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摘 要：空间四边形是立体几何教学中的一个重要概念，它作为各知识点之间的“共同因素”，是对长方形和正方形这两个特殊基础因素的升华和提高。循序渐进地引导学生掌握空间四边形的知识，并发挥其重要作用，对培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要的意义。
关键词：空间四边形;立体几何;应用
中图分类号：G633.6
文章编号：2095-624X（2019）24-0080-02
一、空间四边形的概念
在高教版的中职数学教材（以下简称教材）中对空间四边形的定义如下：将平面内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，将点D折叠到D1的位置（如图1所示），此时A、B、C、D1四个点不在同一个平面内。这时的四边形ABCD1叫作空间四边形。
教材中相应给出了一个有关空间四边形的典型例题：
例 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（如图2），判断四边形EFGH是否为平行四边形？
这道题目不难，用三角形中位线的性质就可以证明。但学生初学立体几何，不易将空间问题转化成平面问题。通过这个例题可以引导学生用平面图形的性质分析解决空间图形的问题。教师在教学中需要重点讲解，为后续学习作充分准备。
二、空间四边形在立体几何教学中的典型应用
练习1 如图3所示，在空间四边形ABCD中哪些直线是异面直线？
异面直线是空间中两条直线特有的位置关系，在平面中并不存在。它反映了二维空间与三维空间的区别，是树立空间观念的一个重要标志，在立体几何教学中有着重要意义。
练习2 图4中，E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，判断AC和BD是否与平面EFGH平行？
练习3 图5中，空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，求证：AB+CD>2MN
这两道练习题的解题思路与例题1一样，都是利用三角形中位線的性质，将空间图形问题转换成平面图形的问题。通过这些练习，不仅可以帮助学生理解新的知识点，也可以帮助学生进一步掌握解决空间问题的思维方法。
练习4 图6中，已知在空间四边形ABCD中，AB=AC，BD=CD，E是BC的中点。求证：1）AD⊥BC;2）平面ADE⊥平面ABC;
判断空间图形的位置关系是立体几何教学中的难点，学生如果缺乏空间想象能力，就难以正确分解空间图形。本题需要将空间四边形ABCD分解为两个等腰三角形△ABC和△BDC，再根据线线垂直和面面垂直的判定方法，得到结论。通过这道题，可以让学生借助空间四边形进一步熟悉空间图形的位置关系，掌握其判断方法。
练习5 图7中，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于2，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
（1）EG的长;
（2）异面直线EG与AC所成角的大小;
由于空间中图形位置的关系不易想象，很多学生对这类题目无从下手。当空间四边形的各边长相等时，各边中点的连线组成的四边形便是一个正方形，而正方形的一半即三角形EFG则是一个直角等腰三角形。利用熟悉的空间四边形的知识，这道空间图形的计算问题便转换成了一个直角三角形的计算问题了。
练习6 图8中，空间四边形ABCD中，AD、BD、CD两两垂直，且AD=BD=CD=2，求二面角A-BC-D的余弦值。
二面角的概念不太好懂，主要是平面角不好确定，本题的关键是要找出BC边的中点E，通过BD=CD，得出DE⊥BC，再由三垂线定理知AE⊥BC，即∠AED是二面角A-BC-D的平面角，剩下的问题就是直角三角函数的问题了。
三、空间四边形在教学中的应用说明
通过上述讨论，可以看出空间四边形在立体几何教学中的作用，它是立体几何学习上的正向迁移。众所周知，学习迁移的效果在一定程度上取决于学习材料之间的共同因素。教学中用空间四边形作为基本图形，就是用空间四边形作为各知识点之间“共同的因素”，起到知识贯通的作用。通过教师的正确引导，可以改进学生的原有认知结构，从而形成学习上的正向迁移。
在以往教学中，我们主要是在立方体和长方体这两种图形中来讨论点、线、面之间的位置关系和数量关系，因为立方体和长方体的空间形态特殊，点、线、面之间的关系也比较容易观察和想象。对一般的职高学生而言，以立方体和长方体作为基本图形讲解立体几何的各知识点是恰当且必需的。
在此基础上，增加空间四边形的内容，在空间四边形中讨论点、线、面之间的位置关系和数量关系，可以进一步提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，这对部分有深造需求的学生来说是必不可少的练习。
参考文献：
[1]李广全，李尚志.数学基础模块[M].北京：高等教育出版社，2018.
[2]何丙燕.空间四边形在立体几何教学中的妙用[J].数学教学通讯，2001（3）：22-23.
作者简介：栾晓林（1960—），男，中学高级教师，本科，就职于长沙财经学校，研究方向：中职教育。
关键词：空间四边形;立体几何;应用
中图分类号：G633.6
文章编号：2095-624X（2019）24-0080-02
一、空间四边形的概念
在高教版的中职数学教材（以下简称教材）中对空间四边形的定义如下：将平面内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，将点D折叠到D1的位置（如图1所示），此时A、B、C、D1四个点不在同一个平面内。这时的四边形ABCD1叫作空间四边形。
教材中相应给出了一个有关空间四边形的典型例题：
例 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（如图2），判断四边形EFGH是否为平行四边形？
这道题目不难，用三角形中位线的性质就可以证明。但学生初学立体几何，不易将空间问题转化成平面问题。通过这个例题可以引导学生用平面图形的性质分析解决空间图形的问题。教师在教学中需要重点讲解，为后续学习作充分准备。
二、空间四边形在立体几何教学中的典型应用
练习1 如图3所示，在空间四边形ABCD中哪些直线是异面直线？
异面直线是空间中两条直线特有的位置关系，在平面中并不存在。它反映了二维空间与三维空间的区别，是树立空间观念的一个重要标志，在立体几何教学中有着重要意义。
练习2 图4中，E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，判断AC和BD是否与平面EFGH平行？
练习3 图5中，空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，求证：AB+CD>2MN
这两道练习题的解题思路与例题1一样，都是利用三角形中位線的性质，将空间图形问题转换成平面图形的问题。通过这些练习，不仅可以帮助学生理解新的知识点，也可以帮助学生进一步掌握解决空间问题的思维方法。
练习4 图6中，已知在空间四边形ABCD中，AB=AC，BD=CD，E是BC的中点。求证：1）AD⊥BC;2）平面ADE⊥平面ABC;
判断空间图形的位置关系是立体几何教学中的难点，学生如果缺乏空间想象能力，就难以正确分解空间图形。本题需要将空间四边形ABCD分解为两个等腰三角形△ABC和△BDC，再根据线线垂直和面面垂直的判定方法，得到结论。通过这道题，可以让学生借助空间四边形进一步熟悉空间图形的位置关系，掌握其判断方法。
练习5 图7中，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于2，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
（1）EG的长;
（2）异面直线EG与AC所成角的大小;
由于空间中图形位置的关系不易想象，很多学生对这类题目无从下手。当空间四边形的各边长相等时，各边中点的连线组成的四边形便是一个正方形，而正方形的一半即三角形EFG则是一个直角等腰三角形。利用熟悉的空间四边形的知识，这道空间图形的计算问题便转换成了一个直角三角形的计算问题了。
练习6 图8中，空间四边形ABCD中，AD、BD、CD两两垂直，且AD=BD=CD=2，求二面角A-BC-D的余弦值。
二面角的概念不太好懂，主要是平面角不好确定，本题的关键是要找出BC边的中点E，通过BD=CD，得出DE⊥BC，再由三垂线定理知AE⊥BC，即∠AED是二面角A-BC-D的平面角，剩下的问题就是直角三角函数的问题了。
三、空间四边形在教学中的应用说明
通过上述讨论，可以看出空间四边形在立体几何教学中的作用，它是立体几何学习上的正向迁移。众所周知，学习迁移的效果在一定程度上取决于学习材料之间的共同因素。教学中用空间四边形作为基本图形，就是用空间四边形作为各知识点之间“共同的因素”，起到知识贯通的作用。通过教师的正确引导，可以改进学生的原有认知结构，从而形成学习上的正向迁移。
在以往教学中，我们主要是在立方体和长方体这两种图形中来讨论点、线、面之间的位置关系和数量关系，因为立方体和长方体的空间形态特殊，点、线、面之间的关系也比较容易观察和想象。对一般的职高学生而言，以立方体和长方体作为基本图形讲解立体几何的各知识点是恰当且必需的。
在此基础上，增加空间四边形的内容，在空间四边形中讨论点、线、面之间的位置关系和数量关系，可以进一步提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，这对部分有深造需求的学生来说是必不可少的练习。
参考文献：
[1]李广全，李尚志.数学基础模块[M].北京：高等教育出版社，2018.
[2]何丙燕.空间四边形在立体几何教学中的妙用[J].数学教学通讯，2001（3）：22-23.
作者简介：栾晓林（1960—），男，中学高级教师，本科，就职于长沙财经学校，研究方向：中职教育。