论文部分内容阅读
摘 要:在学习过程中,既要注重基础的扎实,又要注重思维的培养,能力的提高,而解题反思不失为一种可行有效的方法。本文就在解题反思中培养学生良好的数学思维品质谈一点看法。
关键词:解题反思 数学教育 数学思维品质
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-0079-02
高考是以知识为载体,方法为依托,能力为目标来进行考查的,纵观近年的高考试题,能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活,这正体现了新课程理念标准。在学生获取知识的过程中,注重培养学生的创新精神和实践能力,注重培养学生良好的思维品质。解题是数学教学的一个重要内容,它是数学思维和能力培养的重要载体,而解题反思其实是解题后的一种探究活动,探究问题本质、解题规律和技巧,探究变式引申以及其中的思想方法,从而提高学生的认知水平,培养其数学能力和良好的数学思维品质。本文就此谈一点看法:
一 反思解题错误,培养思维的严谨性
错解一定要反思,要多问几个为什么。为什么解错了、错在哪里、还有哪种题型要注意这类问题?若错后不认真反思,事后解此类题时必然还会犯类似错误。所以不论是老师还是学生,建议大家准备一本错题本,把易错、常错的题目记下来,便于复习巩固,效果超好。
例1:已知圆x2+y2=9,过点P(3,6)作直线与圆C相切,求切线方程。
错解:设直线y-6=k(x-3)即kx-y+6-3k=0
∵直线与圆相切,∴ 有=3,解得k=
∴所求的切线方程是3x-4y+15=0
评析:例1错解的原因是认为切线的斜率必存在,但实际上,过点P与x轴垂直的直线x=3也与圆C:x2+y2=9相切,而此时直线的斜率不存在,因此应补上斜率不存在的情况,这样解题属于考虑不周。因此解题后要引导学生归纳总结,解此类题时要注意,从圆外一点引圆的切线应有两条,若由圆心到直线的距离等于半径列式解得的k值只有一解时,就应注意切线斜率不存在的情况。再如:
例2:两条直线A1x+B1y+C1 =0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是……( )
(A) A1A2+B1B2=0 (B) A1A2-B1B2==0
(C) •=-1 (D) •=1
评析:此题学生也易忽略 、 有一个为0的情况而误选(C),反思错题有利于学生解题时考虑问题思维严谨。
二 反思解题策略,培养思维的灵活性
解题讲究策略,思维会更灵活敏捷。我们反思解题策略,应分析解题时是否应用了“以简驭繁、化生为熟、数形迁移、正难则反、引参求变。”等策略。
例3:某中学要从4名男生与3名女生中选4人参加夏令营活动,求其中至少有1名女生当选的方案有多少种。
此题若正面分析,需分三种情况;若从反面考虑,就一种情况,计算也简单得多。这属于正难则反的策略。
例4:求f(x)=的值域。
解此题时,若能把f(x)看作点(cosα,sinα)与点(-2,2)连线的斜率,而点(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,则求值域转化为求圆的切线斜率取值范围了。
反思此题的解题策略,不难发现是“引参求变、化生为熟、数形迁移、以简驭繁”,使问题巧妙得解。
再如“函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合”等等常用的思想方法也是解题策略反思的一个重要方面,经常这样做,能发现并熟悉一些解题规律和技巧,能减少解题时的尝试次数,能节省时间、降低难度,同时也能提高思维的灵活性。
三 反思解题技巧,培养思维的深刻性
反思解题,要善于对一些技巧进行归纳,形成一类题型的解题规律,这样才能达到举一反三,触类旁通的目的,有利于培养学生思维的深刻性。
例5:已知y=1+,若其图像与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的取值范围。
分析:y=1+表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分(y≥1),而直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),利用数形结合的思想方法,很容易求出k的取值范围。解题后引导学生反思其解法,可以看出很多题目都可以借助图形来打开思路。这样反思后学生就有了“突破口”,不会感到无从下手。再如,三角函数和向量的题型是高考的常考题,利用向量的模、数量积等知识解题比较容易。在立几中,越来越多的同学喜欢用向量法来证平行、垂直,解决求角、距离等问题,因为这类题型有一种固定模式,只要记住公式、计算细心即可。
四 反思引申推广,培养思维的创造性
解题后应抓住契机引导学生反思,对原题或结论进行引申推广,将所学知识纵向加深,横向沟通,发挥典型习题辐射功能,发挥学生的潜能,培养思维的创造性。
如:我们在学习数列知识时,等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d。而等比数列的通项公式为an=a1qn-1,同样可推广为an=amqn-m。又如:若m+n=p+q,则等差数列中,am+an=ap+aq;等比数列中,am•an=ap•aq。等差数列的很多性质与等比数列的性质很相似,学习过程中可以类比记忆,既能看到两种数列相同和不同之处,又能加深印象,记忆深刻。再如我们在学习圆锥曲线时,对于在椭圆中归纳或求得的性质结论能否进一步推广到双曲线和抛物线上呢?这样反思,既能发现知识的内在联系和区别,又创造了学习的玄机。
五 反思解题方法,培养思维的批判性
一道题目,由于思考的角度不同,可能有不同的解法。解题之后,应多问自己还有其他解法吗?哪种解法更为简洁、巧妙?若能经常变换角度审视问题,则思维的发散性就能得到培养,同时在判别解法孰优孰劣的过程中也可培养思维的批判性。
例6:已知:a、b、c、d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:ac+bd ≤1
本题是以绝对值不等式为背景的,所以想到利用绝对值的定义来证明此题。
证法一:(比较法)
∵ ac+bd≤1, ∴-1≤ac+bd≤1,即ac+bd≥-1且ac+bd≤1,利用作差法证明上述两式。
学生反思可知:①含绝对值不等式的证明题可以考虑用绝对值来证明;②绝对值不等式是双向的,单向成立是不能推出绝对值成立的,这样在以后遇到类似的题目不会出错。
再引导学生想一想,除了利用定义去绝对值,还可以如何去绝对值?学生会想到可以平方,即用分析法证明此题。
证法二:(分析法)
要证ac+bd≤1,即证(ac+bd)2≤1,a2c2+2abcd+b2d2≤1
而a2+b2=1,c2+d2=1
即证a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证(ad–bc)2≥0
∵a、b、c、d∈R,
∴上式成立,即原不等式得证。
再让学生观察题目的条件和结论,通过分析,学生可能会想到利用绝对值不等式的性质和均值不等式来证明此题。
证法三:∵a、b、c、d∈R,
∴ |ac| ≤;|bd|≤
∴ac+bd≤|ac|+|bd|≤+==1
∴ ac+bd≤1(注意等号成立的条件)
由条件中有两个实数的平方和为1,而三角函数中也有平方和为1,所以可想到用三角代换来证明。
证法四:(三角换元)
设a=cosα,b=sinα,c=cosβ,d=sinβ
∴ ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α–β)
∵|cos(α–β)|≤1,
∴ac+bd≤1
这种思考其实就是“一题多解”,让学生从不同的角度去观察、分析、思考,联想到均值不等式、三角换元等知识,可以让学生进一步体会新旧知识的内在联系,使所学知识融会贯通,思维空间更广阔,解题方法更灵活。再者,这种解题后反思、探究、比较,用质疑的眼光看问题,有利于养成学生的批判精神。
作为教师,积极引导学生进行解题反思,能养成他们对知识自觉归纳类比、抽象概括的习惯,能挖掘出题中蕴含的思想方法,让他们体会到解题的乐趣和成就感,能让他们在反思中学习,在反思中提高,在反思中培养优良的数学思维品质。
作者简介:
叶 玲,广西柳州铁二中数学教师,1993年毕业于广西师范大学数学系。多次获得校优秀教师、优秀共产党员、优秀班主任、校十佳教师、三八红旗手等光荣称号,连续评为市德育先进教师,本人多篇论文获得国家级、区级、市级奖励。
关键词:解题反思 数学教育 数学思维品质
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-0079-02
高考是以知识为载体,方法为依托,能力为目标来进行考查的,纵观近年的高考试题,能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活,这正体现了新课程理念标准。在学生获取知识的过程中,注重培养学生的创新精神和实践能力,注重培养学生良好的思维品质。解题是数学教学的一个重要内容,它是数学思维和能力培养的重要载体,而解题反思其实是解题后的一种探究活动,探究问题本质、解题规律和技巧,探究变式引申以及其中的思想方法,从而提高学生的认知水平,培养其数学能力和良好的数学思维品质。本文就此谈一点看法:
一 反思解题错误,培养思维的严谨性
错解一定要反思,要多问几个为什么。为什么解错了、错在哪里、还有哪种题型要注意这类问题?若错后不认真反思,事后解此类题时必然还会犯类似错误。所以不论是老师还是学生,建议大家准备一本错题本,把易错、常错的题目记下来,便于复习巩固,效果超好。
例1:已知圆x2+y2=9,过点P(3,6)作直线与圆C相切,求切线方程。
错解:设直线y-6=k(x-3)即kx-y+6-3k=0
∵直线与圆相切,∴ 有=3,解得k=
∴所求的切线方程是3x-4y+15=0
评析:例1错解的原因是认为切线的斜率必存在,但实际上,过点P与x轴垂直的直线x=3也与圆C:x2+y2=9相切,而此时直线的斜率不存在,因此应补上斜率不存在的情况,这样解题属于考虑不周。因此解题后要引导学生归纳总结,解此类题时要注意,从圆外一点引圆的切线应有两条,若由圆心到直线的距离等于半径列式解得的k值只有一解时,就应注意切线斜率不存在的情况。再如:
例2:两条直线A1x+B1y+C1 =0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是……( )
(A) A1A2+B1B2=0 (B) A1A2-B1B2==0
(C) •=-1 (D) •=1
评析:此题学生也易忽略 、 有一个为0的情况而误选(C),反思错题有利于学生解题时考虑问题思维严谨。
二 反思解题策略,培养思维的灵活性
解题讲究策略,思维会更灵活敏捷。我们反思解题策略,应分析解题时是否应用了“以简驭繁、化生为熟、数形迁移、正难则反、引参求变。”等策略。
例3:某中学要从4名男生与3名女生中选4人参加夏令营活动,求其中至少有1名女生当选的方案有多少种。
此题若正面分析,需分三种情况;若从反面考虑,就一种情况,计算也简单得多。这属于正难则反的策略。
例4:求f(x)=的值域。
解此题时,若能把f(x)看作点(cosα,sinα)与点(-2,2)连线的斜率,而点(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,则求值域转化为求圆的切线斜率取值范围了。
反思此题的解题策略,不难发现是“引参求变、化生为熟、数形迁移、以简驭繁”,使问题巧妙得解。
再如“函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合”等等常用的思想方法也是解题策略反思的一个重要方面,经常这样做,能发现并熟悉一些解题规律和技巧,能减少解题时的尝试次数,能节省时间、降低难度,同时也能提高思维的灵活性。
三 反思解题技巧,培养思维的深刻性
反思解题,要善于对一些技巧进行归纳,形成一类题型的解题规律,这样才能达到举一反三,触类旁通的目的,有利于培养学生思维的深刻性。
例5:已知y=1+,若其图像与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的取值范围。
分析:y=1+表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分(y≥1),而直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),利用数形结合的思想方法,很容易求出k的取值范围。解题后引导学生反思其解法,可以看出很多题目都可以借助图形来打开思路。这样反思后学生就有了“突破口”,不会感到无从下手。再如,三角函数和向量的题型是高考的常考题,利用向量的模、数量积等知识解题比较容易。在立几中,越来越多的同学喜欢用向量法来证平行、垂直,解决求角、距离等问题,因为这类题型有一种固定模式,只要记住公式、计算细心即可。
四 反思引申推广,培养思维的创造性
解题后应抓住契机引导学生反思,对原题或结论进行引申推广,将所学知识纵向加深,横向沟通,发挥典型习题辐射功能,发挥学生的潜能,培养思维的创造性。
如:我们在学习数列知识时,等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d。而等比数列的通项公式为an=a1qn-1,同样可推广为an=amqn-m。又如:若m+n=p+q,则等差数列中,am+an=ap+aq;等比数列中,am•an=ap•aq。等差数列的很多性质与等比数列的性质很相似,学习过程中可以类比记忆,既能看到两种数列相同和不同之处,又能加深印象,记忆深刻。再如我们在学习圆锥曲线时,对于在椭圆中归纳或求得的性质结论能否进一步推广到双曲线和抛物线上呢?这样反思,既能发现知识的内在联系和区别,又创造了学习的玄机。
五 反思解题方法,培养思维的批判性
一道题目,由于思考的角度不同,可能有不同的解法。解题之后,应多问自己还有其他解法吗?哪种解法更为简洁、巧妙?若能经常变换角度审视问题,则思维的发散性就能得到培养,同时在判别解法孰优孰劣的过程中也可培养思维的批判性。
例6:已知:a、b、c、d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:ac+bd ≤1
本题是以绝对值不等式为背景的,所以想到利用绝对值的定义来证明此题。
证法一:(比较法)
∵ ac+bd≤1, ∴-1≤ac+bd≤1,即ac+bd≥-1且ac+bd≤1,利用作差法证明上述两式。
学生反思可知:①含绝对值不等式的证明题可以考虑用绝对值来证明;②绝对值不等式是双向的,单向成立是不能推出绝对值成立的,这样在以后遇到类似的题目不会出错。
再引导学生想一想,除了利用定义去绝对值,还可以如何去绝对值?学生会想到可以平方,即用分析法证明此题。
证法二:(分析法)
要证ac+bd≤1,即证(ac+bd)2≤1,a2c2+2abcd+b2d2≤1
而a2+b2=1,c2+d2=1
即证a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证(ad–bc)2≥0
∵a、b、c、d∈R,
∴上式成立,即原不等式得证。
再让学生观察题目的条件和结论,通过分析,学生可能会想到利用绝对值不等式的性质和均值不等式来证明此题。
证法三:∵a、b、c、d∈R,
∴ |ac| ≤;|bd|≤
∴ac+bd≤|ac|+|bd|≤+==1
∴ ac+bd≤1(注意等号成立的条件)
由条件中有两个实数的平方和为1,而三角函数中也有平方和为1,所以可想到用三角代换来证明。
证法四:(三角换元)
设a=cosα,b=sinα,c=cosβ,d=sinβ
∴ ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α–β)
∵|cos(α–β)|≤1,
∴ac+bd≤1
这种思考其实就是“一题多解”,让学生从不同的角度去观察、分析、思考,联想到均值不等式、三角换元等知识,可以让学生进一步体会新旧知识的内在联系,使所学知识融会贯通,思维空间更广阔,解题方法更灵活。再者,这种解题后反思、探究、比较,用质疑的眼光看问题,有利于养成学生的批判精神。
作为教师,积极引导学生进行解题反思,能养成他们对知识自觉归纳类比、抽象概括的习惯,能挖掘出题中蕴含的思想方法,让他们体会到解题的乐趣和成就感,能让他们在反思中学习,在反思中提高,在反思中培养优良的数学思维品质。
作者简介:
叶 玲,广西柳州铁二中数学教师,1993年毕业于广西师范大学数学系。多次获得校优秀教师、优秀共产党员、优秀班主任、校十佳教师、三八红旗手等光荣称号,连续评为市德育先进教师,本人多篇论文获得国家级、区级、市级奖励。