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学数学中很重要的一点就是理解数学,而不是背数学或机械地做数学。学生应该怎样学,教师应该怎样教,才能使数学学习成为有意义的、理解性的学习呢?有经验的教师在教学中都会有许多特殊的教学策略,特别是在突破教学难点时。下面,笔者结合若干教学案例,谈谈如何用有效的教学策略突破教学难点。
一、借助形象直观的表示促进理解
借助形象直观的表示促进理解这一策略可以说是被数学教师普遍接受的策略,无论他们是教什么年级的,或者是教多么复杂的内容。认知心理学家们一般认为,信息在大脑中储存的方式直接影响信息提取的难易。信息可能以各种感觉性质的代码储存,也可以以符号、语义或情绪性质的代码储存。对信息采取语言和表象的两种编码称为“双重编码”。研究表明,凭借双重编码,符号、语义的信息才能够比较容易提取。不同表征的储存特征给我们的启示是,教学中为了帮助学生更好地理解知识,要能够充分唤起学生的视觉表征能力。直观教具和直接的经验是引起视觉表征的主要刺激,想象的发挥也是视觉表征产生的有效途径。教师用形象性的教学语言来唤起学生的视觉表象,同样会产生双重编码的功用。由于直观形象所反映的事物之间的联系是学生所熟悉的,因此,教师通过图形、图像或图示能启迪学生的思维,一些抽象、概括的或难理解的数学结论或问题通过这些形象直观的表示有时会变得一目了然,更容易理解。
例1 对于完全平方公式的理解,有一些学生常常记不住。如果学生理解它的含义的话,其实,这一公式并不需要特别地去记忆。有经验的教师会告诉学生,当实在记不住的时候,其实是可以通过多项式的乘法法则,或者多次使用乘法对加法的分配律把这个公式构造出来的:
(a + b)2 =(a + b)(a + b)
= a×a + a×b + b×a + b× b
= a2+2ab+b2。
或者(a + b)2 =(a + b)(a + b)
=(a + b)×a + (a + b)×b
= a×a + b×a + a×b + b×b
= a2+2ab+b2。
而除此方法之外,还可以使用如下的图形表示,既可以帮助学习理解这个公式,又可以通过让学生回忆这个图形而回忆起这个公式。
通过这个几何图形,我们可以看到,因为整个大正方形的面积是(a + b)(a + b),而这个大的正方形也可以看做是四个部分组成的,分别是两个正方形和两个长方形,它们的面积之和为a2+ab+ab+b2,由此我们可以得出,(a+b)2 =a2+2ab+b2。
例2 在几何或代数学习中所涉及的概念很多,但它们之间又是有密切联系的,通过树状图揭示出概念与概念之间的关系,将有助于学生学习或复习学过的一些数学概念,在头脑中形成良好的认知网络。在下面的树状图中,一个是揭示各种数的关系的图示,一个是揭示各种几何概念关系的图示。
像这样的树状图(也称二叉树)非常实用,是帮助学生理解数学的有效工具。面对两个或两个以上的选择或可供选择的机会时,用二叉树可以帮助学生记录先选择的是什么,后选择的是什么。把这样一个有序思考的过程向学生展示清楚,当学生掌握这个方法后,就可以保证结果的不重复不遗漏,有利于这类问题的正确解决。
二、通过数学模型和实验促进自主探索和抽象思维
数学家们不断地从一些实物模型出发建立一些能帮助我们更直接地研究数量关系和空间形式的抽象模型。比如说,利用一次函数来研究具有线性关系的实物模型;在单价不变的情况下,总价与数量之间的正比例关系;在速度一定的情况下,距离和时间的正比例关系;在加速度不变的情况下,距离与时间之间的关系,等等。实物模型的作用使我们能借助这个素材、情境帮助我们理解问题,而抽象模型的作用使我们能舍弃问题中一些无关的因素,抓住其中具有关键作用的数量关系或空间形式简化问题,从而更有效地表达问题、分析问题和解决问题。事实上,现代的数学教学观十分强调数学学习应以“问题情境—建立模型—解决问题—拓展应用”的模式加以组织。为了建立模型,学习者需要通过数学实验去收集数据、猜测、推理、验证等一系列探索的活动,因此通过数学模型和实验促进自主探索和抽象思维便成为数学教学中一个十分有用的教学策略。
例3 建立概率的面积模型
探索性问题:一个袋子中有3个橙色的弹子和2个蓝色的弹子。你从中取一个,然后把它放回袋中,再取第二次。
请分析下列四个方法中哪一个适合于发现实验中可能的结果:(1)树状图;(2)列名单;(3)面积模型;(4)列表格。
学生通过分析会发现,树状图、列名单、列表格等方法虽然都可用,但与面积模型比较,这些方法就显得麻烦些。
从上图我们可以看到,利用面积模型可以较为简便地发现抽取出两个蓝色弹子的概率为40%×40%=16%,同时在其中也让学生自然体会到面积模型与分数乘积的联系。
此外,让学生通过动手操作在活动中学习数学,也是非常重要的一个教学策略。学生学习数学不仅需要动眼睛看,仔细地去观察,还需要动手做,亲身地去操作。在数学教学中,必须通过学生主动的活动,包括观察、操作、实验、猜测、验证、收集整理、描述、画图、推理、反思、交流和应用等,让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质,亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”,并从中感受到数学的力量,促进数学的学习。通过动手性很强的活动,学生不仅可以加深对数学的理解,同时也有利于提升他们对数学学习的兴趣。多为学生提供动手操作的活动机会,教师会惊奇地发现学生愿意乐此不疲地从事这样的数学活动,并十分兴奋地与同伴分享他们创造和发现的喜悦。(作者单位:北京师范大学)■
一、借助形象直观的表示促进理解
借助形象直观的表示促进理解这一策略可以说是被数学教师普遍接受的策略,无论他们是教什么年级的,或者是教多么复杂的内容。认知心理学家们一般认为,信息在大脑中储存的方式直接影响信息提取的难易。信息可能以各种感觉性质的代码储存,也可以以符号、语义或情绪性质的代码储存。对信息采取语言和表象的两种编码称为“双重编码”。研究表明,凭借双重编码,符号、语义的信息才能够比较容易提取。不同表征的储存特征给我们的启示是,教学中为了帮助学生更好地理解知识,要能够充分唤起学生的视觉表征能力。直观教具和直接的经验是引起视觉表征的主要刺激,想象的发挥也是视觉表征产生的有效途径。教师用形象性的教学语言来唤起学生的视觉表象,同样会产生双重编码的功用。由于直观形象所反映的事物之间的联系是学生所熟悉的,因此,教师通过图形、图像或图示能启迪学生的思维,一些抽象、概括的或难理解的数学结论或问题通过这些形象直观的表示有时会变得一目了然,更容易理解。
例1 对于完全平方公式的理解,有一些学生常常记不住。如果学生理解它的含义的话,其实,这一公式并不需要特别地去记忆。有经验的教师会告诉学生,当实在记不住的时候,其实是可以通过多项式的乘法法则,或者多次使用乘法对加法的分配律把这个公式构造出来的:
(a + b)2 =(a + b)(a + b)
= a×a + a×b + b×a + b× b
= a2+2ab+b2。
或者(a + b)2 =(a + b)(a + b)
=(a + b)×a + (a + b)×b
= a×a + b×a + a×b + b×b
= a2+2ab+b2。
而除此方法之外,还可以使用如下的图形表示,既可以帮助学习理解这个公式,又可以通过让学生回忆这个图形而回忆起这个公式。
通过这个几何图形,我们可以看到,因为整个大正方形的面积是(a + b)(a + b),而这个大的正方形也可以看做是四个部分组成的,分别是两个正方形和两个长方形,它们的面积之和为a2+ab+ab+b2,由此我们可以得出,(a+b)2 =a2+2ab+b2。
例2 在几何或代数学习中所涉及的概念很多,但它们之间又是有密切联系的,通过树状图揭示出概念与概念之间的关系,将有助于学生学习或复习学过的一些数学概念,在头脑中形成良好的认知网络。在下面的树状图中,一个是揭示各种数的关系的图示,一个是揭示各种几何概念关系的图示。
像这样的树状图(也称二叉树)非常实用,是帮助学生理解数学的有效工具。面对两个或两个以上的选择或可供选择的机会时,用二叉树可以帮助学生记录先选择的是什么,后选择的是什么。把这样一个有序思考的过程向学生展示清楚,当学生掌握这个方法后,就可以保证结果的不重复不遗漏,有利于这类问题的正确解决。
二、通过数学模型和实验促进自主探索和抽象思维
数学家们不断地从一些实物模型出发建立一些能帮助我们更直接地研究数量关系和空间形式的抽象模型。比如说,利用一次函数来研究具有线性关系的实物模型;在单价不变的情况下,总价与数量之间的正比例关系;在速度一定的情况下,距离和时间的正比例关系;在加速度不变的情况下,距离与时间之间的关系,等等。实物模型的作用使我们能借助这个素材、情境帮助我们理解问题,而抽象模型的作用使我们能舍弃问题中一些无关的因素,抓住其中具有关键作用的数量关系或空间形式简化问题,从而更有效地表达问题、分析问题和解决问题。事实上,现代的数学教学观十分强调数学学习应以“问题情境—建立模型—解决问题—拓展应用”的模式加以组织。为了建立模型,学习者需要通过数学实验去收集数据、猜测、推理、验证等一系列探索的活动,因此通过数学模型和实验促进自主探索和抽象思维便成为数学教学中一个十分有用的教学策略。
例3 建立概率的面积模型
探索性问题:一个袋子中有3个橙色的弹子和2个蓝色的弹子。你从中取一个,然后把它放回袋中,再取第二次。
请分析下列四个方法中哪一个适合于发现实验中可能的结果:(1)树状图;(2)列名单;(3)面积模型;(4)列表格。
学生通过分析会发现,树状图、列名单、列表格等方法虽然都可用,但与面积模型比较,这些方法就显得麻烦些。
从上图我们可以看到,利用面积模型可以较为简便地发现抽取出两个蓝色弹子的概率为40%×40%=16%,同时在其中也让学生自然体会到面积模型与分数乘积的联系。
此外,让学生通过动手操作在活动中学习数学,也是非常重要的一个教学策略。学生学习数学不仅需要动眼睛看,仔细地去观察,还需要动手做,亲身地去操作。在数学教学中,必须通过学生主动的活动,包括观察、操作、实验、猜测、验证、收集整理、描述、画图、推理、反思、交流和应用等,让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质,亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”,并从中感受到数学的力量,促进数学的学习。通过动手性很强的活动,学生不仅可以加深对数学的理解,同时也有利于提升他们对数学学习的兴趣。多为学生提供动手操作的活动机会,教师会惊奇地发现学生愿意乐此不疲地从事这样的数学活动,并十分兴奋地与同伴分享他们创造和发现的喜悦。(作者单位:北京师范大学)■