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【摘要】本文针对小学数学教师常把“植树问题”教成普通的“数学应用题”的现状，论述引导学生构建“植树问题”数学模型并广泛应用该模型的途径，认为教师可以根据课本中的问题创设情境，渗透对应关系，引导学生构建“植树问题”数学模型，让学生经历“实际情境—画点线图—观察图形—归纳规律”的过程，运用不同层次的练习，让学生体验数学模型的抽象性和广泛应用性，培养学生的数学致善精神。
【关键词】植树问题 致善精神 数学建模 小学数学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）21-0032-03
“植树问题”因其具有较高教育价值和魅力而被编入几乎所有版本的小学数学教材。但是，很多小学数学教师把这样一个魅力无穷的问题教成了一道普通的“数学应用题”，单纯引导学生解决“植树问题”、得到答案，不能将“植树问题”延伸和演绎，不能把“植树问题”的解决方法类推到其他问题解决中，未能挖掘“植树问题”蕴含的丰富的数学思想、数学文化和数学精神。
一、“植树问题”的教学分析
在小学数学教学中，教师通常把“植树问题”设计为等距离植树，教学流程是把“小路”抽象成一条线段，把“树”抽象成点，点把线段平均分成若干段（间隔），“探究”后发现“间隔数=路的总长÷间距”;三种不同植树要求，分成三种情形找间隔数和点数（棵数）之间的数量关系——“点数=间隔数+1”（两端都种）、“点数=间隔数-1”（两端不种）、“点数=间隔数”（只种一端），并要求学生熟背这一规律，然后变化问题情境训练解题技能，使学生面对类似的新情境时能不假思索地机械应用。实际教学效果不尽如人意，学生在解决“楼梯问题”“锯木头问题”等过程中屡屡出错。学生分不清具体问题中的“树”和“间隔”，不能把“植树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，导致解题错误百出，同时也束缚了学生思维的发展，没能更广泛地将“植树问题”应用在生活中。
经过对原有课堂教学的反思和對教学文献的分析，解读课标和小学数学教材，我们达成了以下几点共识。
第一，重视“模式化”，让学生弄清楚“楼梯问题”“锯木头问题”等都与“植树问题”有相同的数学结构：“植树问题”数学模型。以“植树问题”的现实原型为背景，根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，通过适当的教学手段帮助学生建立“点段关系模型”，这是本节课的关键。
第二，“植树问题”的实质就是“点段关系模型”中的点与段的对应关系。在教学实践中，强调并要求记忆“两端都种”“只有一端种”“两端不种”三种情况相应的计算法则。面对新的类似问题时，多数学生只会机械应用，不能完整无误地写出“植树问题”三种类型的数量关系，部分学生弄反了数量关系中的棵数和段数。就“植树问题”而言，是否真的就只有“两端都种”“只种一端”“两端都不种”这样三种情况？也许还会存在“由于道路中间有一段是我们学校的大门，在学校大门前（某一段的若干个间隔）不需要种树”等特殊情况。其实，所谓的三种情形相应的计算规律只是针对具体情况进行的适当变化，学生需要感悟“一一对应”的数学思想，并依据基本模式，通过适当变化以适应各种情况。因此，比有规律地机械应用更重要的是思维的灵活性。
第三，“100米的小路，每5米作为一小段，共有多少段”是小学阶段常见的“平均分”模型的常见问题，我们在教学实践中发现，这种简单的计算对高年级的学生来说，通过一番“探究”得到“间隔数=路的总长÷间距”显得多余，因此，我们没有把它作为知识目标之一。“双基”不应求全，而应求变。
第四，“植树问题”不一定都是植树的问题，建好的“植树问题”模型要回归到现实情境，“植树问题”模型同样适合于设置公交车站、大路两旁安装路灯、楼层与台阶、钟楼大钟敲钟报时、锯木头、男女生间隔排列等问题，学生运用模型解决这类问题时，真正的困难是对同模结构的识别——把哪些对象看成“点”，哪些对象看成“段”。
基于此，我们的教学设计分两个阶段：第一阶段是从寻找规律走向建构模型，第二阶段是从应用模型走向培养致善精神。
二、从寻找规律走向建构模型
建立数学模型的过程可以描述为：根据建模的目的和掌握的信息（如数据、现象等），将实际问题翻译成数学问题，用数学语言准确地表述出来。（如图1）将现实对象的信息加以翻译、归纳，用精准的数学语言表述对象的内在特征，建立数学模型;再经过求解、演绎，得到数学上的解答;然后经过翻译再回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果;最后，这些结果必须经受实际的检验，完成“实践—理论—实践”这一循环。
学生在小学一年级学习过比多少，假设在桌面上有一些杯子和盖子，如果想知道是杯子多还是盖子多，常用的方法有两种：一种是分别数出杯子和盖子的数量，比较哪个数大就行了;另一种是将每个盖子盖在杯子上，然后看看是否有杯子缺盖子，或者是否有盖子剩余，或者刚好既没有杯子缺盖，也没有盖子剩余。由于第一种方法要数出元素的数目，这对很多情况来说是办不到的，而第二种方法不计元素的数目也能进行比较，因此第二种方法更具普适性。在数学中，我们选择第二种方法作为比较“多与少”的标准方法，这种方法蕴含“一一对应”的数学思想。只有让学生理解了一一对应，他们才能真正明白“植树问题”数量关系中的“+1”“-1”和“一样多”的含义。
教师在教学“植树问题”时，可以根据课本中的具体的问题（如图2）创设情境，渗透对应关系，构建“植树问题”模型，让学生经历“实际情境—画点线图—观察图形—归纳规律（点数与段数的数量关系）”，以及逐步加深认识的过程，进而使他们获得一个清晰的“植树问题”数学模型：点的个数与小段的段数之间的数量关系。
形式上的抽象性和应用上的广泛性与是数学所具有的显著特点，数学的抽象程度越高，数学的应用就越广泛。正是追求更广泛的应用，促成了数学的进一步抽象化。因此，我们在教学中将“线段”更一般化为“线”（不一定是线段，如图3所示），线上的“点”也不一定是等分点。 三、从应用模型走向培养致善精神
教学中，教师首先要引导学生通过画图，抽象出实际问题对应的植树问题模型中的“点”和“段”，再利用具体的“点”“段”的对应关系解决问题;变式练习的设计，要从“近”到“远”、从低级到高级，不同层次的练习层层推进，增强学生对同模结构的识别能力，发展学生思维，培养学生的致善精神，让学生体验到数学模型的抽象性及其应用的广泛性。
第一题组，教师可以安排一个完全同类的题组（如图4所示）。第一题的情境不变，“树”是真树，只是改变了数量。第二题将“树”变式成“公车站”。两题与课本原型完全同模，旨在增强学生用“植树问题”模型解决问题的熟练度。
第二个题组，充满生活气息。如图5所示，第一题属于可逆性变式，袋鼠每跳一下的距离是间隔的长度，脚印是“树”，小路的全长是原型的条件，在这里成了问题。第二题属于条件性扩展变式，道路的两侧常常被学生忽略。
第三个题组，主要目的是让学生在“植树问题”数学模型的广泛应用中受到激励。第一题是“敲钟”问题（如图6所示），我们把看不见却能听得见的钟声当成了“树”，相邻两次敲响的钟声之间的时间成了“间隔”。
第二题是“锯木头问题”（如图7所示）：“树”是锯口处，这是不容易看见的“树”;因为题目没有要求把木头分成一样长的小段，所以“树”不一定是等距离排列，间隔也不一定是相等的。题目还可以改编成：“我交代工人把一根木头锯成10段。我走出车间，听到电锯响了10次。虽然我没有亲眼看到，但是我已经知道这位工人锯的木头不符合我的要求，这是为什么？”以增强趣味性。
第三题的原题是：“一节课有40分钟，老师担心来不及讲完所有内容，所以设置了手機提醒。上课铃声响后，老师的手机每隔5分钟就振动一次，提醒老师要把握时间。一节课下来，手机要提醒老师几次呢？”虽然它与课本上的原型类似，但是由于各教学环节所用的时间并不相等，所以这样的提醒设置对老师没什么用处。我们进行了如图8的改编，“线”上的“点”不一定是等分点，也许会有更广泛的应用。
第四题（如图9所示）中，梧桐树是“树”，相邻两棵梧桐树中间的银杏树就不是“树”了，而是“植树问题”模型中的“间隔”。因此，“间隔”未必就是“一段”，只是我们可以把它们“画”成段。教师向学生明确，“植树问题”不一定是要植树的，“树”不仅仅是树，有时候不是树却可以看成“树”，而有的时候真树又可以看成“间隔”，这就是“植树问题”的奇妙。
我们通过改变问题中的已知条件，体现一题多练，通过对比让学生发现解决“植树问题”不是简单地“+1”或“-1”，而是要看清已知条件和所求的问题。
教师要让学生感受“植树问题”的无穷魅力，超越具体的感性的解题方法，上升到抽象的思想方法与策略，引领学生建构解决这类问题的数学模型，探究出解决此类问题的“通则”“通法”，激励学生在日常生活和生产中更广泛地运用数学模型，从而培养学生的数学致善精神。
【作者简介】李织兰（1967— ），女，广西百色人，在职硕士，副高职称，现就职于桂林师范高等专科学校，研究方向为小学数学教育;李春莲（1977— ），女，大学本科学历，一级教师，现就职于桂林市临桂区第三小学，研究方向为小学数学教育;徐娟（1978— ），女，广西灵川人，大学本科学历，一级教师，现就职于桂林市灵川县第三小学，研究方向为小学数学教学。
（责编 秦越霞）
【关键词】植树问题 致善精神 数学建模 小学数学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）21-0032-03
“植树问题”因其具有较高教育价值和魅力而被编入几乎所有版本的小学数学教材。但是，很多小学数学教师把这样一个魅力无穷的问题教成了一道普通的“数学应用题”，单纯引导学生解决“植树问题”、得到答案，不能将“植树问题”延伸和演绎，不能把“植树问题”的解决方法类推到其他问题解决中，未能挖掘“植树问题”蕴含的丰富的数学思想、数学文化和数学精神。
一、“植树问题”的教学分析
在小学数学教学中，教师通常把“植树问题”设计为等距离植树，教学流程是把“小路”抽象成一条线段，把“树”抽象成点，点把线段平均分成若干段（间隔），“探究”后发现“间隔数=路的总长÷间距”;三种不同植树要求，分成三种情形找间隔数和点数（棵数）之间的数量关系——“点数=间隔数+1”（两端都种）、“点数=间隔数-1”（两端不种）、“点数=间隔数”（只种一端），并要求学生熟背这一规律，然后变化问题情境训练解题技能，使学生面对类似的新情境时能不假思索地机械应用。实际教学效果不尽如人意，学生在解决“楼梯问题”“锯木头问题”等过程中屡屡出错。学生分不清具体问题中的“树”和“间隔”，不能把“植树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，导致解题错误百出，同时也束缚了学生思维的发展，没能更广泛地将“植树问题”应用在生活中。
经过对原有课堂教学的反思和對教学文献的分析，解读课标和小学数学教材，我们达成了以下几点共识。
第一，重视“模式化”，让学生弄清楚“楼梯问题”“锯木头问题”等都与“植树问题”有相同的数学结构：“植树问题”数学模型。以“植树问题”的现实原型为背景，根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，通过适当的教学手段帮助学生建立“点段关系模型”，这是本节课的关键。
第二，“植树问题”的实质就是“点段关系模型”中的点与段的对应关系。在教学实践中，强调并要求记忆“两端都种”“只有一端种”“两端不种”三种情况相应的计算法则。面对新的类似问题时，多数学生只会机械应用，不能完整无误地写出“植树问题”三种类型的数量关系，部分学生弄反了数量关系中的棵数和段数。就“植树问题”而言，是否真的就只有“两端都种”“只种一端”“两端都不种”这样三种情况？也许还会存在“由于道路中间有一段是我们学校的大门，在学校大门前（某一段的若干个间隔）不需要种树”等特殊情况。其实，所谓的三种情形相应的计算规律只是针对具体情况进行的适当变化，学生需要感悟“一一对应”的数学思想，并依据基本模式，通过适当变化以适应各种情况。因此，比有规律地机械应用更重要的是思维的灵活性。
第三，“100米的小路，每5米作为一小段，共有多少段”是小学阶段常见的“平均分”模型的常见问题，我们在教学实践中发现，这种简单的计算对高年级的学生来说，通过一番“探究”得到“间隔数=路的总长÷间距”显得多余，因此，我们没有把它作为知识目标之一。“双基”不应求全，而应求变。
第四，“植树问题”不一定都是植树的问题，建好的“植树问题”模型要回归到现实情境，“植树问题”模型同样适合于设置公交车站、大路两旁安装路灯、楼层与台阶、钟楼大钟敲钟报时、锯木头、男女生间隔排列等问题，学生运用模型解决这类问题时，真正的困难是对同模结构的识别——把哪些对象看成“点”，哪些对象看成“段”。
基于此，我们的教学设计分两个阶段：第一阶段是从寻找规律走向建构模型，第二阶段是从应用模型走向培养致善精神。
二、从寻找规律走向建构模型
建立数学模型的过程可以描述为：根据建模的目的和掌握的信息（如数据、现象等），将实际问题翻译成数学问题，用数学语言准确地表述出来。（如图1）将现实对象的信息加以翻译、归纳，用精准的数学语言表述对象的内在特征，建立数学模型;再经过求解、演绎，得到数学上的解答;然后经过翻译再回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果;最后，这些结果必须经受实际的检验，完成“实践—理论—实践”这一循环。
学生在小学一年级学习过比多少，假设在桌面上有一些杯子和盖子，如果想知道是杯子多还是盖子多，常用的方法有两种：一种是分别数出杯子和盖子的数量，比较哪个数大就行了;另一种是将每个盖子盖在杯子上，然后看看是否有杯子缺盖子，或者是否有盖子剩余，或者刚好既没有杯子缺盖，也没有盖子剩余。由于第一种方法要数出元素的数目，这对很多情况来说是办不到的，而第二种方法不计元素的数目也能进行比较，因此第二种方法更具普适性。在数学中，我们选择第二种方法作为比较“多与少”的标准方法，这种方法蕴含“一一对应”的数学思想。只有让学生理解了一一对应，他们才能真正明白“植树问题”数量关系中的“+1”“-1”和“一样多”的含义。
教师在教学“植树问题”时，可以根据课本中的具体的问题（如图2）创设情境，渗透对应关系，构建“植树问题”模型，让学生经历“实际情境—画点线图—观察图形—归纳规律（点数与段数的数量关系）”，以及逐步加深认识的过程，进而使他们获得一个清晰的“植树问题”数学模型：点的个数与小段的段数之间的数量关系。
形式上的抽象性和应用上的广泛性与是数学所具有的显著特点，数学的抽象程度越高，数学的应用就越广泛。正是追求更广泛的应用，促成了数学的进一步抽象化。因此，我们在教学中将“线段”更一般化为“线”（不一定是线段，如图3所示），线上的“点”也不一定是等分点。 三、从应用模型走向培养致善精神
教学中，教师首先要引导学生通过画图，抽象出实际问题对应的植树问题模型中的“点”和“段”，再利用具体的“点”“段”的对应关系解决问题;变式练习的设计，要从“近”到“远”、从低级到高级，不同层次的练习层层推进，增强学生对同模结构的识别能力，发展学生思维，培养学生的致善精神，让学生体验到数学模型的抽象性及其应用的广泛性。
第一题组，教师可以安排一个完全同类的题组（如图4所示）。第一题的情境不变，“树”是真树，只是改变了数量。第二题将“树”变式成“公车站”。两题与课本原型完全同模，旨在增强学生用“植树问题”模型解决问题的熟练度。
第二个题组，充满生活气息。如图5所示，第一题属于可逆性变式，袋鼠每跳一下的距离是间隔的长度，脚印是“树”，小路的全长是原型的条件，在这里成了问题。第二题属于条件性扩展变式，道路的两侧常常被学生忽略。
第三个题组，主要目的是让学生在“植树问题”数学模型的广泛应用中受到激励。第一题是“敲钟”问题（如图6所示），我们把看不见却能听得见的钟声当成了“树”，相邻两次敲响的钟声之间的时间成了“间隔”。
第二题是“锯木头问题”（如图7所示）：“树”是锯口处，这是不容易看见的“树”;因为题目没有要求把木头分成一样长的小段，所以“树”不一定是等距离排列，间隔也不一定是相等的。题目还可以改编成：“我交代工人把一根木头锯成10段。我走出车间，听到电锯响了10次。虽然我没有亲眼看到，但是我已经知道这位工人锯的木头不符合我的要求，这是为什么？”以增强趣味性。
第三题的原题是：“一节课有40分钟，老师担心来不及讲完所有内容，所以设置了手機提醒。上课铃声响后，老师的手机每隔5分钟就振动一次，提醒老师要把握时间。一节课下来，手机要提醒老师几次呢？”虽然它与课本上的原型类似，但是由于各教学环节所用的时间并不相等，所以这样的提醒设置对老师没什么用处。我们进行了如图8的改编，“线”上的“点”不一定是等分点，也许会有更广泛的应用。
第四题（如图9所示）中，梧桐树是“树”，相邻两棵梧桐树中间的银杏树就不是“树”了，而是“植树问题”模型中的“间隔”。因此，“间隔”未必就是“一段”，只是我们可以把它们“画”成段。教师向学生明确，“植树问题”不一定是要植树的，“树”不仅仅是树，有时候不是树却可以看成“树”，而有的时候真树又可以看成“间隔”，这就是“植树问题”的奇妙。
我们通过改变问题中的已知条件，体现一题多练，通过对比让学生发现解决“植树问题”不是简单地“+1”或“-1”，而是要看清已知条件和所求的问题。
教师要让学生感受“植树问题”的无穷魅力，超越具体的感性的解题方法，上升到抽象的思想方法与策略，引领学生建构解决这类问题的数学模型，探究出解决此类问题的“通则”“通法”，激励学生在日常生活和生产中更广泛地运用数学模型，从而培养学生的数学致善精神。
【作者简介】李织兰（1967— ），女，广西百色人，在职硕士，副高职称，现就职于桂林师范高等专科学校，研究方向为小学数学教育;李春莲（1977— ），女，大学本科学历，一级教师，现就职于桂林市临桂区第三小学，研究方向为小学数学教育;徐娟（1978— ），女，广西灵川人，大学本科学历，一级教师，现就职于桂林市灵川县第三小学，研究方向为小学数学教学。
（责编 秦越霞）