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摘 要：应用数学解决实际问题是我们学习数学的终极目标，然而在实际教学中发现，学生的应用能力有待加强. 因此，在高中数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度. 本文主要从注重“审题”这个角度结合具体例子深入阐述应用题教学.
关键词：高中数学；应用题教学；审题步骤；审题能力
著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，无处不用到数学.”伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学应用题已经走入各省市的试卷之中. 它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心. 解决这类问题时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论.
数学应用题可以说是江苏高考的一大特色，几年来持续考查，从未间断，但从阅卷现场来看，学生得分率不是很理想，究其原因，主要是学生审题不清，没有准确的审题，就无法进入分析问题、解决问题的环节，导致学生放弃解答或者草草几笔了事. 那么对于应用题而言究竟该如何审题，本文试借助于2014年江苏高考应用题来阐述审题能力的培养.
案例：2014年江苏高考应用题
真题再现 （2014年江苏高考第18题）如图1，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
1. 分层理解
文字语言分为几个层次？初步可划分为4个，第一层：开始的一句话，介绍了问题的背景以及主要话题——建立新桥、设立圆形保护区；第二层：建立新桥与保护区的具体要求；第三层：基本元素之间的数量关系；第四层：解题目标——新桥的长度、保护区面积何时最大.
2. 分类整理
依据上述初步分析，很容易感知到主要信息集中在两个对象新桥（线段BC），保护区（圆M）上，但相对比较分散，采用列表的方式，则可以比较清晰地抓住要领，见表1.
3. 分步反推1——新桥BC的长
（1）题目的条件是什么，一共几个，怎样理解？初步来看有四个.
条件1：“点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）”. 结合图形，不难辨认出，OA⊥OC，OA=60，OC=170.如果建立直角坐标系，点A（0，60），C（170，0）.
条件2：“tan∠BCO=”. 可以建立多种数学理解：可以理解为直线BC的斜率为-，也可以理解为∠BCO=arctan是一个定角，可以顺此求出余弦、正弦值；还可以理解为直角三角形中的线段比例关系. 目前，这些形式的理解哪一个更适合本题，暂时还不清楚.
条件3：“新桥BC与河岸AB垂直”，进一步数学化为：BC⊥AB，也可以建立多种理解：一方面是斜率之积互为负倒数；另一方面，∠AOC=∠CBA=，可以构造出相似三角形.
（2）题目的结论是什么，一共几个？怎样理解？
题目的结论是求新桥BC的长，即线段BC的长，一种理解为点与点之间的距离，另一种理解为图形中的边长，具体由条件来确定.
（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，解题的逻辑线索是什么？
思路1 由上述分析，若把线段BC的长理解为点与点之间的距离，则关键是求出点B的坐标，其逻辑线索为：线段BC的长?点与点之间的距离?求点的坐标?求直线与直线的方程?求直线的斜率?建立直角坐标系.
思路2 由上述分析，若把线段BC的长理解为边长，则关键是构造出相似三角形，
3. 分步反推2——保护区面积何时最大
（1）题目的条件是什么，一共几个，怎样理解？
在解答了问题1以后，我们可以认为条件有三个.
条件1：“圆心M在线段OA上”，在直角坐标系中，圆心可设为M（0，b），是一个动点，圆是一个动圆.
条件2：“与BC相切”，数学含义是半径r=d，即动点M（0，b）到定直线BC的距离，可以找到r、b之间的关系.
条件3：“古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m”，依据圆的知识可知，圆上任意一点到O和A的最小距离分别为r-b，r-（60-b），所以，条件3的数学含义是r-b≥80，r-（60-b）≥80，这样就给出了变量的取值范围.
（2）题目的结论是什么，一共几个？怎样理解？
题目的结论是求保护区面积何时最大，显然就是求圆的半径何时最大.圆的半径r随着b在变化，而条件3给出了变量的取值范围，这样逻辑轮廓就出来了——建立变量之间的函数关系，依据定义域求出函数最值.
（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，解题的逻辑线索是什么？
由上述分析可知，其逻辑线索为：保护区面积最大?半径r的最值?建立r、b之间的函数关系、查找变量的取值范围?求点到直线的距离、建立不等式.
4. 分步表达 （略解）
（1）如图2，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A（0，60），C（170，0），
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -. 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为（a，b），则kBC==-， kAB==，
解得a=80，b=120.
所以BC==150.
因此新桥BC的长是150 m.
（2）法1：设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）.
由条件知，直线BC的方程为y=-·（x-170），即4x 3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r，
即r==.
因学为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以r-d≥80，
r-（60-d）≥80，
即
-d≥80，
-（60-d）≥80，
解得10≤d≤35.
故当d=10时，r=最大，即圆面积最大.
所以当OM=10 m时，圆形保护区的面积最大.
法2：延长OA，CB交于点F. 设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m（0≤d≤60）.
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，sin∠CFO ====.
所以r=.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以r-d≥80，
r-（60-d）≥80，
即
-d≥80，
-（60-d）≥80，
解得10≤d≤35.
故当d=10时，r=最大，即圆面积最大.
所以当OM =10 m时，圆形保护区的面积最大.
关于审题的理解
从上述应用题的解答过程我们不难看出，应用题的审题过程应该注意以下方面：
1. 阅读、审题的3个要点
从解答过程看，数学应用题的阅读、审题主要应该包括三个方面：①弄清题目的条件是什么？一共有几个？数学含义是什么？如何表示？②弄清题目的目标是什么？一共有几个，其数学含义是什么？如何表示？③条件与结论有哪些数学联系，是一种怎样的结构，如何实现两者的沟通.
2. 审题的操作
笔者在长期的教学过程中，逐步探索出审题模式——四分法审题.
第一分：分层理解 （1）将应用题的文字语言，依据语意划分为若干层次，概括出各层的含义，明确各层的意义与价值. （2）标出关键词语、专业术语、易漏的地方并着重加以理解，明确其含义.
第二分：分类整理 分类检索，围绕题目中的主要对象进行分类整理，将关于某一对象的相关语句集中到一起，以便于厘清关于这一对象的内在逻辑关系. （1）强调的是解题监控，回头再阅读，此时可依据需要回到相应的文字语句中去检索. （2）在整理过程中，如果出现细节不清的问题，或有某种疑惑，再依据所画的层次与段落，回头仔细研读，再次弄清关系即分类检索. （3）采用画图、列表等方式使题目含义直观化，以便于整体把握.
分层理解、分层整理，强调全面性，细节性. 培养学生逐字逐句的阅读习惯，要求学生在阅读过程中必须对每个字句，每个术语，包括标点符号，题内括注等，都要细致地阅读分析，做到全面准确地理解内容、含义，同时进行初步理解，划分出它的逻辑块.
第三分：分步反推 （1）明确解题目标. （2）以分析法为手段，采用倒推的形式，依次查询本题中各元素之间的关系，最好用图形加以表示. （3）依据上述关系图，恰当选择解题思路.
第四分：分步表达 依据第三步的关系图，按照综合法的书写格式顺藤摸瓜，依次演算.
数学审题、阅读是一个主动建构的过程，而不是机械的，在此过程中既要激活对已有知识、经验，特别是关键词、术语的含义有正确的理解，同时又要思考众多因素之间的逻辑关系，努力实现已知条件与目标之间的沟通.
关于审题能力的培养
1. 充分重视审题、数学阅读的思维过程
世界著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习‘数学化’”. 对于数学应用题而言，解答过程就是一次数学化的过程，而这离不开数学阅读. 但学生的阅读能力却不是教师“讲”出来的，而只能是学生“自我发展”出来的. 这就要求我们老师在平时的应用题教学中，要重视“阅读”的“过程教学”.
2. 真正地保证学生的自主学习
（1）不要帮学生读题 陆游说“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”. 建构主义也告诉我们，学习不是简单的模仿，机械的操作，而是一种主动建构的过程. 因此学生审题的过程更不能由教师包办. 不要帮学生读题，题目展示后，教师就要闭嘴，不要喋喋不休地打扰学生思考，只有学生会阅读了，才能在高考的考场上充分发挥.
（2）给出一个可行的示范与操作步骤 一方面教师要揭示审题的过程，并让学生学会招招式式的操作；另一方面，要能激发起学生积极的心向，让学生自觉参与“阅读”的“过程”，自觉生成对“阅读”的体验，并通过一定量的练习，最后内化为能力.
总之，学生审题能力的培养是一个长期的任务，它几乎无捷径可走，只有在学生自己反复的练习、教师的分析指导中逐步养成. 学生经过了尝试，才会有体会和感受，才会更深刻地理解教师的分析、指导，而教师的包办代替只能扼杀学生的思想. 在今后教学中还要经常提醒学生仔细读题，认真审题，要不断做学生的表率，传授他们审题的技巧及方法，提高解题的正确率，提高学生的审题能力，提高教学效果.
关键词：高中数学；应用题教学；审题步骤；审题能力
著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，无处不用到数学.”伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学应用题已经走入各省市的试卷之中. 它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心. 解决这类问题时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论.
数学应用题可以说是江苏高考的一大特色，几年来持续考查，从未间断，但从阅卷现场来看，学生得分率不是很理想，究其原因，主要是学生审题不清，没有准确的审题，就无法进入分析问题、解决问题的环节，导致学生放弃解答或者草草几笔了事. 那么对于应用题而言究竟该如何审题，本文试借助于2014年江苏高考应用题来阐述审题能力的培养.
案例：2014年江苏高考应用题
真题再现 （2014年江苏高考第18题）如图1，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
1. 分层理解
文字语言分为几个层次？初步可划分为4个，第一层：开始的一句话，介绍了问题的背景以及主要话题——建立新桥、设立圆形保护区；第二层：建立新桥与保护区的具体要求；第三层：基本元素之间的数量关系；第四层：解题目标——新桥的长度、保护区面积何时最大.
2. 分类整理
依据上述初步分析，很容易感知到主要信息集中在两个对象新桥（线段BC），保护区（圆M）上，但相对比较分散，采用列表的方式，则可以比较清晰地抓住要领，见表1.
3. 分步反推1——新桥BC的长
（1）题目的条件是什么，一共几个，怎样理解？初步来看有四个.
条件1：“点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）”. 结合图形，不难辨认出，OA⊥OC，OA=60，OC=170.如果建立直角坐标系，点A（0，60），C（170，0）.
条件2：“tan∠BCO=”. 可以建立多种数学理解：可以理解为直线BC的斜率为-，也可以理解为∠BCO=arctan是一个定角，可以顺此求出余弦、正弦值；还可以理解为直角三角形中的线段比例关系. 目前，这些形式的理解哪一个更适合本题，暂时还不清楚.
条件3：“新桥BC与河岸AB垂直”，进一步数学化为：BC⊥AB，也可以建立多种理解：一方面是斜率之积互为负倒数；另一方面，∠AOC=∠CBA=，可以构造出相似三角形.
（2）题目的结论是什么，一共几个？怎样理解？
题目的结论是求新桥BC的长，即线段BC的长，一种理解为点与点之间的距离，另一种理解为图形中的边长，具体由条件来确定.
（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，解题的逻辑线索是什么？
思路1 由上述分析，若把线段BC的长理解为点与点之间的距离，则关键是求出点B的坐标，其逻辑线索为：线段BC的长?点与点之间的距离?求点的坐标?求直线与直线的方程?求直线的斜率?建立直角坐标系.
思路2 由上述分析，若把线段BC的长理解为边长，则关键是构造出相似三角形，
3. 分步反推2——保护区面积何时最大
（1）题目的条件是什么，一共几个，怎样理解？
在解答了问题1以后，我们可以认为条件有三个.
条件1：“圆心M在线段OA上”，在直角坐标系中，圆心可设为M（0，b），是一个动点，圆是一个动圆.
条件2：“与BC相切”，数学含义是半径r=d，即动点M（0，b）到定直线BC的距离，可以找到r、b之间的关系.
条件3：“古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m”，依据圆的知识可知，圆上任意一点到O和A的最小距离分别为r-b，r-（60-b），所以，条件3的数学含义是r-b≥80，r-（60-b）≥80，这样就给出了变量的取值范围.
（2）题目的结论是什么，一共几个？怎样理解？
题目的结论是求保护区面积何时最大，显然就是求圆的半径何时最大.圆的半径r随着b在变化，而条件3给出了变量的取值范围，这样逻辑轮廓就出来了——建立变量之间的函数关系，依据定义域求出函数最值.
（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，解题的逻辑线索是什么？
由上述分析可知，其逻辑线索为：保护区面积最大?半径r的最值?建立r、b之间的函数关系、查找变量的取值范围?求点到直线的距离、建立不等式.
4. 分步表达 （略解）
（1）如图2，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A（0，60），C（170，0），
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -. 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为（a，b），则kBC==-， kAB==，
解得a=80，b=120.
所以BC==150.
因此新桥BC的长是150 m.
（2）法1：设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）.
由条件知，直线BC的方程为y=-·（x-170），即4x 3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r，
即r==.
因学为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以r-d≥80，
r-（60-d）≥80，
即
-d≥80，
-（60-d）≥80，
解得10≤d≤35.
故当d=10时，r=最大，即圆面积最大.
所以当OM=10 m时，圆形保护区的面积最大.
法2：延长OA，CB交于点F. 设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m（0≤d≤60）.
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，sin∠CFO ====.
所以r=.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以r-d≥80，
r-（60-d）≥80，
即
-d≥80，
-（60-d）≥80，
解得10≤d≤35.
故当d=10时，r=最大，即圆面积最大.
所以当OM =10 m时，圆形保护区的面积最大.
关于审题的理解
从上述应用题的解答过程我们不难看出，应用题的审题过程应该注意以下方面：
1. 阅读、审题的3个要点
从解答过程看，数学应用题的阅读、审题主要应该包括三个方面：①弄清题目的条件是什么？一共有几个？数学含义是什么？如何表示？②弄清题目的目标是什么？一共有几个，其数学含义是什么？如何表示？③条件与结论有哪些数学联系，是一种怎样的结构，如何实现两者的沟通.
2. 审题的操作
笔者在长期的教学过程中，逐步探索出审题模式——四分法审题.
第一分：分层理解 （1）将应用题的文字语言，依据语意划分为若干层次，概括出各层的含义，明确各层的意义与价值. （2）标出关键词语、专业术语、易漏的地方并着重加以理解，明确其含义.
第二分：分类整理 分类检索，围绕题目中的主要对象进行分类整理，将关于某一对象的相关语句集中到一起，以便于厘清关于这一对象的内在逻辑关系. （1）强调的是解题监控，回头再阅读，此时可依据需要回到相应的文字语句中去检索. （2）在整理过程中，如果出现细节不清的问题，或有某种疑惑，再依据所画的层次与段落，回头仔细研读，再次弄清关系即分类检索. （3）采用画图、列表等方式使题目含义直观化，以便于整体把握.
分层理解、分层整理，强调全面性，细节性. 培养学生逐字逐句的阅读习惯，要求学生在阅读过程中必须对每个字句，每个术语，包括标点符号，题内括注等，都要细致地阅读分析，做到全面准确地理解内容、含义，同时进行初步理解，划分出它的逻辑块.
第三分：分步反推 （1）明确解题目标. （2）以分析法为手段，采用倒推的形式，依次查询本题中各元素之间的关系，最好用图形加以表示. （3）依据上述关系图，恰当选择解题思路.
第四分：分步表达 依据第三步的关系图，按照综合法的书写格式顺藤摸瓜，依次演算.
数学审题、阅读是一个主动建构的过程，而不是机械的，在此过程中既要激活对已有知识、经验，特别是关键词、术语的含义有正确的理解，同时又要思考众多因素之间的逻辑关系，努力实现已知条件与目标之间的沟通.
关于审题能力的培养
1. 充分重视审题、数学阅读的思维过程
世界著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习‘数学化’”. 对于数学应用题而言，解答过程就是一次数学化的过程，而这离不开数学阅读. 但学生的阅读能力却不是教师“讲”出来的，而只能是学生“自我发展”出来的. 这就要求我们老师在平时的应用题教学中，要重视“阅读”的“过程教学”.
2. 真正地保证学生的自主学习
（1）不要帮学生读题 陆游说“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”. 建构主义也告诉我们，学习不是简单的模仿，机械的操作，而是一种主动建构的过程. 因此学生审题的过程更不能由教师包办. 不要帮学生读题，题目展示后，教师就要闭嘴，不要喋喋不休地打扰学生思考，只有学生会阅读了，才能在高考的考场上充分发挥.
（2）给出一个可行的示范与操作步骤 一方面教师要揭示审题的过程，并让学生学会招招式式的操作；另一方面，要能激发起学生积极的心向，让学生自觉参与“阅读”的“过程”，自觉生成对“阅读”的体验，并通过一定量的练习，最后内化为能力.
总之，学生审题能力的培养是一个长期的任务，它几乎无捷径可走，只有在学生自己反复的练习、教师的分析指导中逐步养成. 学生经过了尝试，才会有体会和感受，才会更深刻地理解教师的分析、指导，而教师的包办代替只能扼杀学生的思想. 在今后教学中还要经常提醒学生仔细读题，认真审题，要不断做学生的表率，传授他们审题的技巧及方法，提高解题的正确率，提高学生的审题能力，提高教学效果.