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【摘 要】发散性思维又是创造性思维的核心。在中学数学教学中，可以发现有些学生数学思维方法单一；思维变通性差，不能灵活运用所学的知识；创造能力差，很少提出新方法和独特见解。而以上种种表现实际可归结为发散性思维能力较差。本文首先介绍了发散性思维的特征，讨论了发散性思维在初中数学教学中的作用，最后就怎样培养训练学生的发散性思维能力提出几点思考，并得出了相关结论。
【关键字】发散性思维 发散思维意识 发散思维动机 初中数学教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）17-0276-02
引言
随着知识经济时代的到来和信息技术革命深入，创造被历史地推上了殿堂，饰演着越来越重要的角色，创新与创造能力已经成为国家强盛之源和社会发展之本。目前，一致的看法是，创造性思维与人的创造力密切相关。而发散性思维又是创造性思维的核心。吉尔福特曾指出：“要在学校教学方面启发学生的创造性思维，就必须从求同转向于求异的方式。”徐利治教授也曾提出：“一般说来，数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。所以按照心理学家的见解，数学家的创造能力的大小应和他们的发散思维能力成正比。”但是就如何在学科教学中培养学生的发散性思维而言，有关于此的探讨还不太多，如果论及数学教学中发散思维的培养，这方面的文章就更显得寥寥无几。
1.发散性思维的定义
发散性思维又名辐射型思维，是指沿着各种不同的方面去思考，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的有用的信息，即对已知信息沿着不同的方向，不同的角度思考问题，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。这种思维方式，可以不受现成知识的限制，不受传统方式的束缚，没有固定的方向、固定的范围，允许标新立异、异想天开，对于培养学生的想象能力、创造性思维能力，提高学生观察问题、解决问题的能力有着重要意义。
2.发散性思维的特征
结合现有的教学方式，为了有效地培养发散思维，提高学生的创造性思维能力，我们将发散性思维的三个特征——多端性、变通性和独特性介绍如下：
（1）多端性也称流畅性，流畅的基本特征是数学思维通道畅通无阻，思维向多个方面发散。大脑对外界数学知识信息的分析、加工、重组的速度快，对同一问题思维方向多，例如，数学中有些题能一题多解，有些题能从不同角度提出不同问题。
（2）变通性又称为灵活性，是指思维形式不受固定格式的限制，思维方向多，即可横向，又可纵向，还可逆向。换元的机制强，固定的到可变的、已知的到未知的、单一的到多个的、形式灵活善变，一题多变，代数、几何、三角、高等数学、初等数学的知识交融使用。变通性是应付和解决变化问题的关键，是发散思维的重要标志。教学中，注重思维方式的逆向引导，让学生摆脱定向思维的束缚，加强事物的内涵和外延的沟通联系，注意定义、公式的逆向推导与使用，使学生逐步养成双向思考问题的好习惯，善于从不同的立场、角度、层次探索问题，拓展思维。它反映了数学发散思维的数量特征，突出了一个“多”字。
（3）独特性，是指思维方式求异，新颖奇特，一题多想，千方百计寻求最有解法，创优机制强烈，思维结果有创新的特点就是摆脱人们的共识和传统观念的思维定势，从另外的角度提出完全不同、但有一定依据的全新观点。要改变完全输入式的教学方式，在讲授法中应结合讨论法、自学指导法，鼓励学生大胆开拓，积极思考，同中求异；在解决问题中应注意多种解法；在问题讨论中，应注意多种结论，不断拓展学生的思维方向和思维空间。进行发散思维独特性训练的主要方式有：新高度阐述。当学生学习了某一理论知识以后，教师引导学生回头，从新的理论高度重新思考已学过的旧知识，从而提出新的见解，并做出更深刻、更准确、更全面的表达。
3.发散思维的几种形式
数学发散思维的展开形式有：横向发散、纵向发散、逆向发散、穷举式发散等形式。
3.1 横向发散
所谓横向发散，就是由同一个来源的数学信息，与相关的各方面的数学知识点、知识线、知识块相联系，章节内部、各章之间，甚至数学各分科之间的相互联系。横向发散有利于促进学生对概念、公式、定理的横向拓广。例如，一元二次函数图像与X轴的交点横坐标，语气对因的一元二次方程的解，与解一元二次方程有着密不可分的横向联系。
3.2 纵向发散
所谓纵向发散，就是数学信息向纵深联想与推广，从特殊到一般达到深化知识的目的，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。
例1.2：观察下列各式： ， ， ，…
（1）请根据以上的各式的变形方式，对下列各题进行探究变形：
① ______；② =______；③ =_____；
（2）由你所找到的规律计算：
解决该题的过程，就是一个由浅入深，逐步向纵深发展的思维过程。
3.3 逆向发散
所谓逆向发散就是由同一个来源的数学信息根据它的特点从常有思维的反面或否定方面去思考和探索问题，顺推不行考虑逆推，直接解决不行考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑不可能性，正如顺流而下向大海，逆流而上找源头一样，正向思维无法找到问题的答案时，逆向思维可起到意想不到效果。
3.4 穷举式发散
所谓穷举式发散就是数学信息从已知到未知寻求各种充分条件，并列地展开的合理联想，从而找到各种可能结果，例如，一个四方桌，截取一个角后，还有几个角？通过穷举式发散思维后，可以发现，答案是，的可能有5个角，也可能有3个角。数学上的分类讨论思想，就是一个典型的穷举式发散思维。
4.发散思维在教学中的作用
4.1 在教学中不断强化思维发散的意识 意识是个体认识世界和改造世界的根本。没有意识，则人无以能为。在发散性思维的培养过程中，强化思维发散的意识同样重要。学生强烈的思维发散意识对于发散性思维能力的提高，正如一件物体放在斜坡的高处它将滑向低处一样，是一种重要的心向。在教学中，强化学生的思维发散意识可从以下方面入手。
4.2 发散性的提问
数学学科内容具有高度的抽象性和逻辑的严密性等特点。对于培养个体的逻辑思维直接而自然。但长期以来，由于人们在数学教学中过分重视演绎推理，片面强调逻辑思维，导致了数学教育仅赋予学生以“再现性思维”的严重弊病，极大地限制了数学课对于发散性思维的培养作用的发挥。另外，由于教师受传统教学的影响，他们对于思维发散意识的培养起到了负引导作用。在讲授例题或习题的过程中，教师较多地使用判别性提问、叙述性提问、说理性提问。在回答这些问题时，学生倾向于使用集中思维，久而久之，他们思维发散的意识必然淡薄。因此，在教授数学课时，若克服掉这个不足，改用发散性的提问，则会有利于学生发散意识的激发。
发散性的提问以“除此之外，还有哪些？”、“如果…，那会怎么样？”为特点，通过这样深层的剖析，旨在使学生思维呈立体扩散，而不拘泥于一点。它不但可以涉及到横向比较，也可以做出纵向概括。例如：“这个问题除用方程求解外，还可用什么方法？”、“请看下面这道题目，你能想到几种解法？”、“如果把这个问题的结论由此例式改为乘积式，你将会怎么想？”等等，多使用这样的提问，学生的思维不至于僵化，他们会在解决问题的过程中多角度地思考问题，从而形成思维发散的习惯。
4.3 鼓励一题多解和一题多变
数学往往以题海而著称，我们要摒除“题海战术”的陋习。但我们必须清醒地认识到数学习题的独特地位，它不但可使学生巩固知识，形成技能，而且如果在选题时或解题时注重一题多解和一题多变，则可以很好地强化学生的思维发散意识。
在讲勾股定理的证明时，既可以使用面积割补法，也可以放到平面直角坐标系中解决，还可以通过相似法来解决。而使用割补法，又有不同的割补思路，可以拼成长方形，也可以拼成正方形，还可以拼成其它图形。在演习一元二次方程问题时，可以让学生使用不同的方法，让他们在对不同方法特点的掌握上做出最佳选择，使他们对不同的解题方法掌握得更加巩固。更重要的是，培养他们思维的灵活性，强化学生的思维发散意识。
同样，也可以使用一题多变来强化学生的思维发散意识。通过变换命题的题设与结论来使问题或由陈旧变得新颖，或由顺向改为逆向，或由单一改为综合。例如，在学习圆的垂径定理内容时，通过题设和结论的变换，不但能够导出课本中列出的有关推论，还会得出许多题目的考点与考察形式。
5.教学中培养学生思维发散动机及其能力
动机是激发、维持和调节个体活动的原动力。对于培养个体的发散性思维能力，形成个体思维发散的动机也应成为重要的部分。这可以从以下两方面入手：
5.1通过数学史的教育，形成思维发散的激情
数学是自然科学中的基础学科，有“皇后”之称。从数学的起源、发展到完善，无数位数学家为之奉献了自己毕生的精力，他们开创性的工作将永为世人纪念。在数学的发展史中，如果能撷取数学家的利用思维发散解决问题的故事来教育学生，那么在这些数学前辈亲身经历的鼓舞和激励下，学生会在已形成的思维发散意识的基础上，在解决问题的过程中，追求思维发散，利用思维发散，他们思维发散的动机也将得以形成。
数学家们运用创造性思维解决问题的故事是不胜枚举的。宋朝时期的刘徽为了计算圆周率的数值而发明了“割圆术”，即用圆内接正多边形的周长来代替计算圆的周长。这种思维正是思维发散的表现。我国数学家苏步青小时候遇到这么一个问题：“甲乙两个人从相距100米的A、B两地相向而行，A的速度是每秒4米，B的速度是每秒6米，在他们开始出发时，A的身边有一条狗，同时以每秒l0米的速度奔向B，在到达B后，再立即奔向A，就这样往返奔跑于A和B之间，直到两人相遇，问当两人相遇时，这条狗跑过的路程是多少”。苏老避开小狗跑的路线不确定这一干扰因素，而抓住小狗的速度恒定这一隐蔽因素，顺利地解决了问题，他的思维也正是创造性思维的体现。这些数学家的故事，将会激起学生的创造动机，点燃他们思维发散的火花。
5.2 教师的创造教育观和创造性教学
在数学课堂教学中，教师作为教学活动的主导者，他的创造教育观念及行为对学生形成思维发散动机有潜移默化的影响。因此，教师必须首先确立创造教育观，告诉学生“人人皆创造之人，天天皆创造之时，处处皆创造之地”（陶行知，1943）。所谓创造，不仅指能让原子弹爆炸，能让火箭上天，或能产生重大社会效益与经济效益的重大发明，学生对解决同一问题，提出新方案，新设想，都是创造，创造应从小事做起，从现实出发，例如，学生无法拔出瓶塞，倒出瓶中酒时，他能把瓶塞推向瓶中，从而倒出瓶中酒，，都闪耀着创造性的火花。
其次，为了进一步培养学生的思维发散动机，诱发他们的思维发散行为，教师要采取创造性的教学，通过自己的教学语言、板书和教学程序等来体现思维发散的魅力。并达到巩固知识、激发创造动机的双重目的。
新课改以后，教材中编入了锻炼学生发散性思维和想象的内容，以发展学生的想象力和各种不同的思维取向。同时教师对课堂教学的思维方式发生转变，教师是学习活动的组织者、引导者和参与者。教师不仅仅传授学生知识，更要引导学生学习的方法和思维，让学生获得学习的能力。教师要以学生发展为本，适应全体学生发展的需要，即明确学生是学习的主体，教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上，体现学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。在数学教学中，教师应该有意识引导学生的数学思维，尤其是发散性思维，精心设计教学的每一个环节，培养有效的学习方法。使新课程改革顺利进行、落到实处。
【关键字】发散性思维 发散思维意识 发散思维动机 初中数学教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）17-0276-02
引言
随着知识经济时代的到来和信息技术革命深入，创造被历史地推上了殿堂，饰演着越来越重要的角色，创新与创造能力已经成为国家强盛之源和社会发展之本。目前，一致的看法是，创造性思维与人的创造力密切相关。而发散性思维又是创造性思维的核心。吉尔福特曾指出：“要在学校教学方面启发学生的创造性思维，就必须从求同转向于求异的方式。”徐利治教授也曾提出：“一般说来，数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。所以按照心理学家的见解，数学家的创造能力的大小应和他们的发散思维能力成正比。”但是就如何在学科教学中培养学生的发散性思维而言，有关于此的探讨还不太多，如果论及数学教学中发散思维的培养，这方面的文章就更显得寥寥无几。
1.发散性思维的定义
发散性思维又名辐射型思维，是指沿着各种不同的方面去思考，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的有用的信息，即对已知信息沿着不同的方向，不同的角度思考问题，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。这种思维方式，可以不受现成知识的限制，不受传统方式的束缚，没有固定的方向、固定的范围，允许标新立异、异想天开，对于培养学生的想象能力、创造性思维能力，提高学生观察问题、解决问题的能力有着重要意义。
2.发散性思维的特征
结合现有的教学方式，为了有效地培养发散思维，提高学生的创造性思维能力，我们将发散性思维的三个特征——多端性、变通性和独特性介绍如下：
（1）多端性也称流畅性，流畅的基本特征是数学思维通道畅通无阻，思维向多个方面发散。大脑对外界数学知识信息的分析、加工、重组的速度快，对同一问题思维方向多，例如，数学中有些题能一题多解，有些题能从不同角度提出不同问题。
（2）变通性又称为灵活性，是指思维形式不受固定格式的限制，思维方向多，即可横向，又可纵向，还可逆向。换元的机制强，固定的到可变的、已知的到未知的、单一的到多个的、形式灵活善变，一题多变，代数、几何、三角、高等数学、初等数学的知识交融使用。变通性是应付和解决变化问题的关键，是发散思维的重要标志。教学中，注重思维方式的逆向引导，让学生摆脱定向思维的束缚，加强事物的内涵和外延的沟通联系，注意定义、公式的逆向推导与使用，使学生逐步养成双向思考问题的好习惯，善于从不同的立场、角度、层次探索问题，拓展思维。它反映了数学发散思维的数量特征，突出了一个“多”字。
（3）独特性，是指思维方式求异，新颖奇特，一题多想，千方百计寻求最有解法，创优机制强烈，思维结果有创新的特点就是摆脱人们的共识和传统观念的思维定势，从另外的角度提出完全不同、但有一定依据的全新观点。要改变完全输入式的教学方式，在讲授法中应结合讨论法、自学指导法，鼓励学生大胆开拓，积极思考，同中求异；在解决问题中应注意多种解法；在问题讨论中，应注意多种结论，不断拓展学生的思维方向和思维空间。进行发散思维独特性训练的主要方式有：新高度阐述。当学生学习了某一理论知识以后，教师引导学生回头，从新的理论高度重新思考已学过的旧知识，从而提出新的见解，并做出更深刻、更准确、更全面的表达。
3.发散思维的几种形式
数学发散思维的展开形式有：横向发散、纵向发散、逆向发散、穷举式发散等形式。
3.1 横向发散
所谓横向发散，就是由同一个来源的数学信息，与相关的各方面的数学知识点、知识线、知识块相联系，章节内部、各章之间，甚至数学各分科之间的相互联系。横向发散有利于促进学生对概念、公式、定理的横向拓广。例如，一元二次函数图像与X轴的交点横坐标，语气对因的一元二次方程的解，与解一元二次方程有着密不可分的横向联系。
3.2 纵向发散
所谓纵向发散，就是数学信息向纵深联想与推广，从特殊到一般达到深化知识的目的，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。
例1.2：观察下列各式： ， ， ，…
（1）请根据以上的各式的变形方式，对下列各题进行探究变形：
① ______；② =______；③ =_____；
（2）由你所找到的规律计算：
解决该题的过程，就是一个由浅入深，逐步向纵深发展的思维过程。
3.3 逆向发散
所谓逆向发散就是由同一个来源的数学信息根据它的特点从常有思维的反面或否定方面去思考和探索问题，顺推不行考虑逆推，直接解决不行考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑不可能性，正如顺流而下向大海，逆流而上找源头一样，正向思维无法找到问题的答案时，逆向思维可起到意想不到效果。
3.4 穷举式发散
所谓穷举式发散就是数学信息从已知到未知寻求各种充分条件，并列地展开的合理联想，从而找到各种可能结果，例如，一个四方桌，截取一个角后，还有几个角？通过穷举式发散思维后，可以发现，答案是，的可能有5个角，也可能有3个角。数学上的分类讨论思想，就是一个典型的穷举式发散思维。
4.发散思维在教学中的作用
4.1 在教学中不断强化思维发散的意识 意识是个体认识世界和改造世界的根本。没有意识，则人无以能为。在发散性思维的培养过程中，强化思维发散的意识同样重要。学生强烈的思维发散意识对于发散性思维能力的提高，正如一件物体放在斜坡的高处它将滑向低处一样，是一种重要的心向。在教学中，强化学生的思维发散意识可从以下方面入手。
4.2 发散性的提问
数学学科内容具有高度的抽象性和逻辑的严密性等特点。对于培养个体的逻辑思维直接而自然。但长期以来，由于人们在数学教学中过分重视演绎推理，片面强调逻辑思维，导致了数学教育仅赋予学生以“再现性思维”的严重弊病，极大地限制了数学课对于发散性思维的培养作用的发挥。另外，由于教师受传统教学的影响，他们对于思维发散意识的培养起到了负引导作用。在讲授例题或习题的过程中，教师较多地使用判别性提问、叙述性提问、说理性提问。在回答这些问题时，学生倾向于使用集中思维，久而久之，他们思维发散的意识必然淡薄。因此，在教授数学课时，若克服掉这个不足，改用发散性的提问，则会有利于学生发散意识的激发。
发散性的提问以“除此之外，还有哪些？”、“如果…，那会怎么样？”为特点，通过这样深层的剖析，旨在使学生思维呈立体扩散，而不拘泥于一点。它不但可以涉及到横向比较，也可以做出纵向概括。例如：“这个问题除用方程求解外，还可用什么方法？”、“请看下面这道题目，你能想到几种解法？”、“如果把这个问题的结论由此例式改为乘积式，你将会怎么想？”等等，多使用这样的提问，学生的思维不至于僵化，他们会在解决问题的过程中多角度地思考问题，从而形成思维发散的习惯。
4.3 鼓励一题多解和一题多变
数学往往以题海而著称，我们要摒除“题海战术”的陋习。但我们必须清醒地认识到数学习题的独特地位，它不但可使学生巩固知识，形成技能，而且如果在选题时或解题时注重一题多解和一题多变，则可以很好地强化学生的思维发散意识。
在讲勾股定理的证明时，既可以使用面积割补法，也可以放到平面直角坐标系中解决，还可以通过相似法来解决。而使用割补法，又有不同的割补思路，可以拼成长方形，也可以拼成正方形，还可以拼成其它图形。在演习一元二次方程问题时，可以让学生使用不同的方法，让他们在对不同方法特点的掌握上做出最佳选择，使他们对不同的解题方法掌握得更加巩固。更重要的是，培养他们思维的灵活性，强化学生的思维发散意识。
同样，也可以使用一题多变来强化学生的思维发散意识。通过变换命题的题设与结论来使问题或由陈旧变得新颖，或由顺向改为逆向，或由单一改为综合。例如，在学习圆的垂径定理内容时，通过题设和结论的变换，不但能够导出课本中列出的有关推论，还会得出许多题目的考点与考察形式。
5.教学中培养学生思维发散动机及其能力
动机是激发、维持和调节个体活动的原动力。对于培养个体的发散性思维能力，形成个体思维发散的动机也应成为重要的部分。这可以从以下两方面入手：
5.1通过数学史的教育，形成思维发散的激情
数学是自然科学中的基础学科，有“皇后”之称。从数学的起源、发展到完善，无数位数学家为之奉献了自己毕生的精力，他们开创性的工作将永为世人纪念。在数学的发展史中，如果能撷取数学家的利用思维发散解决问题的故事来教育学生，那么在这些数学前辈亲身经历的鼓舞和激励下，学生会在已形成的思维发散意识的基础上，在解决问题的过程中，追求思维发散，利用思维发散，他们思维发散的动机也将得以形成。
数学家们运用创造性思维解决问题的故事是不胜枚举的。宋朝时期的刘徽为了计算圆周率的数值而发明了“割圆术”，即用圆内接正多边形的周长来代替计算圆的周长。这种思维正是思维发散的表现。我国数学家苏步青小时候遇到这么一个问题：“甲乙两个人从相距100米的A、B两地相向而行，A的速度是每秒4米，B的速度是每秒6米，在他们开始出发时，A的身边有一条狗，同时以每秒l0米的速度奔向B，在到达B后，再立即奔向A，就这样往返奔跑于A和B之间，直到两人相遇，问当两人相遇时，这条狗跑过的路程是多少”。苏老避开小狗跑的路线不确定这一干扰因素，而抓住小狗的速度恒定这一隐蔽因素，顺利地解决了问题，他的思维也正是创造性思维的体现。这些数学家的故事，将会激起学生的创造动机，点燃他们思维发散的火花。
5.2 教师的创造教育观和创造性教学
在数学课堂教学中，教师作为教学活动的主导者，他的创造教育观念及行为对学生形成思维发散动机有潜移默化的影响。因此，教师必须首先确立创造教育观，告诉学生“人人皆创造之人，天天皆创造之时，处处皆创造之地”（陶行知，1943）。所谓创造，不仅指能让原子弹爆炸，能让火箭上天，或能产生重大社会效益与经济效益的重大发明，学生对解决同一问题，提出新方案，新设想，都是创造，创造应从小事做起，从现实出发，例如，学生无法拔出瓶塞，倒出瓶中酒时，他能把瓶塞推向瓶中，从而倒出瓶中酒，，都闪耀着创造性的火花。
其次，为了进一步培养学生的思维发散动机，诱发他们的思维发散行为，教师要采取创造性的教学，通过自己的教学语言、板书和教学程序等来体现思维发散的魅力。并达到巩固知识、激发创造动机的双重目的。
新课改以后，教材中编入了锻炼学生发散性思维和想象的内容，以发展学生的想象力和各种不同的思维取向。同时教师对课堂教学的思维方式发生转变，教师是学习活动的组织者、引导者和参与者。教师不仅仅传授学生知识，更要引导学生学习的方法和思维，让学生获得学习的能力。教师要以学生发展为本，适应全体学生发展的需要，即明确学生是学习的主体，教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上，体现学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。在数学教学中，教师应该有意识引导学生的数学思维，尤其是发散性思维，精心设计教学的每一个环节，培养有效的学习方法。使新课程改革顺利进行、落到实处。