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平行线是最基本的平面图形，七年级上学期我们已经初步认识了它的定义和基本性质，即在同一平面内两条不相交的直线，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.本学期学习平行线的性质和判定要在理解的基础上牢记于心，运用的关键是要识别或者构造基本图形：、、.三角形是多边形中最为简单、最基本，也是最重要的图形，是初中几何研究的主要内容之一，很多多边形的问题都要转化为三角形的问题来解决，三角形的内角和以及外角和定理是几何中的基本定理，要熟练掌握、灵活运用.
例1 （2017·南充）如图1，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图1所示位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）.
A.30° B.32° C.42° D.58°
【解决思路1】如图2，过点A作AB∥b，则有∠3=∠1=58°，因为∠3 ∠4=90°，所以∠4=90°-∠3=32°，因为a∥b，AB∥b，所以AB∥a，所以∠2=∠4=32°，故选B.
[图2]
【说明】问题解决的关键在于添加辅助线，并根据平行线的性质得到两对内错角相等，从而把题目给出的条件有效联系在一起，构造基本图形是解决问题的关键和突破口.
【解决思路2】如图3，延长BA交直线a于点C，因为a∥b，所以∠1=∠DCA=58°，因为∠BAD ∠DAC=180°，所以∠DAC=90°.在△ACD中，∠DAC ∠2 ∠DCA=180°，所以∠2=32°，故选B.
【说明】求角的度数，通常把角放到三角形中，利用三角形的内角和等于180°来求，本题延长BA既构造了三角形，又出现了内错角相等，得到两个基本图形就可以解决问题了.当然也可以延长DA.
【解决思路3】如图4，连接BC，在△ABC中，∠A ∠ACB ∠ABC=180°，所以∠ACB ∠ABC=90°，因为a∥b，所以∠DBC ∠ECB=180°，也就是∠1 ∠2 ∠ABC ∠ACB=180°，所以∠1 ∠2=90°，∠2=32°，故选B.
[图4]
【说明】连接BC，构造了三角形ABC，同时得到一对同旁内角，利用平行线的性质和三角形内角和定理问题得到解决，对于几何问题要善于在復杂问题中找到基本图形或者构造出基本图形.
例2 （2017·庆阳）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简[a b-c]-[c-a-b]的结果为（ ）.
A.2a 2b-2c B.2a 2b
C.2c D.0
【解决思路】化简含有绝对值的代数式，关键就是要判断绝对值里面代数式的符号，由三角形两边之和大于第三边可知：a b-c>0，c-a-b<0，[a b-c]-[c-a-b]=a b-c-（-c a b）=a b-c c-a-b=0，故选D.
【说明】与三角形的三边有关的不等式问题通常是利用三角形的“三边关系”，即“任一边大于另两边之差，小于另两边之和”来解决问题，对于含有字母的式子要注意符号，特别容易出错.
例3 如图5，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC ∠ACE=90°.
<（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图6，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图7，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ ∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由.
[图7]
【解决思路】（1）AB∥CD.因为CE平分
∠ACD，所以∠DCA=2∠ACE，同理∠BAC=2∠EAC，
所以∠BAC ∠DCA=2∠EAC 2∠ACE=180°，所以AB∥CD.
（2）如图8，延长AE与CD相交于点F，因为AB∥CD，所以∠BAE=∠AFC.在△CEF中，∠CEF ∠EFC ∠ECD=180°，所以∠EFC ∠ECD
=90°，∠BAE [12]∠MCD=90°.
[图8]
（3）∠CPQ ∠CQP=∠BAC.因为AB∥CD，所以∠BAC ∠ACD=180°，在△CPQ中，∠CPQ ∠ACD ∠CQP=180°，所以∠CPQ ∠CQP=∠BAC.
【说明】要探索两条直线是否平行，仍然要找到基本图形，问题（1）是用整体思想证明一对同旁内角互补.问题（2）可以找∠BAE的内错角，利用三角形内角和定理解决问题，也可以过点E作AB的平行线解决.解决问题的思路往往是多种多样的，因此，数学学习的过程中要多观察，多思考，同一个问题的解决过程中不妨多思考几种方法或思路.
（作者单位：江苏省江阴市第一初级中学，无锡市庞彦福名师工作室）
例1 （2017·南充）如图1，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图1所示位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）.
A.30° B.32° C.42° D.58°
【解决思路1】如图2，过点A作AB∥b，则有∠3=∠1=58°，因为∠3 ∠4=90°，所以∠4=90°-∠3=32°，因为a∥b，AB∥b，所以AB∥a，所以∠2=∠4=32°，故选B.
【说明】问题解决的关键在于添加辅助线，并根据平行线的性质得到两对内错角相等，从而把题目给出的条件有效联系在一起，构造基本图形是解决问题的关键和突破口.
【解决思路2】如图3，延长BA交直线a于点C，因为a∥b，所以∠1=∠DCA=58°，因为∠BAD ∠DAC=180°，所以∠DAC=90°.在△ACD中，∠DAC ∠2 ∠DCA=180°，所以∠2=32°，故选B.
【说明】求角的度数，通常把角放到三角形中，利用三角形的内角和等于180°来求，本题延长BA既构造了三角形，又出现了内错角相等，得到两个基本图形就可以解决问题了.当然也可以延长DA.
【解决思路3】如图4，连接BC，在△ABC中，∠A ∠ACB ∠ABC=180°，所以∠ACB ∠ABC=90°，因为a∥b，所以∠DBC ∠ECB=180°，也就是∠1 ∠2 ∠ABC ∠ACB=180°，所以∠1 ∠2=90°，∠2=32°，故选B.
【说明】连接BC，构造了三角形ABC，同时得到一对同旁内角，利用平行线的性质和三角形内角和定理问题得到解决，对于几何问题要善于在復杂问题中找到基本图形或者构造出基本图形.
例2 （2017·庆阳）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简[a b-c]-[c-a-b]的结果为（ ）.
A.2a 2b-2c B.2a 2b
C.2c D.0
【解决思路】化简含有绝对值的代数式，关键就是要判断绝对值里面代数式的符号，由三角形两边之和大于第三边可知：a b-c>0，c-a-b<0，[a b-c]-[c-a-b]=a b-c-（-c a b）=a b-c c-a-b=0，故选D.
【说明】与三角形的三边有关的不等式问题通常是利用三角形的“三边关系”，即“任一边大于另两边之差，小于另两边之和”来解决问题，对于含有字母的式子要注意符号，特别容易出错.
例3 如图5，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC ∠ACE=90°.
<（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图6，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图7，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ ∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由.
【解决思路】（1）AB∥CD.因为CE平分
∠ACD，所以∠DCA=2∠ACE，同理∠BAC=2∠EAC，
所以∠BAC ∠DCA=2∠EAC 2∠ACE=180°，所以AB∥CD.
（2）如图8，延长AE与CD相交于点F，因为AB∥CD，所以∠BAE=∠AFC.在△CEF中，∠CEF ∠EFC ∠ECD=180°，所以∠EFC ∠ECD
=90°，∠BAE [12]∠MCD=90°.
（3）∠CPQ ∠CQP=∠BAC.因为AB∥CD，所以∠BAC ∠ACD=180°，在△CPQ中，∠CPQ ∠ACD ∠CQP=180°，所以∠CPQ ∠CQP=∠BAC.
【说明】要探索两条直线是否平行，仍然要找到基本图形，问题（1）是用整体思想证明一对同旁内角互补.问题（2）可以找∠BAE的内错角，利用三角形内角和定理解决问题，也可以过点E作AB的平行线解决.解决问题的思路往往是多种多样的，因此，数学学习的过程中要多观察，多思考，同一个问题的解决过程中不妨多思考几种方法或思路.
（作者单位：江苏省江阴市第一初级中学，无锡市庞彦福名师工作室）