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美国心理学家奥苏伯尔说过：影响学习的最重要的一个因素是学习者已经知道了什么。这就需要教师了解课堂上学生的学习起点在哪儿，并据此展开教学。学习起点可以理解为学生从事新内容学习必须的知识准备，它包括学习的逻辑起点和学习的现实起点。学习的逻辑起点是指根据学习进度，学生应该具有的知识基础；学习的现实起点是指学生在多种学习资源的共同作用下，已经具有的知识基础。学生的现实起点是新知着陆的根。实际教学中，随着信息渠道的拓宽、家长对孩子早期教育的日益重视，学生学习的现实起点与教材编排的逻辑起点往往不能保持同步，影响了课堂教学效率。因此，密切关注并合理把握学生学习的现实起点已成为我们教学改革必须解决的问题。下面谈谈我在“小数乘整数”实践中的认识和感悟。
看似很简单
【起点预设】
与“整数乘法”相比，“小数乘整数”只是多了“积中小数点位置的确定”。学生已经掌握了整数乘法的计算经验，本堂课我就以此为起点，抓住不同，重点解决“怎样确定积中小数点的位置”。
【课中练兵】
1、教学用乘法竖式计算“0.8×3”。
2、学生独立计算“2.35×3”，并观察因数与积各是几位小数。
3、猜想：如果用一个三位小数乘3，积会是几位小数？如果用一个四位小数乘3呢？
4、出示4．76×12、2.8×53、103×0.25，先猜一猜积是几位小数，再用计算器计算验证。
讨论：通过刚才的计算和比较，你认为在计算小数乘整数时，可以怎样确定积的小数位数？
5、根据148×23＝3404，直接写出下面各题的积。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
6、用乘法竖式计算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
学生反馈情况如下：
① 4 6 3 5
× 1.3 × 0.24
② 4 6 3 5 3 5
× 1. 3 ×0.2 4 × 0.2 4
1 3. 8 1.4 0 1 4 0
4 6. 7 0 7 0
5 9 .8 8.4 2. 1 0
第1、2题正确率达95%，第3、4题正确率仅为8%。
其实还不懂
【二探起点】
反思上述案例，之所以影响目标达成，产生教学内耗，关键在于教师没能有效把握学生的学习起点。过低或过高地估计学生的学习起点，不但浪费宝贵的课堂教学时间，而且人为地降低了教学内容的探究价值，远离了学生的认知“最近发展区”，使学生的智慧无法得到发展。案例中，教师对学生的已有经验、思维障碍估计不足：1、整数乘法（两位数乘两位数）是学生三年级学的内容，时隔一年半，学生对于两个部分积如何对位等书写格式上的规定已淡忘。2、学生刚
学了小数加减法，“小数点对齐”对本课新学内容在一定程度上产生了干扰，学生每写一步就会不自觉的把小数点对齐。3、学生并未完整感知小数与整数（两位）相乘的竖式实例，对于“先按整数乘法计算”并不理解。由于教师没有探明学生的学习起点，出现各种问题亦是理所当然。
理清了学生的思维障碍，我对本课的起点预设作如下调整：1、解决“怎样确定积中小数点的位置”；2、让学生完整感知“小数与两位整数相乘”的竖式书写格式和计算方法。
【再次练兵】
1、 创设情境，引入新课 2、自主尝试，探索算法
a、学生尝试计算 “0.8×3”。
全班交流：你是怎样算的？
指出：“0．8 × 3”也可以用乘法竖式计算。（板书竖式）
讨论：谁来说说用竖式计算“0．8×3”的过程？0．8是几位小数？2.4呢？
b、独立计算“2.35×3”。
交流：谁来说说用乘法竖式计算的过程？2.35是几位小数？“2.35×3”的积是几位小数？
c、猜想：如果用一个三位小数乘3，积会是几位小数？如果用一个四位小数乘3呢？
3、验证猜想，归纳方法
a、出示4．76×1 2、2.8×53、1 03×0.25，要求先猜一猜每道题的积是几位小数，再用计算器算一算，看计算结果与猜想的是否一样。
讨论：通过刚才的计算和比较，你认为在计算小数乘整数时，可以怎样确定积的小数位数？
b、计算“2.35×12”。
学生叙说，教师板演。
学生模仿进行竖式计算。
学生完整地说说计算过程及注意点。
c、小结：计算小数乘整数时，一般可以先按整数乘法算，再看因数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，并点上小数点。
4、练习巩固，形成技能
a、根据148×23＝3404，直接写出下面各题的积。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
b、用乘法竖式计算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
学生反馈情况：95%的学生掌握了基本的计算方法，5%的学生在“竖式对位”、“点小数点”方面不太适应。
路径在哪里
在“小数乘整数”案例研究中，我通过对“小数乘整数”学习起点的几次探索，认为教师可以从“把握起点、定位目标、选择路径”三个维度来追求教学的真实性、有效性、人文性，为后继的教学行为提供一条比较准确、丰富的教学基准线。 一、 把握起点——学生已经具备什么
我们所面对的学生，他们不是带着单纯的空脑袋走进教室的，并非是“一无所有”地走进课堂。在他们的生活中，已经有许多数学知识的体验，学校数学学习是他们生活中有关数学经验的总结与升华。学生原有的知识储备、现实活动中的经验积淀乃至他们儿童时期在社会生活中所形成的许多关于数学的朴素认识，都构成学生进行数学学习的“特定视界”，影响并制约着数学学习。我们应充分关注学生原有的知识储备和经验背景，打破“零起点”教学惯性思维。那么如何才能找准学习的认知起点呢？
1、整体通缆探明起点
探明学生学习的现实起点，需要以整体思维通缆教学，关注相关内容的彼此关联和前引后渗。落实在备课中，就需要不断追问：一问学生学习作螺旋式上升的根基是什么？在哪儿实现迁移、促成生长？学生是否已经遗忘？如果遗忘，又该如何唤醒？二问学生刚学的知识经验有哪些？在这些刚学的经验中，哪些能为本课的学习服务，哪些会对新知的学习产生干扰？这些干扰在教学时如何通过巧妙引导予以回避、或辨析、或顺应、或同化？这些在教学时都应心中有数，教中有招。
如上述案例中，我们在整体通缆的基础上，可以引导学生建立起“先按整数乘法计算”的心理需求，顺利沟通小数与整数相乘、整数乘法的联系，把新知识纳入已有的知识结构之中，形成一个新的认知结构。同时，我们通过“学生叙说，教师板演”来规范学生的书写格式。这样设计就比较贴近学生的实际，有利于提高教学效率。
2、借助外力把握起点
如果说探明学习起点，是教师在备课过程中的一种内在思维意识，那么把握学习起点则必须借助外在的教学行为来实现。我们不能仅仅停留在学生对所学知识是否已经“知道”这个层面，更要关注“到底知道了多少”（深度）以及“哪些学生已经知道，哪些学生不知道”（广度）。只有从这两个维度出发，才能适当地调整教学策略，提高课堂教学的有效性。从方法上讲，课前谈话、平时了解、调查统计等都能取得不错的效果，当然在课堂上我们也可以创设一个开放式的情境，从情境反馈的信息中了解起点，培养学生自主探究的学习方式，充分利用学生现场生成的学习资源，在观察、思考、分析、讨论中，开展教学，从而获得教学信息。
二、定位目标——学生需要提升什么
教学目标是教学的灵魂，它支配着教学的全过程。教学目标也是开发教学内容，创造性使用教科书，灵活选择教法，进行科学调控和评价的依据。而把握好学习起点，可以使我们准确地定位教学目标。我们在确定教学目标时，必须充分了解学生，准确掌握学生的心理动态和认知水平，尤其要紧紧围绕有利于学生终身发展而设定目标。日本著名数学家米山国藏曾指出：“学生所学的数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用……然而不管他们从事什么工作，唯有深深钻刻于头脑中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发挥作用，使他们终身受益。”这段话耐人寻味，值得我们深思。
备课时，我们应关注这节课的教学目标是什么，应该从哪些纬度来确定教学目标。这又需要教师根据学生的起点，准确地定位教学目标……，有时可以适当提升、拓展教学目标，有时需要降低教学目标。教学目标确定之后，再去思考采用何种方式来落实目标。这样我们的数学课才永远不会偏离方向。同时教学目标的定位，也直接影响到上课的效果，教师只有明确了应达到怎样的“度”，才能恰如其分地引导学生，掌握好“火候”。
三、选择路径——怎样引领更加有效
1、鼓励探究
在教学中，我们经常会发现这样的现象：教师刚刚开了一个头，一些学生就会把后面的知识讲出来，结果往往被老师搪塞而过。久而久之，学生即便懂了，也只有老老实实地跟着老师重复那个过程，显然，“跟着重复”是一种无奈的选择，结果是挫伤了学生的学习积极性。
要避免这种状况的发生，对策之一就是引领学生在学习的现实起点上作探究。我们可以让学生展现他们已有的知识状况，这种知识展现对于学生来说是激动人心的。当他们把自己所掌握的知识告诉同学与老师的时候，他们是在享受，享受学习给自己带来的快乐。并且，他们会以极大的热忱，把自己掌握知识的来龙去脉，尽其所能告诉老师和同学，这既是对自身学习进行再思考的过程，也是给其他同学以激励的过程，而我们的任务，则是根据学生不同的现实起点，抓住本节课学习内容的要点，以问题的形式要求同学们继续研究，给予解决。面对问题，不论是起点高或低的学生，都会争先恐后地加入探究行列。因为他们愿意享受这种因学习而带来的被重视的快乐。
2、适度整合
教学内容安排有它的科学性和合理性，在编排的过程中，编者考虑学生全面的认知水平。作为一线教师，我们应根据现有学生的起点，对部分教学内容进行适度地调整，提高教学效率。如“平移与旋转”一课要解决“平移”、“旋转”这两个比较抽象的概念，对于四年级的学生来说相当困难，在教学中我们结合学生的实际，将这它分为两课时教学，收到较好的效果。相反，有的内容由于与日常生活关系紧密，学生的起点相对较高，我们可以将两课时的内容整合为一课时的内容展开教学。如五年级下册的“确定位置”，由于学生在低年级就已初步获得用自然数表示位置的经验，且学生在日常生活中也接触到一些数对知识，我们根据学生实际整合两课时的教学内容，提高了课堂思维含量，学生学得积极主动。
3、拓展应用
在学生现实起点比较高的情况下，紧密结合教学内容提供一些有挑战性的问题进行探讨，不仅有助于思维能力的提高，更满足了学生探索奥秘、挑战自我的内心需求，并在获得成功的体验中进一步提高学习数学的兴趣。
如教学五年级“找规律”时，我设计了彩票中奖习题：（特等奖）彩票7位数幸运号码与中奖号码相同且排列一致；（一等奖）号码中连续6位数与中奖号码相同位置的连续6位数相同；（二等奖）号码中连续5位数与中奖号码相同位置的连续5位数相同；（三等奖）号码中连续4位数与中奖号码相同位置的连续4位数相同；（四等奖）号码中连续3位数与中奖号码相同位置的连续3位数相同；（五等奖）号码中连续2位数与中奖号码相同位置的连续2位数相同。假如中奖号码是7507043，怎样的彩票是特等奖呢？还有其他可能吗？怎样的彩票会是一等奖？你是怎么想的？（教师根据学生回答板书：750704□、□507043）想一想，这样一大类中有几种可能？一等奖的号码一共有多少种可能？怎样的彩票会是二等奖呢？请你试一试可以写成几大类？（指名学生板书：75070□□、□50704□、□□07043）还能写吗？为什么？想一想，三等奖可以写成这样的几大类？四等奖呢？这样的设计一方面满足了学生的探究需求，另一方面让学生切身感受到数学与生活的密切联系。
总之，合理把握学生的学习起点，有利于创生出新的学习资源，有利于改善和丰富学生的学习方式，有利于提高学生个性化的学习能力，有利于培养学生主动、健康发展的意识与能力，这应该成为每位教师一种自觉的思维习惯。
看似很简单
【起点预设】
与“整数乘法”相比，“小数乘整数”只是多了“积中小数点位置的确定”。学生已经掌握了整数乘法的计算经验，本堂课我就以此为起点，抓住不同，重点解决“怎样确定积中小数点的位置”。
【课中练兵】
1、教学用乘法竖式计算“0.8×3”。
2、学生独立计算“2.35×3”，并观察因数与积各是几位小数。
3、猜想：如果用一个三位小数乘3，积会是几位小数？如果用一个四位小数乘3呢？
4、出示4．76×12、2.8×53、103×0.25，先猜一猜积是几位小数，再用计算器计算验证。
讨论：通过刚才的计算和比较，你认为在计算小数乘整数时，可以怎样确定积的小数位数？
5、根据148×23＝3404，直接写出下面各题的积。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
6、用乘法竖式计算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
学生反馈情况如下：
① 4 6 3 5
× 1.3 × 0.24
② 4 6 3 5 3 5
× 1. 3 ×0.2 4 × 0.2 4
1 3. 8 1.4 0 1 4 0
4 6. 7 0 7 0
5 9 .8 8.4 2. 1 0
第1、2题正确率达95%，第3、4题正确率仅为8%。
其实还不懂
【二探起点】
反思上述案例，之所以影响目标达成，产生教学内耗，关键在于教师没能有效把握学生的学习起点。过低或过高地估计学生的学习起点，不但浪费宝贵的课堂教学时间，而且人为地降低了教学内容的探究价值，远离了学生的认知“最近发展区”，使学生的智慧无法得到发展。案例中，教师对学生的已有经验、思维障碍估计不足：1、整数乘法（两位数乘两位数）是学生三年级学的内容，时隔一年半，学生对于两个部分积如何对位等书写格式上的规定已淡忘。2、学生刚
学了小数加减法，“小数点对齐”对本课新学内容在一定程度上产生了干扰，学生每写一步就会不自觉的把小数点对齐。3、学生并未完整感知小数与整数（两位）相乘的竖式实例，对于“先按整数乘法计算”并不理解。由于教师没有探明学生的学习起点，出现各种问题亦是理所当然。
理清了学生的思维障碍，我对本课的起点预设作如下调整：1、解决“怎样确定积中小数点的位置”；2、让学生完整感知“小数与两位整数相乘”的竖式书写格式和计算方法。
【再次练兵】
1、 创设情境，引入新课 2、自主尝试，探索算法
a、学生尝试计算 “0.8×3”。
全班交流：你是怎样算的？
指出：“0．8 × 3”也可以用乘法竖式计算。（板书竖式）
讨论：谁来说说用竖式计算“0．8×3”的过程？0．8是几位小数？2.4呢？
b、独立计算“2.35×3”。
交流：谁来说说用乘法竖式计算的过程？2.35是几位小数？“2.35×3”的积是几位小数？
c、猜想：如果用一个三位小数乘3，积会是几位小数？如果用一个四位小数乘3呢？
3、验证猜想，归纳方法
a、出示4．76×1 2、2.8×53、1 03×0.25，要求先猜一猜每道题的积是几位小数，再用计算器算一算，看计算结果与猜想的是否一样。
讨论：通过刚才的计算和比较，你认为在计算小数乘整数时，可以怎样确定积的小数位数？
b、计算“2.35×12”。
学生叙说，教师板演。
学生模仿进行竖式计算。
学生完整地说说计算过程及注意点。
c、小结：计算小数乘整数时，一般可以先按整数乘法算，再看因数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，并点上小数点。
4、练习巩固，形成技能
a、根据148×23＝3404，直接写出下面各题的积。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
b、用乘法竖式计算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
学生反馈情况：95%的学生掌握了基本的计算方法，5%的学生在“竖式对位”、“点小数点”方面不太适应。
路径在哪里
在“小数乘整数”案例研究中，我通过对“小数乘整数”学习起点的几次探索，认为教师可以从“把握起点、定位目标、选择路径”三个维度来追求教学的真实性、有效性、人文性，为后继的教学行为提供一条比较准确、丰富的教学基准线。 一、 把握起点——学生已经具备什么
我们所面对的学生，他们不是带着单纯的空脑袋走进教室的，并非是“一无所有”地走进课堂。在他们的生活中，已经有许多数学知识的体验，学校数学学习是他们生活中有关数学经验的总结与升华。学生原有的知识储备、现实活动中的经验积淀乃至他们儿童时期在社会生活中所形成的许多关于数学的朴素认识，都构成学生进行数学学习的“特定视界”，影响并制约着数学学习。我们应充分关注学生原有的知识储备和经验背景，打破“零起点”教学惯性思维。那么如何才能找准学习的认知起点呢？
1、整体通缆探明起点
探明学生学习的现实起点，需要以整体思维通缆教学，关注相关内容的彼此关联和前引后渗。落实在备课中，就需要不断追问：一问学生学习作螺旋式上升的根基是什么？在哪儿实现迁移、促成生长？学生是否已经遗忘？如果遗忘，又该如何唤醒？二问学生刚学的知识经验有哪些？在这些刚学的经验中，哪些能为本课的学习服务，哪些会对新知的学习产生干扰？这些干扰在教学时如何通过巧妙引导予以回避、或辨析、或顺应、或同化？这些在教学时都应心中有数，教中有招。
如上述案例中，我们在整体通缆的基础上，可以引导学生建立起“先按整数乘法计算”的心理需求，顺利沟通小数与整数相乘、整数乘法的联系，把新知识纳入已有的知识结构之中，形成一个新的认知结构。同时，我们通过“学生叙说，教师板演”来规范学生的书写格式。这样设计就比较贴近学生的实际，有利于提高教学效率。
2、借助外力把握起点
如果说探明学习起点，是教师在备课过程中的一种内在思维意识，那么把握学习起点则必须借助外在的教学行为来实现。我们不能仅仅停留在学生对所学知识是否已经“知道”这个层面，更要关注“到底知道了多少”（深度）以及“哪些学生已经知道，哪些学生不知道”（广度）。只有从这两个维度出发，才能适当地调整教学策略，提高课堂教学的有效性。从方法上讲，课前谈话、平时了解、调查统计等都能取得不错的效果，当然在课堂上我们也可以创设一个开放式的情境，从情境反馈的信息中了解起点，培养学生自主探究的学习方式，充分利用学生现场生成的学习资源，在观察、思考、分析、讨论中，开展教学，从而获得教学信息。
二、定位目标——学生需要提升什么
教学目标是教学的灵魂，它支配着教学的全过程。教学目标也是开发教学内容，创造性使用教科书，灵活选择教法，进行科学调控和评价的依据。而把握好学习起点，可以使我们准确地定位教学目标。我们在确定教学目标时，必须充分了解学生，准确掌握学生的心理动态和认知水平，尤其要紧紧围绕有利于学生终身发展而设定目标。日本著名数学家米山国藏曾指出：“学生所学的数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用……然而不管他们从事什么工作，唯有深深钻刻于头脑中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发挥作用，使他们终身受益。”这段话耐人寻味，值得我们深思。
备课时，我们应关注这节课的教学目标是什么，应该从哪些纬度来确定教学目标。这又需要教师根据学生的起点，准确地定位教学目标……，有时可以适当提升、拓展教学目标，有时需要降低教学目标。教学目标确定之后，再去思考采用何种方式来落实目标。这样我们的数学课才永远不会偏离方向。同时教学目标的定位，也直接影响到上课的效果，教师只有明确了应达到怎样的“度”，才能恰如其分地引导学生，掌握好“火候”。
三、选择路径——怎样引领更加有效
1、鼓励探究
在教学中，我们经常会发现这样的现象：教师刚刚开了一个头，一些学生就会把后面的知识讲出来，结果往往被老师搪塞而过。久而久之，学生即便懂了，也只有老老实实地跟着老师重复那个过程，显然，“跟着重复”是一种无奈的选择，结果是挫伤了学生的学习积极性。
要避免这种状况的发生，对策之一就是引领学生在学习的现实起点上作探究。我们可以让学生展现他们已有的知识状况，这种知识展现对于学生来说是激动人心的。当他们把自己所掌握的知识告诉同学与老师的时候，他们是在享受，享受学习给自己带来的快乐。并且，他们会以极大的热忱，把自己掌握知识的来龙去脉，尽其所能告诉老师和同学，这既是对自身学习进行再思考的过程，也是给其他同学以激励的过程，而我们的任务，则是根据学生不同的现实起点，抓住本节课学习内容的要点，以问题的形式要求同学们继续研究，给予解决。面对问题，不论是起点高或低的学生，都会争先恐后地加入探究行列。因为他们愿意享受这种因学习而带来的被重视的快乐。
2、适度整合
教学内容安排有它的科学性和合理性，在编排的过程中，编者考虑学生全面的认知水平。作为一线教师，我们应根据现有学生的起点，对部分教学内容进行适度地调整，提高教学效率。如“平移与旋转”一课要解决“平移”、“旋转”这两个比较抽象的概念，对于四年级的学生来说相当困难，在教学中我们结合学生的实际，将这它分为两课时教学，收到较好的效果。相反，有的内容由于与日常生活关系紧密，学生的起点相对较高，我们可以将两课时的内容整合为一课时的内容展开教学。如五年级下册的“确定位置”，由于学生在低年级就已初步获得用自然数表示位置的经验，且学生在日常生活中也接触到一些数对知识，我们根据学生实际整合两课时的教学内容，提高了课堂思维含量，学生学得积极主动。
3、拓展应用
在学生现实起点比较高的情况下，紧密结合教学内容提供一些有挑战性的问题进行探讨，不仅有助于思维能力的提高，更满足了学生探索奥秘、挑战自我的内心需求，并在获得成功的体验中进一步提高学习数学的兴趣。
如教学五年级“找规律”时，我设计了彩票中奖习题：（特等奖）彩票7位数幸运号码与中奖号码相同且排列一致；（一等奖）号码中连续6位数与中奖号码相同位置的连续6位数相同；（二等奖）号码中连续5位数与中奖号码相同位置的连续5位数相同；（三等奖）号码中连续4位数与中奖号码相同位置的连续4位数相同；（四等奖）号码中连续3位数与中奖号码相同位置的连续3位数相同；（五等奖）号码中连续2位数与中奖号码相同位置的连续2位数相同。假如中奖号码是7507043，怎样的彩票是特等奖呢？还有其他可能吗？怎样的彩票会是一等奖？你是怎么想的？（教师根据学生回答板书：750704□、□507043）想一想，这样一大类中有几种可能？一等奖的号码一共有多少种可能？怎样的彩票会是二等奖呢？请你试一试可以写成几大类？（指名学生板书：75070□□、□50704□、□□07043）还能写吗？为什么？想一想，三等奖可以写成这样的几大类？四等奖呢？这样的设计一方面满足了学生的探究需求，另一方面让学生切身感受到数学与生活的密切联系。
总之，合理把握学生的学习起点，有利于创生出新的学习资源，有利于改善和丰富学生的学习方式，有利于提高学生个性化的学习能力，有利于培养学生主动、健康发展的意识与能力，这应该成为每位教师一种自觉的思维习惯。