0，x∈R}.
（1）求4B时，求实数a的取值范围；
（2）求使BA的实数a的取值范围.
18.设向量a=（x，2），b=（x n，2x-1）（n∈N*），函数y=a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1 （n-1）b2 … bn=（910）n-1 （910）n-2 … 910 1.
（1）求证：an=n 1；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=-anbn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论.
19.如图，某生态园欲把一块四边形地BCED辟为水果园，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=3，CE=DE=1.若经过DB上一点P和EC上一点Q铺设一条道路PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y.
（1）求x，y的关系式；
（2）如果PQ是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ的长的最小值；
（3）如果PQ是参观路线，希望它最长，那么P、Q的位置在哪里？
20.设正整数a，b，c满足：对任意的正整数n，an bn=cn 1.
（1）求证：a b≥c；
（2）求出所有满足题设的a，b，c的值.
参考答案
一、填空题
1.（-π2，0）
2.1
3.如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.（答案不唯一）假命题
4.80
5.①④
6.47 47k<147 47k 47k2≥1
7.>
8.1-12 13-14 … 12n-1-12n=1n 1 1n 2 … 12n
9.（-∞，-23）
10.85或255
11.3 22
12.12（n-2）（n 1）
13.103 14.甲、丙、丁
二、解答题
15.（1）因为mx2-nx-n2<0的解集为{x|-1
根据根与系数的关系，有nm=-1 2=1，-n2m=（-1）×2=-2，
解得m=n=2.
（2）m=2，不等式mx2-nx-n2<0即2x2-nx-n2<0，
2x2-nx-n2<0（2x n）（x-n）<0.
（1）若n=0，则原不等式为2x2<0，解集为.
（2）若n>0，则n-（-n2）=3n2>0，即-n2
故当n=0时，不等式的解集为；
当n>0时，解集为（-n2，n）；
当n<0时，解集为（n，-n2）.
16.（1）由an 1=（q-1）Sn 1可得an=（q-1）Sn-1 1（n≥2），
两式相减得an 1-an=（q-1）an，所以an 1=qan（n≥2）.
欲使数列{an}等比数列，只需a2=qa1即可，
因为a2=（q-1）S1 1=（q-1）a1 1，所以（q-1）a1 1=qa1，所以a1=1.
若由a22=a1·a3，求出a1=1再验证数列{an}是等比数列，参照上述解法给分.
（2）方法一：若q=1，2S10≠S4 S7，与已知矛盾，故q≠1.
由2S10=S4 S7，得
2a1（1-q10）1-q=a1（1-q4）1-q a1（1-q7）1-q，
即2a1q8=a1q2 a1q5，即2a9=a3 a6，所以a3，a9，a6成等差数列.
方法二：由S4，S10，S7成等差数列，可得2S10=S4 S7，
因为S7=S4 q4S3，S10=S4 q4S3 q7S3，可得q4S3 2q7S3=0，
因为S3≠0，所以q3=-12，
又2a9-（a3 a6）=a1q2（2q6-q3-1）=0，所以a3，a9，a6成等差数列.
17.（1）若4∈B，则4-a3-a2<0a<-3或3
（2）∵A={x|（x-2）（x-3a-1）<0}，B={x|a
要使BA，必须a≥3a 1a2 1≤2，此时-1≤a≤-12；
②当a=13时，A=，使BA的a不存在；
③当a>13时，A=（2，3a 1），
要使BA，必须a≥2a2 1≤3a 1，此时2≤a≤3.
综上可知，使BA的实数a的取值范围是[2，3]∪[-1，-12].
18.解：（1）∵y=x（x n） 4x-2=x2 （4 n）x-2在[0，1]上为增函数，
∴an=-2 1 4 n-2=n 1﹒
（2）∵nb1 （n-1）b2 … bn=（910）n-1 （910）n-2 … 910 1=10[1-（910）n]，
∴（n-1）b1 （n-2）b2 … bn-1 0=10[1-（910）n-1]（n≥2）﹒
两式相减得b1 b2 … bn=（910）n-1（n≥2），
∴b1 b2 … bn-1=（910）n-2（n≥3）.
两式相减得bn=-110·（910）n-2（n≥3）.
又b1=1，b2=-110，
∴bn=1，（n=1）-110·（910）n-2，（n≥2，n∈N*）.
（3）由cn=-2，（n=1）n 110·（910）n-2，（n≥2，n∈N*）及当k≥3时ckck-1≥1，ckck 1≥1，得k=9或8﹒
又n=1，2也满足，∴存在k=8，9使得cn≤ck对所有的n∈N*成立.
19.（1）延长BD、CE交于点A，则AD=3，AE=2，则S△ADE=S△BDE=
S△BCE=32.
∵S△APQ=3，
∴14（x 3）（y 2）=3，
∴（x 3）（y 2）=43.
（2）PQ2=AP2 AQ2-2AP·AQcos30°
=（x 3）2 （43x 3）2-2×43×32
≥2×43-12=83-12，
当（x 3）2=（43x 3）2，即x=243-3时，
PQmin=83-12=223-3.
（3）令t=（x 3）2，∵x∈[33，3]，∴t∈[163，12]，（x的范围由极限位置定）
则PQ2=f（t）=t 48t-12，
∵f′（t）=1-48t2，令f′（t）=1-48t2=0，得t=43，
∴f（t）在（0，43）上是减函数，在（43， ∞）上是增函数，
∴f（t）max=max（f（163），f（12）}=f（12）=4，PQmax=2，
此时t=（x 3）2=12，x=3，y=0，P点在B处，Q点在E处.
20.证明：（1）依题意，当n=1时，a b=c2，
则a b-c=c2-c=c（c-1），
因为c∈N*，所以c（c-1）≥0，
从而a b-c≥0，故a b≥c；
（2）an bn=cn 1即（ac）n （bc）n=c，（*）
若a>c，即ac>1，则当n≥logacc时，
（ac）n≥c，而（bc）n>0，于是（ac）n （bc）n>c，与（*）矛盾；
从而a≤c，同理b≤c.
若a≤c，则0
当c=1时，an bn=1，而an bn≥2，故矛盾，舍去；
当c=2时，（ac）n （bc）n=2，从而ac=bc=1，故a=b=2，
综上，所有满足题意的a，b，c依次为2，2，2.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）