论文部分内容阅读
【摘要】文章从产品寿命是衡量质量的重要指标入手，通过三种方法来阐述产品寿命试验的损伤失效率的数学模型.在分析过程中，将产品寿命假定为服从几何分布，借助相应的概率论与数理统计知识，将在步加试验中，对服从几何分布的产品寿命的损伤失效率数学模型中的相关参数做出极大似然估计，最后通过一个简单的例题加以印证.
【关键词】损伤失效率；数学模型；步加试验；损伤因子；极大似然估计
一、产品寿命试验的损伤失效率数学模型
随着我国经济融入全球经济一体化进程，产品质量成为衡量商品进出口的重要指标.为提高我国产品与服务质量的总体水平，推动中国制造走向世界，为我国经济全面、协调、可持续发展，我国产品质量协会始终不渝地坚持服务政府、服务社会、服务企业和广大消费者（用户）的宗旨.而寿命是衡量产品质量好坏的一个重要指标.
产品进行寿命试验，就目前情况来看，一般有三种不同的试验方法：第一种称恒定应加速寿命试验（简称恒加试验），指的是产品在进行试验的过程中应力保持不变；第二种称为步进应力加速寿命试验（简称步加试验），指的是产品在试验过程中，应力呈阶梯状上升；第三种称为序进应力加速寿命试验（简称序加试验），指的是产品在进行试验过程中，应力则是连续上升的（通常是指线性上升），它是一种加于受试产品上的应力随时间连续增加的一种寿命试验，试验一直持续到某一固定时间或受试产品有部分或全部失效为止.对于恒加试验，当应力水平较低时，试验需要的时间较长.而步加试验和序加试验却能缩短试验时间，节省大量人力、物力和财力.本文以步加试验产品寿命来加以研究.
在步加试验中，设S1 损伤失效率数学模型，考虑的是一批产品在步进应力加速试验下，从时刻t=0开始直到一个固定的时刻t1都遭受到一个应力S1，在时刻t1未失效的产品受到应力S2(>S1)，且试验到产品都失效为止.假设这种应力变化的结果是导致开始时失效率函数λ1(y)乘上与变化点t1有关的一个未知因子α(>1).记步进应力寿命时间Y*的失效函数为λ*(y)，所提议的损伤失效率数学模型为：
λ*(y)=λ1(y)，当y≤t1时，αλ1(y)，当y>t1时.
因子α将由S1和S2确定，而且有可能和时间t1也有关.于是α一般记为α(t1)，在此称为损伤因子.
二、几何分布产品寿命试验损伤失效率数学模型下的统计分析
设应力S1下产品寿命服从参数为p的几何分布，即P(X=k)=pqk-1，k=1，2，3，….
在应力S1下将n个产品投入试验，试验进行到第k0次后将应力提高到S2(>S1)继续做试验，试验持续到所有产品均失效为止.在应力S1下有r个产品失效，其次序失效时间为X(1)≤X(2)≤…≤X(r).
在应力S2下有n-r个产品失效，其次序失效“时间”（从0算起）X(r+1)≤X(r+2)≤…≤X(n)，而X(r)≤k0 在应力S1下产品的失效率
λ1(k)=P(X=k)P(X≥k)=pqk-1∑∞l=kpql-1=qk-1qk-11-q=p.
当在k0时应力从S1提高到S2，此时，假定产品失效率服从损伤筹集资金率（TFR）模型，也即失效率λ(k)=αλ1(k)=αp，k>k0.
而其中损伤因子α>1，其值将由S1和S2确定，而且有可能和“时间k0”也有关，在此α也可记作α(k0).
当k≥k0+1时，P(X=k)=αpP(X≥k)=αpP(X=k)+αpP(X≥k+1)，即(1-αp)P(X=k)=αpP(X≥k+1).
也即P(X=k)=αp1-αpP(X≥k+1)
=αp1-αp［P(X=k+1)+P(X≥k+2)］
=αp1-αpαp1-αpP(X≥k+2)+P(X≥k+2)
=αp(1-αp)2P(X≥k+2).
由此，一般地，对K≥k≥k0+1，有
P(X=k)=αp(1-αp)K-kP(X≥K).
从而有P(X=k)=αp(1-αp)kP(X≥K)(1-αp)K，K≥k≥k0+1.
令θ=limK→∞P(X≥K)(1-αp)K（θ应为α，p和k0的函数）.
又由于P(X≥k0)=1-P(X≤k0)=1-∑k0i=1pqi-1=qk0，
由此得θ=(1-p)k0(1-αp)k0+1.对k≥k0+1，有
P(X=k)=αp(1-αp)k(1-p)k0(1-αp)k0+1
=αp(1-p)k0(1-αp)k-k0-1.
特别地，P(X=k0+1)=αp(1-p)k0.
值得一提的是，若k0→0，此时可看作产品一开始便在应力S2下做试验，于是有：
P(X=k)=limk0→0［α(k0)p(1-p)k0(1-α(k0)p)k-k0-1］
=α(0)p(1-α(0)p)k-1.
也就是说在恒应力S2下产品寿命仍服从几何分布，其参数为α(0)p.下面研究参数的极大似然估计：
似然函数为：（其中A为下常数）
L［α,p］=A∏ri=1［pqx(i)-1］∏ni=r+1［αp(1-p)x0• (1-αp)x(j)-k0-1］
=Apr(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-rpn-r(1-p)k0(n-r)• (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)
=Apn(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-r(1-p)k0(n-r)• (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r).
lnL［α,p］=lnA+nlnp+∑ri=1x(i)+k0n-(k0+1)r• ln(1-p)+(n-r)lnα+ ∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)ln(1-αp).
lnL［α，p］α=n-rα-p∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.
lnL［α,p］p=np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-
α∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.
令lnL［α,p］α=0，lnL［α，p］p=0，
化简得α1-αp∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)=n-rp，
np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-n-rp=0，
rp=∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p，
r-rp=p∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r，
r=p∑ri=1x(i)+(n-r)k0.
由此参数p的极大似然估计为：
=r∑ri=1x(i)+(n-r)k0.
又由于1-αpαp
=∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)n-r
1αp=∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0n-r，
进而得损伤因子α的极大似然估计为：
=n-rr•∑ri=1x(i)+(n-r)k0∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0.
例如，设在应力S1下将10个产品投入试验，当有5个产品失效时（次序失效“时间”为：120，223，296，321，386），在k0=400时将应力提高至S2继续做试验，试验持续到所有产品失效为止（次序失效“时间”为：411，458，466，496，518），运用本文方法得参数的极大似然估计为：=14943×10-3，=104304.
【关键词】损伤失效率；数学模型；步加试验；损伤因子；极大似然估计
一、产品寿命试验的损伤失效率数学模型
随着我国经济融入全球经济一体化进程，产品质量成为衡量商品进出口的重要指标.为提高我国产品与服务质量的总体水平，推动中国制造走向世界，为我国经济全面、协调、可持续发展，我国产品质量协会始终不渝地坚持服务政府、服务社会、服务企业和广大消费者（用户）的宗旨.而寿命是衡量产品质量好坏的一个重要指标.
产品进行寿命试验，就目前情况来看，一般有三种不同的试验方法：第一种称恒定应加速寿命试验（简称恒加试验），指的是产品在进行试验的过程中应力保持不变；第二种称为步进应力加速寿命试验（简称步加试验），指的是产品在试验过程中，应力呈阶梯状上升；第三种称为序进应力加速寿命试验（简称序加试验），指的是产品在进行试验过程中，应力则是连续上升的（通常是指线性上升），它是一种加于受试产品上的应力随时间连续增加的一种寿命试验，试验一直持续到某一固定时间或受试产品有部分或全部失效为止.对于恒加试验，当应力水平较低时，试验需要的时间较长.而步加试验和序加试验却能缩短试验时间，节省大量人力、物力和财力.本文以步加试验产品寿命来加以研究.
在步加试验中，设S1
λ*(y)=λ1(y)，当y≤t1时，αλ1(y)，当y>t1时.
因子α将由S1和S2确定，而且有可能和时间t1也有关.于是α一般记为α(t1)，在此称为损伤因子.
二、几何分布产品寿命试验损伤失效率数学模型下的统计分析
设应力S1下产品寿命服从参数为p的几何分布，即P(X=k)=pqk-1，k=1，2，3，….
在应力S1下将n个产品投入试验，试验进行到第k0次后将应力提高到S2(>S1)继续做试验，试验持续到所有产品均失效为止.在应力S1下有r个产品失效，其次序失效时间为X(1)≤X(2)≤…≤X(r).
在应力S2下有n-r个产品失效，其次序失效“时间”（从0算起）X(r+1)≤X(r+2)≤…≤X(n)，而X(r)≤k0
λ1(k)=P(X=k)P(X≥k)=pqk-1∑∞l=kpql-1=qk-1qk-11-q=p.
当在k0时应力从S1提高到S2，此时，假定产品失效率服从损伤筹集资金率（TFR）模型，也即失效率λ(k)=αλ1(k)=αp，k>k0.
而其中损伤因子α>1，其值将由S1和S2确定，而且有可能和“时间k0”也有关，在此α也可记作α(k0).
当k≥k0+1时，P(X=k)=αpP(X≥k)=αpP(X=k)+αpP(X≥k+1)，即(1-αp)P(X=k)=αpP(X≥k+1).
也即P(X=k)=αp1-αpP(X≥k+1)
=αp1-αp［P(X=k+1)+P(X≥k+2)］
=αp1-αpαp1-αpP(X≥k+2)+P(X≥k+2)
=αp(1-αp)2P(X≥k+2).
由此，一般地，对K≥k≥k0+1，有
P(X=k)=αp(1-αp)K-kP(X≥K).
从而有P(X=k)=αp(1-αp)kP(X≥K)(1-αp)K，K≥k≥k0+1.
令θ=limK→∞P(X≥K)(1-αp)K（θ应为α，p和k0的函数）.
又由于P(X≥k0)=1-P(X≤k0)=1-∑k0i=1pqi-1=qk0，
由此得θ=(1-p)k0(1-αp)k0+1.对k≥k0+1，有
P(X=k)=αp(1-αp)k(1-p)k0(1-αp)k0+1
=αp(1-p)k0(1-αp)k-k0-1.
特别地，P(X=k0+1)=αp(1-p)k0.
值得一提的是，若k0→0，此时可看作产品一开始便在应力S2下做试验，于是有：
P(X=k)=limk0→0［α(k0)p(1-p)k0(1-α(k0)p)k-k0-1］
=α(0)p(1-α(0)p)k-1.
也就是说在恒应力S2下产品寿命仍服从几何分布，其参数为α(0)p.下面研究参数的极大似然估计：
似然函数为：（其中A为下常数）
L［α,p］=A∏ri=1［pqx(i)-1］∏ni=r+1［αp(1-p)x0• (1-αp)x(j)-k0-1］
=Apr(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-rpn-r(1-p)k0(n-r)• (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)
=Apn(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-r(1-p)k0(n-r)• (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r).
lnL［α,p］=lnA+nlnp+∑ri=1x(i)+k0n-(k0+1)r• ln(1-p)+(n-r)lnα+ ∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)ln(1-αp).
lnL［α，p］α=n-rα-p∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.
lnL［α,p］p=np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-
α∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.
令lnL［α,p］α=0，lnL［α，p］p=0，
化简得α1-αp∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)=n-rp，
np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-n-rp=0，
rp=∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p，
r-rp=p∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r，
r=p∑ri=1x(i)+(n-r)k0.
由此参数p的极大似然估计为：
=r∑ri=1x(i)+(n-r)k0.
又由于1-αpαp
=∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)n-r
1αp=∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0n-r，
进而得损伤因子α的极大似然估计为：
=n-rr•∑ri=1x(i)+(n-r)k0∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0.
例如，设在应力S1下将10个产品投入试验，当有5个产品失效时（次序失效“时间”为：120，223，296，321，386），在k0=400时将应力提高至S2继续做试验，试验持续到所有产品失效为止（次序失效“时间”为：411，458，466，496，518），运用本文方法得参数的极大似然估计为：=14943×10-3，=104304.