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摘 要：小学阶段是数学思想方法教学的启蒙阶段。在这一阶段有效地开展数学思想方法的教学，有利于学生建构良好的数学认知结构，获得“有灵魂”的知识，有利于学生实现对知识的深层次理解，有利于培养学生独立解决问题的能力。教学时教师不可人为拔高教学要求，而要遵循循序渐进、具体分析以及感悟的原则。
关键词：数学思想方法;数学思想方法教学;基本原则
自《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出数学思想方法的教学要求以来，小学阶段数学思想方法教学受到越来越多的关注。所谓数学思想，是指人们对数学知识和方法的本质认识。所谓数学方法，是指人们在解决数学问题的过程中所采用的方式、途径和手段。数学思想具有概括性和普遍性，它是数学方法的灵魂，它指导着方法的运用。数学方法指向实践，具有操作性和具体性，它是数学思想的表现形式和得以实现的手段。前者给出解决问题的方向，后者给出解决问题的策略。为适应小学阶段的教学，通常把数学思想与数学方法看作一个整体，即数学思想方法。
一、小学数学思想方法教学的意义
生活中，有思想的人，总是倍受尊敬;有思想的话语，总是被人津津乐道，而有思想的知识，会让人终身受益。数学学科，恰恰是一门“有思想”的学科。中科院院士、中国数学会理事长袁亚湘先生说：“最最美好的是数学的思想，它美得要命。”数学家张景中先生说：“小学生学的数学很初等，很简单，但里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”小学数学虽然浅显，但它与“最最美好的数学思想”有着与生俱来的联系。在小学阶段恰当有效地开展数学思想方法的教学，有利于学生建构良好的认知结构，实现对知识的深层次理解，培养学生独立解决问题的能力。
1.有利于学生建构良好的数学认知结构——获得“有灵魂”的知识
人民教育出版社李海东老师认为：“数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们相互联系、协同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料;数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提;数学思想是一类数学方法本质特征的反映，是数学方法的灵魂。”可见，在一个良好的数学认知结构里，数学知识、数学方法、数学思想三者是缺一不可的。
对于忽略思想方法的数学教学，中科院院士、复旦大学教授李大潜先生一针见血地指出：“如果将数学教学仅仅看成是知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用。”可见，在良好的数学认知结构里，数学思想方法不但不可或缺，它还起着统领的作用，缺少数学思想方法的数学知识体系将是一堆“没有灵魂”的死知识。对于其中数学思想教学的重要性，李大潜院士更是将之提高到开设数学课程的意义的高度，他认为：“如果就事论事，仅仅将数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素质的提高，就失去了数学课程最本质的特点和要求，失去了开设数学课程的意义。”从这个角度看，帮助学生建构包括数学思想方法在内的良好的数学认知结构，是数学教学的应然追求。
2.有利于学生实现对知识的深层次理解——知其然，亦知其所以然
小学生对数学知识的理解，大致可以分为两个层次：一是知其然，即知道概念、公式、結论或规律等是什么;二是知其所以然，即还知道概念、公式、结论或规律等生成的过程、产生的原因，并能对结论或规律等做出适当的解释。显然，后者在理解程度和层次上更进一步、更加深入。
以苏教版数学教材六年级上册“分数四则混合运算”单元安排的一个“动手做”的活动为例（如图1）。该活动名为动手做，实为感知、发现规律。
学生按要求通过两个阶段的画一画、算一算、比一比的活动后，发现：动手画出的几个长方形的长和宽分别增加[12]，新长方形的面积都是原来长方形面积的[94]。由此，学生进一步猜想：如果把任意长方形的长和宽分别增加[12]，那么新长方形的面积都是原来长方形面积的[94]。但是，由不完全归纳法推导出来的结论具有偶然性，可能是正确的，也可能是错误的。上述猜想到底是否正确？为什么会是这样？显然，不能再依靠举例来证明，仅通过举例也无法给出令人信服的解释。此时，可以通过运算推理的方法来证明猜想的正确性，从而使学生获得对这一结论的深刻理解。
分别用a、b表示原来长方形的长和宽。
a×（1+[12]）×[b×（1+[12]）]÷（a×b）
=a×b×（1+[12]）×（1+[12]）÷（a×b）
=（1+[12]）×（1+[12]）
=[94]。
在这则案例中，运算推理的方法不仅证明了“新长方形的面积都是原来长方形面积的[94]”这一猜想的正确性，而且能够说明原来长方形的长和宽的实际数据并不影响结论的成立，从而使学生的思维摆脱了特定图形的限制，进入了更抽象更自由的层面，让学生获得了更深刻的理解。对结论不但知其然，而且知其所以然。此外，在本案例中，运算推理的方法还适用于将“[12]”改成其他分数，或者将“增加”改为“减少”。
3.有利于培养学生独立解决问题的能力——从“得鱼”走向“会渔”
“授人以鱼，不如授人以渔。”在实际运用中，数学思想方法与数学知识的关系，类似于“渔”与“鱼”的关系。事实证明，对数学思想方法体会越充分，领会越深刻，学生思维的敏捷性、灵活性、创造性、批判性更强，具体表现为：他们能更快地抓住问题的实质，更容易找到解决问题的突破口;他们善于灵活变换思路，能从不同角度、方向、方面运用多种方法解决问题;他们善于在新旧知识或问题之间建立联系，善于运用猜想与验证的方法求证，善于把分析与综合、特殊与一般、具体与抽象结合起来思考、解决问题;他们善于自我监控，及时调整、修改思路，不容易钻“牛角尖”。简而言之，独立解决问题的能力更强。因此，重视数学思想方法的渗透、体会与感悟，是数学教学从“授鱼”向“授渔”转变的关键，也是促进学生解决问题的能力从“得鱼”向“会渔”转变的关键。 比如，在前期课题研究中，在教学完苏教版数学教材五年级下册“圆”单元后，我们在课题实验班与对照班中开展了对比测验，其中设计了这样一道动态数学题（如图2）：“在一个底面是长方形的纸盒中，有一个直径5厘米的塑料圆片在盒底任意滑动，塑料圆片不可能滑到部分的面积是多少平方厘米？”显然，相对于日常的静态图形题来说，这道题具有相当的挑战性，十分考验学生独立解决问题的能力。
测验结果显示：课题实验班中约75%的学生通过想象或借助实物模拟的方式能洞察问题的实质，并成功将原题转化成求一个正方形的四个角落的问题（如图3）。而对照班中只有20%多一点的学生能够化动为静找到解决问题的突破口。由此可见，重视数学思想方法的教学，有助于发展学生的数学思维，培养学生创造性地解决问题的能力。
二、小学数学思想方法教学的基本原则
曹培英老师认为：“数学基本思想承载了独特的、鲜明的学科育人价值，可教、可学，是名副其实的学科核心素养。”在前期课题研究中，我们对此深有体会。在小学阶段，数学思想方法不是“只可渗透不可感悟”“只可意会不可言传”的神秘东西。相反，它是可教、可学的，关键是找到体会它、感悟它的切实可行的方法，而难点在于把握好教学的度，做到不人为拔高教学要求，具体来说，要遵循以下三个基本原则。
1.准确把握学段要求，循序渐进的原则
小学阶段数学思想方法的教学要求，由易到难、从低到高大致可以分为三个层次（如图4）：渗透、体会与感悟。具体执行哪一级教学要求，要依据学生的年龄、可接受程度，以及数学思想方法本身的特点等做出科学的判断。
小学阶段学生年龄小，但是年龄跨度大，不同年级之间，学生的认知水平差异很大。一年级学生与三年级学生，三年级学生与六年级学生，他们之间在感知、感悟的能力上相差悬殊。因此，必须准确把握数学思想方法教学的学段要求。总的来说，1～3年级以渗透为主，4～6年级可适当加以体会和感悟。特别是在小学低年级，切不可随意拔高教学要求，超越学生的实际认知水平。事实上，无论是哪种数学思想方法的体会与感悟都必须以掌握一定的数学知识与技能为前提。也正因为如此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》是從第二学段起，才开始提出“体会”和“感悟”的要求。
当然，学段要求也不是一成不变的。特别是对于一些常见的容易理解或易于感受的数学思想方法，可以从三年级起视学生的可接受程度逐步加以提高。但这个过程一定是循序渐进的，而不能是冒进的。
2.对象有别，具体思想具体分析的原则
所谓对象有别，是指具体到某册教材某个单元的某个数学思想方法到底是采用“渗透”的方式，还是提出“体会”和“感悟”的要求，除了要考虑学生年龄和学段要求外，还必须考虑数学思想方法本身的特点。
从共性的角度看，小学数学教材中的数学思想方法具有以下特点：在呈现形式上，具有隐蔽性;在教材分布上，具有无序性。这些特点决定了数学思想方法的获得，不可能像普通的数学知识那样，能有序地以单元的形式整体地被感知、系统地被传授，它难以通过一次或几次教学就被深刻领会，达到被运用自如的程度，一般要在多次渗透的基础上，经过反复地体会和感悟才能真正获得。
此外，不同数学思想方法还有一些特点。比如，体会和感悟的难易程度不一，出现的频次各不相同，出现和再次出现的时间毫无规律可言，等等。这就要求在教学具体的某个数学思想方法时，教师必须充分考虑该数学思想方法体会和感悟的难易程度、出现的背景、频次以及间隔的时间，做到“对象有别，要求有别”。一般说来，初次接触的，以渗透、感知为主;经常接触的，可以引导学生进行体会和感悟;易于理解、感受的，以学生自主体会为主;体会难度较大的，以教师点拨介绍为主。
3.重体验、重反复、重对比的感悟原则
数学思想方法是数学知识体系中具有能动性的知识，它能给出解决问题的方向和策略。然而，要想获得“活的”数学思想方法，感悟是正确的途径。所谓感悟，必须有“感”有“悟”，先“感”后“悟”。“感”是感知，是经历，是体验，它是“悟”的前提和基础;“悟”是品味，是反思，是领悟，是对“感”的总结、提炼与升华。“悟”从“感”中来，“感”有多充分、多曲折，“悟”就有多丰富、多深刻。
其中，“经历过程，加强体验”是获得数学思想方法的基本路径。数学思想方法蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，它无法脱离知识教学而独立存在。对它的感悟必须让学生充分参与到数学知识的学习过程中去，在多层次的学习活动中生成点滴感受，积累经验体会，从而对某个数学思想方法的认识逐渐从模糊走向清晰，从肤浅走向深刻。“再现情境，反复体会”是获得数学思想方法的必要过程。数学思想方法的教学不可能一蹴而就，它是一个渐进的过程，必须先有“量”的积累，然后才会有“质”的领会。学生必须经历一定次数的情境再现，在反复体会中才可以使浅显的体验深刻化，使点滴的感受系统化。
总而言之，小学阶段是数学思想方法教学的启蒙阶段。在这一阶段，重视数学思想方法的教学对于发挥数学学科的育人价值，促进学生形成数学的思维方法，提升学生的数学素养具有重要的作用。
（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校）
参考文献
[1]李海东.重视数学思想方法的教学[J].中国数学教育，2011（1-2）：11-13.
[2]李大潜.数学文化与数学教养[J].中国大学教学，2008（10）：4-8.
[3]曹培英.从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想[J].课程·教材·教法，2015（9）：40-43.
[4]徐友新.恰当有效地开展数学思想方法的教学[J].河北教育（教学版），2011（6）：26-27.
[5]徐友新.引领学生感悟数学思想方法[J].小学数学教育（下半月），2018（6）：6-9.
关键词：数学思想方法;数学思想方法教学;基本原则
自《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出数学思想方法的教学要求以来，小学阶段数学思想方法教学受到越来越多的关注。所谓数学思想，是指人们对数学知识和方法的本质认识。所谓数学方法，是指人们在解决数学问题的过程中所采用的方式、途径和手段。数学思想具有概括性和普遍性，它是数学方法的灵魂，它指导着方法的运用。数学方法指向实践，具有操作性和具体性，它是数学思想的表现形式和得以实现的手段。前者给出解决问题的方向，后者给出解决问题的策略。为适应小学阶段的教学，通常把数学思想与数学方法看作一个整体，即数学思想方法。
一、小学数学思想方法教学的意义
生活中，有思想的人，总是倍受尊敬;有思想的话语，总是被人津津乐道，而有思想的知识，会让人终身受益。数学学科，恰恰是一门“有思想”的学科。中科院院士、中国数学会理事长袁亚湘先生说：“最最美好的是数学的思想，它美得要命。”数学家张景中先生说：“小学生学的数学很初等，很简单，但里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”小学数学虽然浅显，但它与“最最美好的数学思想”有着与生俱来的联系。在小学阶段恰当有效地开展数学思想方法的教学，有利于学生建构良好的认知结构，实现对知识的深层次理解，培养学生独立解决问题的能力。
1.有利于学生建构良好的数学认知结构——获得“有灵魂”的知识
人民教育出版社李海东老师认为：“数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们相互联系、协同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料;数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提;数学思想是一类数学方法本质特征的反映，是数学方法的灵魂。”可见，在一个良好的数学认知结构里，数学知识、数学方法、数学思想三者是缺一不可的。
对于忽略思想方法的数学教学，中科院院士、复旦大学教授李大潜先生一针见血地指出：“如果将数学教学仅仅看成是知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用。”可见，在良好的数学认知结构里，数学思想方法不但不可或缺，它还起着统领的作用，缺少数学思想方法的数学知识体系将是一堆“没有灵魂”的死知识。对于其中数学思想教学的重要性，李大潜院士更是将之提高到开设数学课程的意义的高度，他认为：“如果就事论事，仅仅将数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素质的提高，就失去了数学课程最本质的特点和要求，失去了开设数学课程的意义。”从这个角度看，帮助学生建构包括数学思想方法在内的良好的数学认知结构，是数学教学的应然追求。
2.有利于学生实现对知识的深层次理解——知其然，亦知其所以然
小学生对数学知识的理解，大致可以分为两个层次：一是知其然，即知道概念、公式、結论或规律等是什么;二是知其所以然，即还知道概念、公式、结论或规律等生成的过程、产生的原因，并能对结论或规律等做出适当的解释。显然，后者在理解程度和层次上更进一步、更加深入。
以苏教版数学教材六年级上册“分数四则混合运算”单元安排的一个“动手做”的活动为例（如图1）。该活动名为动手做，实为感知、发现规律。
学生按要求通过两个阶段的画一画、算一算、比一比的活动后，发现：动手画出的几个长方形的长和宽分别增加[12]，新长方形的面积都是原来长方形面积的[94]。由此，学生进一步猜想：如果把任意长方形的长和宽分别增加[12]，那么新长方形的面积都是原来长方形面积的[94]。但是，由不完全归纳法推导出来的结论具有偶然性，可能是正确的，也可能是错误的。上述猜想到底是否正确？为什么会是这样？显然，不能再依靠举例来证明，仅通过举例也无法给出令人信服的解释。此时，可以通过运算推理的方法来证明猜想的正确性，从而使学生获得对这一结论的深刻理解。
分别用a、b表示原来长方形的长和宽。
a×（1+[12]）×[b×（1+[12]）]÷（a×b）
=a×b×（1+[12]）×（1+[12]）÷（a×b）
=（1+[12]）×（1+[12]）
=[94]。
在这则案例中，运算推理的方法不仅证明了“新长方形的面积都是原来长方形面积的[94]”这一猜想的正确性，而且能够说明原来长方形的长和宽的实际数据并不影响结论的成立，从而使学生的思维摆脱了特定图形的限制，进入了更抽象更自由的层面，让学生获得了更深刻的理解。对结论不但知其然，而且知其所以然。此外，在本案例中，运算推理的方法还适用于将“[12]”改成其他分数，或者将“增加”改为“减少”。
3.有利于培养学生独立解决问题的能力——从“得鱼”走向“会渔”
“授人以鱼，不如授人以渔。”在实际运用中，数学思想方法与数学知识的关系，类似于“渔”与“鱼”的关系。事实证明，对数学思想方法体会越充分，领会越深刻，学生思维的敏捷性、灵活性、创造性、批判性更强，具体表现为：他们能更快地抓住问题的实质，更容易找到解决问题的突破口;他们善于灵活变换思路，能从不同角度、方向、方面运用多种方法解决问题;他们善于在新旧知识或问题之间建立联系，善于运用猜想与验证的方法求证，善于把分析与综合、特殊与一般、具体与抽象结合起来思考、解决问题;他们善于自我监控，及时调整、修改思路，不容易钻“牛角尖”。简而言之，独立解决问题的能力更强。因此，重视数学思想方法的渗透、体会与感悟，是数学教学从“授鱼”向“授渔”转变的关键，也是促进学生解决问题的能力从“得鱼”向“会渔”转变的关键。 比如，在前期课题研究中，在教学完苏教版数学教材五年级下册“圆”单元后，我们在课题实验班与对照班中开展了对比测验，其中设计了这样一道动态数学题（如图2）：“在一个底面是长方形的纸盒中，有一个直径5厘米的塑料圆片在盒底任意滑动，塑料圆片不可能滑到部分的面积是多少平方厘米？”显然，相对于日常的静态图形题来说，这道题具有相当的挑战性，十分考验学生独立解决问题的能力。
测验结果显示：课题实验班中约75%的学生通过想象或借助实物模拟的方式能洞察问题的实质，并成功将原题转化成求一个正方形的四个角落的问题（如图3）。而对照班中只有20%多一点的学生能够化动为静找到解决问题的突破口。由此可见，重视数学思想方法的教学，有助于发展学生的数学思维，培养学生创造性地解决问题的能力。
二、小学数学思想方法教学的基本原则
曹培英老师认为：“数学基本思想承载了独特的、鲜明的学科育人价值，可教、可学，是名副其实的学科核心素养。”在前期课题研究中，我们对此深有体会。在小学阶段，数学思想方法不是“只可渗透不可感悟”“只可意会不可言传”的神秘东西。相反，它是可教、可学的，关键是找到体会它、感悟它的切实可行的方法，而难点在于把握好教学的度，做到不人为拔高教学要求，具体来说，要遵循以下三个基本原则。
1.准确把握学段要求，循序渐进的原则
小学阶段数学思想方法的教学要求，由易到难、从低到高大致可以分为三个层次（如图4）：渗透、体会与感悟。具体执行哪一级教学要求，要依据学生的年龄、可接受程度，以及数学思想方法本身的特点等做出科学的判断。
小学阶段学生年龄小，但是年龄跨度大，不同年级之间，学生的认知水平差异很大。一年级学生与三年级学生，三年级学生与六年级学生，他们之间在感知、感悟的能力上相差悬殊。因此，必须准确把握数学思想方法教学的学段要求。总的来说，1～3年级以渗透为主，4～6年级可适当加以体会和感悟。特别是在小学低年级，切不可随意拔高教学要求，超越学生的实际认知水平。事实上，无论是哪种数学思想方法的体会与感悟都必须以掌握一定的数学知识与技能为前提。也正因为如此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》是從第二学段起，才开始提出“体会”和“感悟”的要求。
当然，学段要求也不是一成不变的。特别是对于一些常见的容易理解或易于感受的数学思想方法，可以从三年级起视学生的可接受程度逐步加以提高。但这个过程一定是循序渐进的，而不能是冒进的。
2.对象有别，具体思想具体分析的原则
所谓对象有别，是指具体到某册教材某个单元的某个数学思想方法到底是采用“渗透”的方式，还是提出“体会”和“感悟”的要求，除了要考虑学生年龄和学段要求外，还必须考虑数学思想方法本身的特点。
从共性的角度看，小学数学教材中的数学思想方法具有以下特点：在呈现形式上，具有隐蔽性;在教材分布上，具有无序性。这些特点决定了数学思想方法的获得，不可能像普通的数学知识那样，能有序地以单元的形式整体地被感知、系统地被传授，它难以通过一次或几次教学就被深刻领会，达到被运用自如的程度，一般要在多次渗透的基础上，经过反复地体会和感悟才能真正获得。
此外，不同数学思想方法还有一些特点。比如，体会和感悟的难易程度不一，出现的频次各不相同，出现和再次出现的时间毫无规律可言，等等。这就要求在教学具体的某个数学思想方法时，教师必须充分考虑该数学思想方法体会和感悟的难易程度、出现的背景、频次以及间隔的时间，做到“对象有别，要求有别”。一般说来，初次接触的，以渗透、感知为主;经常接触的，可以引导学生进行体会和感悟;易于理解、感受的，以学生自主体会为主;体会难度较大的，以教师点拨介绍为主。
3.重体验、重反复、重对比的感悟原则
数学思想方法是数学知识体系中具有能动性的知识，它能给出解决问题的方向和策略。然而，要想获得“活的”数学思想方法，感悟是正确的途径。所谓感悟，必须有“感”有“悟”，先“感”后“悟”。“感”是感知，是经历，是体验，它是“悟”的前提和基础;“悟”是品味，是反思，是领悟，是对“感”的总结、提炼与升华。“悟”从“感”中来，“感”有多充分、多曲折，“悟”就有多丰富、多深刻。
其中，“经历过程，加强体验”是获得数学思想方法的基本路径。数学思想方法蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，它无法脱离知识教学而独立存在。对它的感悟必须让学生充分参与到数学知识的学习过程中去，在多层次的学习活动中生成点滴感受，积累经验体会，从而对某个数学思想方法的认识逐渐从模糊走向清晰，从肤浅走向深刻。“再现情境，反复体会”是获得数学思想方法的必要过程。数学思想方法的教学不可能一蹴而就，它是一个渐进的过程，必须先有“量”的积累，然后才会有“质”的领会。学生必须经历一定次数的情境再现，在反复体会中才可以使浅显的体验深刻化，使点滴的感受系统化。
总而言之，小学阶段是数学思想方法教学的启蒙阶段。在这一阶段，重视数学思想方法的教学对于发挥数学学科的育人价值，促进学生形成数学的思维方法，提升学生的数学素养具有重要的作用。
（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校）
参考文献
[1]李海东.重视数学思想方法的教学[J].中国数学教育，2011（1-2）：11-13.
[2]李大潜.数学文化与数学教养[J].中国大学教学，2008（10）：4-8.
[3]曹培英.从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想[J].课程·教材·教法，2015（9）：40-43.
[4]徐友新.恰当有效地开展数学思想方法的教学[J].河北教育（教学版），2011（6）：26-27.
[5]徐友新.引领学生感悟数学思想方法[J].小学数学教育（下半月），2018（6）：6-9.