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总复习课教学起着承上启下的作用。在小学阶段，教师通常按知识的类型进行分类复习。每个知识领域的复习既是第一、二学段知识的整理与完善，也是中小学衔接的着眼点之一。作为一名数学教师有必要立足于学生数学长远发展，深入研究中小学各个知识领域之间的内在联系，落实每个知识领域总复习的“衔接点”，使总复习教学更好地为学生后续学习做好有价值的“储备”。通过长期的总复习课例研究，笔者以“图形与几何”领域总复习教学为例，谈谈加强中小学衔接的几点思考。
一、融合“横向与纵向数学化”活动，完善“方法模型”的系统建构
弗赖登塔尔认为，数学化有横向数学化和纵向数学化之分，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。教学中关注横向数学化，能让学生知道数学的来龙去脉;关注纵向的数学化，能让数学知识系统化和合理化，适用性强。融合横向与纵向数学化活动能把数学知识发生、发展与应用的各个方面贯通起来。初中教材编排中，关于小学阶段已经出现的几何图形的计算公式一般不再重新学习，而是直接在例题或习题中加以运用。因此，复习教学中，从“数学化”角度出发，重视横向与纵向关系，能不断帮助学生把已经学过的“几何与图形”领域的知识点进行整合，发现共同规律，建构相对完善的知识与方法体系，为后续的同领域学习提供思考导向。例如，笔者进行北师大版六年级下册《立体图形体积的复习》的教学时，先整理完长（正）方体、圆柱和圆锥体积计算方法后，为学生提供了如下的横向与纵向数学化思考活动过程。
（一）创设“纵向数学化”思考活动的起点
问题思考：外形不一样的长方体、正方体和圆柱都可以用V=sh，它们之间有什么共同的特征？请看（课件演示：向上平移三种平面图形成立体）
生1：它们上下底一样，中间一样粗细。
生2：长方体是由长方形向上平移形成的，正方体是由正方形向上移形成的，圆柱是由圆向上平移形成的。
师;数学上，通常把这样的立体图形叫做“直柱体”。现在，大家明白了，这三种立体图形有什么共同特征吧。
（二）拓展直柱体的认知范畴
师：除了由长方形、正方形、圆平移形成这三种直柱体，你认为直柱体还可以长什么样子？
（学生们不断围绕着直柱体的特征展开想象，不一会儿，就与旁边的同学讨论起来，有的说：由平行四形、梯形、三角形……平移都可以得到直柱体）
课件继续呈现直柱体：
师：它们都是直柱体吗？
生：是的，它们都是由平面图形平移得到的立体图形。
（三）建模直柱体体积计算公式
师：如何求它们的体积？有什么统一的方法？
生：V=sh，因为它们都是直柱体。
生2：它们都可以变形转化成长方体，因此，都可以用V=sh。
师：老师用橡皮泥，做了这样的直柱体，请看（投影实物），可以用V=sh？有办法验证吗？
生：老师让它的高不动，把橡皮泥底面搓搓，会变成圆形不就是圆柱吗？
师：用上“转化”的解题策略，统一了所有直柱体体积计算公式V=sh。
（四）在解析中深化直柱体体积计算模型
思考：为什么计算圆锥体积不能用V=sh？
学生几何直观对比，辨析发现了圆锥不是直柱体，它的上面缩成为一个点。
《立体图形体积的复习》的教学，笔者能以贯穿整个“图形与几何”知识领域的重要探究数学思想方法与策略——“转化”，引发问题的冲突思考，并通过发现规律，统一建构符号化的体积计算公式，实现横向和纵向数学化的有效融合，使数学思维活动走向深层次，让计算公式系统化，为初中的图形计算公式应用建立完整的方法模型结构，并在问题解决说理中渗透了初中几何的推理论证思想。
二、寻找“同一知识领域”内容的联接点，发展后续需要的数学核心能力
以知识类型划分的领域，都有相应内容的学习核心目标。纵观九年制义务教育阶段整个“图形与几何”知识领域的课程内容，是以发展学生的空间观念、直观几何、推理能力为核心而展开的。因此，在小学毕业数学毕业总复习中，教师要把握“图形与几何”内容中“点、线、面”之间的内在联系，让它们置身于运动与变化的世界里，增强学生对图形的体验，能更好地发展学生后续学习需要的数学能力。例如，在教学《立体图形的复习》这课时，可以创设一维、二维、三维之间的运动轨迹演示过程和平面描述立体的习题应用过程，发展学生的空间想象能力和推理能力。
（一）创设“动感”世界，串联成体
师：这是什么？·
师：点动起来，成什么？线动起来？
师：面动起来呢？
师：面动成体，小学阶段，我们主要研究了哪些立体图形？
（课件出示点、线、面的运动过程）
这样的导入，把点、线、面以“动感”形式呈现出来，让学生进一步把图形串联成体，有效发展学生的空间想象能力。
（二）经历“转换”维数，搭建“立体模型”
张奠宙教授指出，直观几何最根本的或者最核心的内容是用平面来描述立体。在“图形与几何”领域复习中，空间图形的平面化，通过平面图形想象空间物体，能有效地发展学生的空间想象能力和推理能力。例如，一位教师《立体图形的复习》这课，创设平面想象立体的习题应用情境：（1）这是做长方体礼品盒的材料的数据，根据数据想象推测：这是一个怎样的长方体？（单位：cm）
①6个面：8×5，8×5，8×6，8×6，5×6，5×6
②4个面：20×10，20×10，10×5，10×5
③2个面：15×8，15×5 ④2个面：15×8，15×8（同桌合作拼搭）
（2）这是做圆柱蛋糕盒的材料的数据，根据数据分别想象推测：这是一个怎样的圆柱体？（课件逐题出示）
①侧面：长62.8cm，宽50.24cm
②底面底长：25.12cm
在这一过程中，提供思维层层深入的习题应用素材，能让学生通过长方形想象长方体的形状，根据数据确定脑中搭建而成的长方体的大小，实现了形到体的转换;通过补足相对面，让学生感受若长、宽、高确定，长方体的大小就能确定;若长、宽、高其中有一个不确定，就能留给他们无限的想象空间;通过长方形想象圆柱的底面和圆柱的形状，不同的数据当底面周长，所得到的圆柱大小不同;根据底面圆周长的数据展开想象，同底高不确定，形成高低不同的圆柱，有机渗透“无极限”的数学思想。在这样的习题思维活动中，学生不断积累空间观念，进一步发展了推理能力，为初中的平面和立体几何的学习提供了思维和能力的“储备”。
三、挖掘知识领域内容的“留白处”，激发后续探究的乐趣
九年义务教育不同学段教材的编写，能遵循学生的认知发展水平。教师在小学毕业总复习阶段，应深入研究中小学各个知识领域的衔接内容，把相关的中学内容引入复习课堂，让学生初步体会知识后续学习的方向，从而激发继续探究的欲望。例如，“图形与几何”编排体系中，把“圆锥”的表面积等相关知识安排在第三学段进行学习。在《立体图形表面积的复习》和《立体图形体积的复习》教学后，笔者引导学生整理一张立体图形表面积和体积计算公式的表格，引导学生观察与思考：
[立体图形
一、融合“横向与纵向数学化”活动，完善“方法模型”的系统建构
弗赖登塔尔认为，数学化有横向数学化和纵向数学化之分，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。教学中关注横向数学化，能让学生知道数学的来龙去脉;关注纵向的数学化，能让数学知识系统化和合理化，适用性强。融合横向与纵向数学化活动能把数学知识发生、发展与应用的各个方面贯通起来。初中教材编排中，关于小学阶段已经出现的几何图形的计算公式一般不再重新学习，而是直接在例题或习题中加以运用。因此，复习教学中，从“数学化”角度出发，重视横向与纵向关系，能不断帮助学生把已经学过的“几何与图形”领域的知识点进行整合，发现共同规律，建构相对完善的知识与方法体系，为后续的同领域学习提供思考导向。例如，笔者进行北师大版六年级下册《立体图形体积的复习》的教学时，先整理完长（正）方体、圆柱和圆锥体积计算方法后，为学生提供了如下的横向与纵向数学化思考活动过程。
（一）创设“纵向数学化”思考活动的起点
问题思考：外形不一样的长方体、正方体和圆柱都可以用V=sh，它们之间有什么共同的特征？请看（课件演示：向上平移三种平面图形成立体）
生1：它们上下底一样，中间一样粗细。
生2：长方体是由长方形向上平移形成的，正方体是由正方形向上移形成的，圆柱是由圆向上平移形成的。
师;数学上，通常把这样的立体图形叫做“直柱体”。现在，大家明白了，这三种立体图形有什么共同特征吧。
（二）拓展直柱体的认知范畴
师：除了由长方形、正方形、圆平移形成这三种直柱体，你认为直柱体还可以长什么样子？
（学生们不断围绕着直柱体的特征展开想象，不一会儿，就与旁边的同学讨论起来，有的说：由平行四形、梯形、三角形……平移都可以得到直柱体）
课件继续呈现直柱体：
师：它们都是直柱体吗？
生：是的，它们都是由平面图形平移得到的立体图形。
（三）建模直柱体体积计算公式
师：如何求它们的体积？有什么统一的方法？
生：V=sh，因为它们都是直柱体。
生2：它们都可以变形转化成长方体，因此，都可以用V=sh。
师：老师用橡皮泥，做了这样的直柱体，请看（投影实物），可以用V=sh？有办法验证吗？
生：老师让它的高不动，把橡皮泥底面搓搓，会变成圆形不就是圆柱吗？
师：用上“转化”的解题策略，统一了所有直柱体体积计算公式V=sh。
（四）在解析中深化直柱体体积计算模型
思考：为什么计算圆锥体积不能用V=sh？
学生几何直观对比，辨析发现了圆锥不是直柱体，它的上面缩成为一个点。
《立体图形体积的复习》的教学，笔者能以贯穿整个“图形与几何”知识领域的重要探究数学思想方法与策略——“转化”，引发问题的冲突思考，并通过发现规律，统一建构符号化的体积计算公式，实现横向和纵向数学化的有效融合，使数学思维活动走向深层次，让计算公式系统化，为初中的图形计算公式应用建立完整的方法模型结构，并在问题解决说理中渗透了初中几何的推理论证思想。
二、寻找“同一知识领域”内容的联接点，发展后续需要的数学核心能力
以知识类型划分的领域，都有相应内容的学习核心目标。纵观九年制义务教育阶段整个“图形与几何”知识领域的课程内容，是以发展学生的空间观念、直观几何、推理能力为核心而展开的。因此，在小学毕业数学毕业总复习中，教师要把握“图形与几何”内容中“点、线、面”之间的内在联系，让它们置身于运动与变化的世界里，增强学生对图形的体验，能更好地发展学生后续学习需要的数学能力。例如，在教学《立体图形的复习》这课时，可以创设一维、二维、三维之间的运动轨迹演示过程和平面描述立体的习题应用过程，发展学生的空间想象能力和推理能力。
（一）创设“动感”世界，串联成体
师：这是什么？·
师：点动起来，成什么？线动起来？
师：面动起来呢？
师：面动成体，小学阶段，我们主要研究了哪些立体图形？
（课件出示点、线、面的运动过程）
这样的导入，把点、线、面以“动感”形式呈现出来，让学生进一步把图形串联成体，有效发展学生的空间想象能力。
（二）经历“转换”维数，搭建“立体模型”
张奠宙教授指出，直观几何最根本的或者最核心的内容是用平面来描述立体。在“图形与几何”领域复习中，空间图形的平面化，通过平面图形想象空间物体，能有效地发展学生的空间想象能力和推理能力。例如，一位教师《立体图形的复习》这课，创设平面想象立体的习题应用情境：（1）这是做长方体礼品盒的材料的数据，根据数据想象推测：这是一个怎样的长方体？（单位：cm）
①6个面：8×5，8×5，8×6，8×6，5×6，5×6
②4个面：20×10，20×10，10×5，10×5
③2个面：15×8，15×5 ④2个面：15×8，15×8（同桌合作拼搭）
（2）这是做圆柱蛋糕盒的材料的数据，根据数据分别想象推测：这是一个怎样的圆柱体？（课件逐题出示）
①侧面：长62.8cm，宽50.24cm
②底面底长：25.12cm
在这一过程中，提供思维层层深入的习题应用素材，能让学生通过长方形想象长方体的形状，根据数据确定脑中搭建而成的长方体的大小，实现了形到体的转换;通过补足相对面，让学生感受若长、宽、高确定，长方体的大小就能确定;若长、宽、高其中有一个不确定，就能留给他们无限的想象空间;通过长方形想象圆柱的底面和圆柱的形状，不同的数据当底面周长，所得到的圆柱大小不同;根据底面圆周长的数据展开想象，同底高不确定，形成高低不同的圆柱，有机渗透“无极限”的数学思想。在这样的习题思维活动中，学生不断积累空间观念，进一步发展了推理能力，为初中的平面和立体几何的学习提供了思维和能力的“储备”。
三、挖掘知识领域内容的“留白处”，激发后续探究的乐趣
九年义务教育不同学段教材的编写，能遵循学生的认知发展水平。教师在小学毕业总复习阶段，应深入研究中小学各个知识领域的衔接内容，把相关的中学内容引入复习课堂，让学生初步体会知识后续学习的方向，从而激发继续探究的欲望。例如，“图形与几何”编排体系中，把“圆锥”的表面积等相关知识安排在第三学段进行学习。在《立体图形表面积的复习》和《立体图形体积的复习》教学后，笔者引导学生整理一张立体图形表面积和体积计算公式的表格，引导学生观察与思考：
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